Devoir 2 semestre 1 tronc commun maths : 3 modèles corrigés

Voici trois modèles corrigés du devoir surveillé n°2 du semestre 1 du tronc commun, notés sur 20 avec le barème de chaque question :

Modèle 1 (2 h) : racines carrées, ordre dans ℝ, polynômes et calcul vectoriel ;
Modèle 2 (1 h) : questions indépendantes, encadrement, projection et théorème de Thalès ;
Modèle 3 (2 h) : ordre dans ℝ, racines carrées et identités remarquables, vecteurs et projection orthogonale.

Ce devoir a lieu en général fin novembre ou début décembre, avant les vacances du 6 au 13 décembre. Il porte presque toujours sur l'ordre dans ℝ (« L'ordre dans IR » : encadrements, valeur absolue, intervalles, approximations). Il est souvent accompagné de calculs dans ℝ (racines carrées, identités remarquables, puissances) et d'un chapitre de géométrie : le calcul vectoriel ou la projection dans le plan, parfois la droite dans le plan. Certaines classes y ajoutent les polynômes. Faites un modèle en temps limité, sans calculatrice, puis comparez votre copie au corrigé : chaque question y rappelle son barème, et chaque exercice se termine par ses points clés. Ce sont des sujets d'entraînement écrits pour cette page, pas des devoirs officiels ni des sujets d'années passées.

Sommaire5 parties

Modèle 1 : racines, ordre, polynômes et vecteurs (2 heures)

Durée : 2 heures. Calculatrice non autorisée. Barème : exercice 1 sur 4 points, exercice 2 sur 5 points, exercice 3 sur 4 points, exercice 4 sur 7 points.

Modèle 1, exercice 1 : racines carrées et nombre rationnel (4 points)

Facile

(2 points) Développer $\left(3\sqrt2+1\right)^2$ , puis calculer $\left(3\sqrt2-1\right)\left(3\sqrt2+1\right)$ .
(2 points) On pose $a=\dfrac{1}{3\sqrt2-1}-\dfrac{1}{3\sqrt2+1}$ . Montrer que $a$ est un nombre rationnel. Le nombre $a$ est-il décimal ?

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(2 points) Avec $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ et $\left(3\sqrt2\right)^2=9\times2=18$ : $\left(3\sqrt2+1\right)^2=18+6\sqrt2+1=19+6\sqrt2$ . Avec $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ : $\left(3\sqrt2-1\right)\left(3\sqrt2+1\right)=18-1=17$ .
(2 points) Les deux dénominateurs sont non nuls et leur produit vaut 17 d'après la question 1. On réduit au même dénominateur : le numérateur vaut $\left(3\sqrt2+1\right)-\left(3\sqrt2-1\right)=2$ , donc $a=\dfrac{2}{17}$ . $a$ est le quotient de deux entiers, donc $a\in\mathbb{Q}$ . La fraction $\frac{2}{17}$ est irréductible, et son dénominateur 17 n'est pas de la forme $2^m\times5^n$ : $a$ n'est pas décimal.

Barème : 2 + 2 = 4 points.

Points clés

$\left(k\sqrt{p}\right)^2=k^2p$ : c'est le calcul à faire en premier dans une identité remarquable.
Le produit par l'expression conjuguée fait disparaître la racine du dénominateur.
Une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a pas d'autre facteur premier que 2 et 5.

Modèle 1, exercice 2 : encadrements et valeur absolue (5 points)

Facile

Soient

x

y

deux réels tels que

2\leq x\leq3

-4\leq y\leq-1

(1,5 point) Encadrer $x+y$ , $x-y$ et $xy$ .
(1 point) Encadrer $\dfrac{x}{y}$ .
On pose $A=|x-3|+|y+4|+|x-y-8|$ .
1. (1,5 point) Montrer que $A=15-2x+2y$ .
2. (1 point) En déduire un encadrement de $A$ .

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(1,5 point) On additionne membre à membre : $2+(-4)\leq x+y\leq3+(-1)$ , donc $-2\leq x+y\leq2$ . Pour la différence, on écrit $x-y=x+(-y)$ . En multipliant $-4\leq y\leq-1$ par $-1$ , on change le sens des inégalités : $1\leq-y\leq4$ . Donc $3\leq x-y\leq7$ . Pour le produit, la règle ne s'applique qu'à des nombres positifs. On encadre donc $x\times(-y)$ , produit de deux positifs : $2\times1\leq-xy\leq3\times4$ , soit $2\leq-xy\leq12$ . En multipliant par $-1$ : $-12\leq xy\leq-2$ .
(1 point) $\dfrac{x}{y}=-\dfrac{x}{-y}$ . Les nombres de $[1\,;4]$ sont strictement positifs, et le passage à l'inverse change le sens : $\dfrac14\leq\dfrac{1}{-y}\leq1$ . On multiplie par $2\leq x\leq3$ , tous les nombres étant positifs : $\dfrac12\leq\dfrac{x}{-y}\leq3$ . Donc $-3\leq\dfrac{x}{y}\leq-\dfrac12$ .
1. (1,5 point) On étudie le signe de chaque expression. $x\leq3$ , donc $x-3\leq0$ et $|x-3|=3-x$ . $y\geq-4$ , donc $y+4\geq0$ et $|y+4|=y+4$ . D'après la question 1, $x-y\leq7$ , donc $x-y-8\leq-1\lt0$ et $|x-y-8|=8-x+y$ . Alors $\begin{aligned}A&=(3-x)+(y+4)\\&\quad+(8-x+y)\\&=15-2x+2y.\end{aligned}$
2. (1 point) $-6\leq-2x\leq-4$ et $-8\leq2y\leq-2$ , donc $-14\leq-2x+2y\leq-6$ . En ajoutant 15 : $1\leq A\leq9$ . Contrôle : pour $x=3$ et $y=-4$ , $A=0+0+1=1$ ; pour $x=2$ et $y=-1$ , $A=1+3+5=9$ .

Barème : 1,5 + 1 + 1,5 + 1 = 5 points.

Points clés

Multiplier par un nombre négatif change le sens des inégalités.
Pour un produit ou un quotient, se ramener à des nombres positifs avant d'appliquer la règle.
Pour enlever une valeur absolue, lire le signe de l'expression dans l'encadrement déjà obtenu.

Modèle 1, exercice 3 : Horner et factorisation d’un polynôme (4 points)

Moyen

On considère le polynôme

P(x)=2x^3-5x^2-4x+3

(1 point) Calculer $P(3)$ . Que peut-on en déduire pour $P$ ?
(1,5 point) À l'aide du tableau de Horner, déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-3)Q(x)$ .
(1,5 point) Vérifier que $-1$ est une racine de $Q$ , puis écrire $P(x)$ comme produit de trois polynômes de degré 1. En déduire les racines de $P$ .

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(1 point) $P(3)=2\times27-5\times9-4\times3+3=54-45-12+3=0$ . Donc 3 est une racine de $P$ , et $P(x)$ est divisible par $x-3$ .
(1,5 point) On place les coefficients de $P$ , puis la racine 3 :
$2$ $-5$ $-4$ $3$
$3$ $6$ $3$ $-3$
$2$ $1$ $-1$ $0$
Le reste est nul, comme prévu, et $Q(x)=2x^2+x-1$ : $P(x)=(x-3)\left(2x^2+x-1\right)$ .
(1,5 point) $Q(-1)=2-1-1=0$ , donc $Q(x)$ est divisible par $x+1$ . Le tableau de Horner avec $-1$ donne le quotient $2x-1$ : $Q(x)=(x+1)(2x-1)$ . Contrôle : $(x+1)(2x-1)=2x^2-x+2x-1=2x^2+x-1$ . Donc $P(x)=(x-3)(x+1)(2x-1)$ . Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : les racines de $P$ sont $3$ , $-1$ et $\frac12$ .

Barème : 1 + 1,5 + 1,5 = 4 points.

Points clés

$P(a)=0$ si et seulement si $P(x)$ est divisible par $x-a$ : c'est la phrase à écrire avant chaque division.
Le dernier nombre de la ligne du bas du tableau de Horner est le reste $P(a)$ ; il sert de contrôle.

Modèle 1, exercice 4 : alignement et point défini par une relation (7 points)

Difficile

ABC

est un triangle. On définit les points

D

E

F

par

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FC}=\vec{0}

(1,5 point) Montrer que $\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AC}$ . Placer $D$ , $E$ et $F$ sur une figure.
(1 point) Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier.
(1,5 point) Exprimer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . En déduire que les points $D$ , $E$ et $F$ sont alignés.
(1 point) Montrer que $D$ est l'unique point $M$ du plan tel que $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}=\vec{0}$ .
(2 points) Soit $L$ le point tel que $\overrightarrow{BL}=\frac34\overrightarrow{BC}$ . Montrer que $L$ appartient à la droite $(DE)$ .

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(1,5 point) Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}$ . Le point $E$ est sur la droite $(AB)$ , de l'autre côté de $A$ par rapport à $B$ , avec $AE=2AB$ . Ensuite, on introduit $A$ dans $\overrightarrow{FC}$ : $\begin{aligned}&\overrightarrow{FA}+2\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC}\right)=\vec{0}\\&\iff3\overrightarrow{FA}=-2\overrightarrow{AC}\\&\iff\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$ $F$ est sur $[AC]$ , aux deux tiers en partant de $A$ . D'après la règle du parallélogramme, $D$ est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
(1 point) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$ . L'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme. Il n'est pas aplati, car $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.
(1,5 point) Par Chasles, avec $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ : $\begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}\\&=-3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{DF}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}\\&=-\overrightarrow{AB}-\frac13\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$ On remarque que $\overrightarrow{DE}=3\overrightarrow{DF}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires et ont la même origine $D$ : les points $D$ , $E$ et $F$ sont alignés.
(1 point) Pour tout point $M$ , on introduit $A$ dans $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MC}$ : $\begin{aligned}&\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\\&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}\\&\quad+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MA}\\&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}.\end{aligned}$ Donc la relation équivaut à $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}$ , c'est-à-dire $M=D$ . Les équivalences montrent que $D$ vérifie la relation et qu'il est le seul point à la vérifier.
(2 points) $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BL}=\frac34\overrightarrow{BC}=\frac34\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$ . Donc $\begin{aligned}\overrightarrow{DL}&=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BL}\\&=-\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}\\&=\frac14\overrightarrow{DE}.\end{aligned}$ Les vecteurs $\overrightarrow{DL}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires, donc $D$ , $E$ , $L$ sont alignés : $L$ appartient à la droite $(DE)$ . Comme $L$ est aussi sur $(BC)$ , c'est le point d'intersection des droites $(DE)$ et $(BC)$ .
Les points $E$ , $F$ , $L$ et $D$ sont sur une même droite.

Barème : 1,5 + 1 + 1,5 + 1 + 2 = 7 points. Total du modèle 1 : 4 + 5 + 4 + 7 = 20 points.

Points clés

Exprimer tous les vecteurs avec les deux mêmes vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis comparer les coefficients.
Pour l'alignement, deux vecteurs colinéaires de même origine suffisent ; il faut nommer l'origine commune.
Un point défini par une relation : introduire un point fixe par Chasles et isoler $\overrightarrow{AM}$ .

Modèle 2 : questions indépendantes, encadrement et projection (1 heure)

Durée : 1 heure. Calculatrice non autorisée. Barème : exercice 1 sur 6 points, exercice 2 sur 6 points, exercice 3 sur 8 points.

Modèle 2, exercice 1 : racines, puissances, valeur absolue et approximation (6 points)

Facile

Les quatre questions sont indépendantes.

(1,5 point) Simplifier $A=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+\sqrt{27}$ .
(1,5 point) Écrire $B=\dfrac{2^3\times6^2}{3^{-1}\times4^2}$ sous la forme $2^m\times3^n$ , puis calculer $B$ .
(1,5 point) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x+1|\leq4$ . Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, son centre et son rayon.
(1,5 point) On donne $2{,}236\lt\sqrt5\lt2{,}237$ . Encadrer $2\sqrt5-3$ , puis en déduire son approximation décimale à $10^{-2}$ près par défaut.

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(1,5 point) On fait apparaître le plus grand carré parfait sous chaque racine : $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3$ , $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$ et $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt3$ . Donc $A=5\sqrt3-4\sqrt3+3\sqrt3=4\sqrt3$ .
(1,5 point) $6^2=2^2\times3^2$ et $4^2=2^4$ . Avec $\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ : $\begin{aligned}B&=\frac{2^{3+2}\times3^2}{2^4\times3^{-1}}\\&=2^{5-4}\times3^{2-(-1)}\\&=2\times3^3=54.\end{aligned}$
(1,5 point) $|X|\leq4$ équivaut à $-4\leq X\leq4$ . Donc $-4\leq x+1\leq4$ , soit $-5\leq x\leq3$ : $S=[-5\,;3]$ . Son centre est $\dfrac{-5+3}{2}=-1$ et son rayon $\dfrac{3-(-5)}{2}=4$ : ce sont les réels situés à 4 au plus de $-1$ .
(1,5 point) On multiplie par $2\gt0$ , puis on soustrait 3 : $4{,}472\lt2\sqrt5\lt4{,}474$ , donc $1{,}472\lt2\sqrt5-3\lt1{,}474$ . Comme $1{,}47\lt1{,}472$ et $1{,}474\lt1{,}48$ , on a $1{,}47\lt2\sqrt5-3\lt1{,}48$ : l'approximation décimale à $10^{-2}$ près par défaut est $1{,}47$ .

Barème : 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 = 6 points.

Points clés

Pour simplifier une somme de racines, écrire chaque radicande comme un carré parfait fois un même entier.
Décomposer chaque base en facteurs premiers avant d'appliquer les règles sur les puissances.
Une approximation à $10^{-2}$ près s'obtient avec deux décimaux consécutifs à deux décimales (d'écart 0,01) qui encadrent le réel.

Modèle 2, exercice 2 : encadrer un quotient sur un intervalle de nombres négatifs (6 points)

Moyen

Soit

x

un réel tel que

-3\leq x\leq-1

. On pose

A=\dfrac{x-2}{x-4}

(2,5 points) Encadrer $2-x$ et $4-x$ . En déduire que $\dfrac37\leq A\leq1$ .
(3,5 points) Vérifier que $A=1+\dfrac{2}{x-4}$ . En déduire que $\dfrac35\leq A\leq\dfrac57$ , puis comparer les amplitudes des deux encadrements.

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(2,5 points) En multipliant $-3\leq x\leq-1$ par $-1$ : $1\leq-x\leq3$ . En ajoutant 2, puis 4 : $3\leq2-x\leq5$ et $5\leq4-x\leq7$ . En multipliant le numérateur et le dénominateur par $-1$ , $A=\dfrac{2-x}{4-x}$ , quotient de deux nombres strictement positifs. Le passage à l'inverse change le sens : $\dfrac17\leq\dfrac{1}{4-x}\leq\dfrac15$ . On multiplie membre à membre des encadrements de nombres positifs : $\frac37\leq\frac{2-x}{4-x}\leq\frac55,$ donc $\dfrac37\leq A\leq1$ .
(3,5 points) Pour $x\neq4$ : $1+\dfrac{2}{x-4}=\dfrac{x-4+2}{x-4}=\dfrac{x-2}{x-4}=A$ . Ensuite $-7\leq x-4\leq-5$ . Ces nombres sont strictement négatifs, donc le passage à l'inverse change le sens : $-\dfrac15\leq\dfrac{1}{x-4}\leq-\dfrac17$ . En multipliant par $2\gt0$ , puis en ajoutant 1 : $\begin{aligned}&-\frac25\leq\frac{2}{x-4}\leq-\frac27,\\&\frac35\leq A\leq\frac57.\end{aligned}$ Amplitudes : $1-\dfrac37=\dfrac47=\dfrac{20}{35}$ et $\dfrac57-\dfrac35=\dfrac{4}{35}$ . Le second encadrement est cinq fois plus précis. Dans le premier, $x$ apparaît deux fois : la borne 1 supposerait $2-x=5$ et $4-x=5$ en même temps, ce qui est impossible.

Barème : 2,5 + 3,5 = 6 points.

Points clés

Sur un intervalle de nombres négatifs, passer à $-x$ pour retrouver des nombres positifs avant d'encadrer un produit ou un quotient.
Quand $x$ figure au numérateur et au dénominateur, une écriture où il n'apparaît qu'une fois donne un meilleur encadrement.

Modèle 2, exercice 3 : projection et théorème de Thalès dans un triangle (8 points)

Moyen

ABC

est un triangle. Les points

E

F

sont définis par

\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA}

\overrightarrow{CF}=\frac13\overrightarrow{CB}

(2,5 points) Montrer que $\overrightarrow{EF}=\frac13\overrightarrow{AB}$ . Que peut-on en déduire pour les droites $(EF)$ et $(AB)$ ?
(3 points) On note $p$ la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ , et $F^{\prime}=p(F)$ . Déterminer $p(A)$ , $p(B)$ et $p(C)$ . Montrer que $\overrightarrow{BF^{\prime}}=\frac23\overrightarrow{BA}$ , puis que $\overrightarrow{AF^{\prime}}=\frac13\overrightarrow{AB}$ .
(2,5 points) En déduire que $\overrightarrow{AF^{\prime}}=\overrightarrow{EF}$ et donner la nature du quadrilatère $AF^{\prime}FE$ .

Voir le corrigé

(2,5 points) Par Chasles : $\begin{aligned}\overrightarrow{EF}&=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}\\&=\frac13\overrightarrow{AC}+\frac13\overrightarrow{CB}\\&=\frac13\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)\\&=\frac13\overrightarrow{AB}.\end{aligned}$ Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc $(EF)\parallel(AB)$ . Les droites sont distinctes : $E$ est un point de $[AC]$ différent de $A$ , il n'est pas sur $(AB)$ .
(3 points) Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$ , donc $p$ est bien définie. $A$ et $B$ sont sur $(AB)$ : $p(A)=A$ et $p(B)=B$ . La parallèle à $(AC)$ passant par $C$ est $(AC)$ , qui coupe $(AB)$ en $A$ : $p(C)=A$ . Ensuite $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}-\frac13\overrightarrow{BC}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . La projection conserve le coefficient de colinéarité : de $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ , on déduit $\overrightarrow{p(B)p(F)}=\frac23\overrightarrow{p(B)p(C)}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{BF^{\prime}}=\frac23\overrightarrow{BA}$ . Enfin $\overrightarrow{AF^{\prime}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF^{\prime}}=\overrightarrow{AB}-\frac23\overrightarrow{AB}=\frac13\overrightarrow{AB}$ .
(2,5 points) D'après les questions 1 et 2, $\overrightarrow{AF^{\prime}}=\frac13\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$ . L'égalité $\overrightarrow{AF^{\prime}}=\overrightarrow{EF}$ signifie que $AF^{\prime}FE$ est un parallélogramme. Il n'est pas aplati, puisque $E$ n'est pas sur la droite $(AF^{\prime})=(AB)$ . On retrouve le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ : $\overrightarrow{F^{\prime}F}=\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AC}$ .
$F^{\prime}$ est le projeté de $F$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ ; $AF^{\prime}FE$ est un parallélogramme.

Barème : 2,5 + 3 + 2,5 = 8 points. Total du modèle 2 : 6 + 6 + 8 = 20 points.

Points clés

Nommer chaque projection : la droite sur laquelle on projette et la direction, puis donner l'image des points utiles.
Écrire d'abord la relation de colinéarité entre les points de départ, puis la transporter par la projection.
Une égalité de vecteurs donne un parallélogramme : vérifier qu'il n'est pas aplati.

Modèle 3 : ordre, racines carrées et vecteurs (2 heures)

Durée : 2 heures. Calculatrice non autorisée. Barème : exercice 1 sur 6 points, exercice 2 sur 7 points, exercice 3 sur 7 points.

Modèle 3, exercice 1 : inégalités et valeur absolue sur un intervalle (6 points)

Moyen

Soit

x

un réel de l'intervalle

[-1\,;2]

(1 point) Montrer que $|2x-1|\leq3$ .
(1,5 point) Écrire $B=|x+1|+|x-5|$ sans valeur absolue. Que remarque-t-on ?
(1,5 point) Vérifier que $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ , puis montrer que $x^2-x\leq2$ .
(2 points) Vérifier que $x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$ . En déduire que $-\frac14\leq x^2-x\leq2$ . Pour quelles valeurs de $x$ ces bornes sont-elles atteintes ?

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(1 point) De $-1\leq x\leq2$ , on tire $-2\leq2x\leq4$ , puis $-3\leq2x-1\leq3$ . Or $|X|\leq3$ équivaut à $-3\leq X\leq3$ . Donc $|2x-1|\leq3$ .
(1,5 point) $x\geq-1$ , donc $x+1\geq0$ et $|x+1|=x+1$ . $x\leq2$ , donc $x-5\leq-3\lt0$ et $|x-5|=5-x$ . Ainsi $B=x+1+5-x=6$ : $B$ ne dépend pas de $x$ . En termes de distances, $|x+1|+|x-5|$ est la somme des distances de $x$ à $-1$ et à 5. Pour $x$ entre $-1$ et 5, elle vaut la distance de $-1$ à 5, c'est-à-dire 6.
(1,5 point) $(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$ . Sur $[-1\,;2]$ , $x+1\geq0$ et $x-2\leq0$ : le produit d'un positif et d'un négatif est négatif, donc $x^2-x-2\leq0$ , c'est-à-dire $x^2-x\leq2$ .
(2 points) $\left(x-\frac12\right)^2-\frac14=x^2-x+\frac14-\frac14=x^2-x$ . Un carré est positif, donc $x^2-x\geq-\frac14$ . Avec la question 3 : $-\frac14\leq x^2-x\leq2$ . La borne $-\frac14$ est atteinte quand $x-\frac12=0$ , soit $x=\frac12$ , qui est bien dans $[-1\,;2]$ . La borne 2 est atteinte quand $(x+1)(x-2)=0$ , soit $x=-1$ ou $x=2$ .

Barème : 1 + 1,5 + 1,5 + 2 = 6 points.

Points clés

$|X|\leq r$ équivaut à $-r\leq X\leq r$ : on construit $X$ étape par étape à partir de l'encadrement de $x$ .
Pour comparer à un nombre, on étudie le signe de la différence, souvent mise sous forme de produit.
Un carré est positif : c'est la façon la plus courte d'obtenir une borne inférieure.

Modèle 3, exercice 2 : racines carrées et identités remarquables (7 points)

Moyen

(1,5 point) Comparer $3\sqrt6$ et $2\sqrt{13}$ .
(1,5 point) Écrire $\dfrac{1}{\sqrt7-2}$ sans racine carrée au dénominateur.
(2 points) Développer $\left(\sqrt7-2\right)^2$ . En déduire une écriture simplifiée de $\sqrt{11-4\sqrt7}$ .
(2 points) À l'aide de l'identité $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ , factoriser $x^3-64$ . Montrer que $x^2+4x+16=(x+2)^2+12$ , puis en déduire le signe de $x^3-64$ selon les valeurs du réel $x$ .

Voir le corrigé

(1,5 point) Les deux nombres sont positifs. $\left(3\sqrt6\right)^2=9\times6=54$ et $\left(2\sqrt{13}\right)^2=4\times13=52$ . Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : $54\gt52$ , donc $3\sqrt6\gt2\sqrt{13}$ .
(1,5 point) On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt7+2$ : $\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt7-2}&=\frac{\sqrt7+2}{\left(\sqrt7\right)^2-2^2}\\&=\frac{\sqrt7+2}{3}.\end{aligned}$
(2 points) $\left(\sqrt7-2\right)^2=7-4\sqrt7+4=11-4\sqrt7$ . Donc $\sqrt{11-4\sqrt7}=\sqrt{\left(\sqrt7-2\right)^2}=\left|\sqrt7-2\right|$ . Or $7\gt4$ , donc $\sqrt7\gt2$ et $\sqrt7-2\gt0$ . Ainsi $\sqrt{11-4\sqrt7}=\sqrt7-2$ .
(2 points) Avec $a=x$ et $b=4$ : $x^3-64=x^3-4^3=(x-4)\left(x^2+4x+16\right)$ . Ensuite $(x+2)^2+12=x^2+4x+4+12=x^2+4x+16$ . Un carré est positif, donc $x^2+4x+16\geq12\gt0$ . Le produit $x^3-64$ a donc le signe de $x-4$ : il est strictement négatif pour $x\lt4$ , nul pour $x=4$ et strictement positif pour $x\gt4$ .

Barème : 1,5 + 1,5 + 2 + 2 = 7 points.

Points clés

Pour comparer deux racines positives, comparer leurs carrés en le justifiant par le signe.
$\sqrt{X^2}=|X|$ : on étudie le signe de $X$ avant d'enlever la valeur absolue.
$a^3-b^3$ se factorise par $a-b$ ; le second facteur s'étudie avec une forme $(\ldots)^2+c$ .

Modèle 3, exercice 3 : parallélogramme, alignement et projection orthogonale (7 points)

Difficile

ABC

est un triangle,

I

le milieu de

[AB]

J

le milieu de

[AC]

. Le point

E

est défini par

\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}

, et le point

K

par

\overrightarrow{AK}=\frac13\overrightarrow{AB}

(1,5 point) Montrer que $\overrightarrow{CI}=\frac12\overrightarrow{CE}$ . En déduire la nature du quadrilatère $CAEB$ .
(1,5 point) Exprimer $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . En déduire que $(BE)\parallel(AC)$ .
(2 points) Montrer que les points $J$ , $K$ et $E$ sont alignés et préciser la position de $K$ sur $[JE]$ .
(2 points) $H$ et $H^{\prime}$ sont les projetés orthogonaux de $J$ et de $E$ sur la droite $(AB)$ , et $h$ est l'abscisse de $H$ dans le repère $(A,B)$ . Montrer que $\overrightarrow{KH^{\prime}}=-2\overrightarrow{KH}$ , puis exprimer l'abscisse de $H^{\prime}$ en fonction de $h$ .

Voir le corrigé

(1,5 point) Par Chasles, $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}$ . De même, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$ . Ainsi $\overrightarrow{CI}=\frac12\overrightarrow{CE}$ : $I$ est le milieu de $[CE]$ . Les diagonales $[AB]$ et $[CE]$ du quadrilatère $CAEB$ ont le même milieu $I$ : $CAEB$ est un parallélogramme, non aplati car $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.
(1,5 point) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ . Ensuite $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc $(BE)\parallel(AC)$ .
(2 points) $\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{AC}$ , donc $\begin{aligned}\overrightarrow{JK}&=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK}\\&=\frac13\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{JE}&=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AE}\\&=\overrightarrow{AB}-\frac32\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$ Donc $\overrightarrow{JE}=3\overrightarrow{JK}$ : les vecteurs sont colinéaires avec l'origine commune $J$ , et $J$ , $K$ , $E$ sont alignés. Comme $\overrightarrow{JK}=\frac13\overrightarrow{JE}$ , $K$ est sur $[JE]$ , au tiers en partant de $J$ .
(2 points) $\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{KJ}+\overrightarrow{JE}=-\overrightarrow{JK}+3\overrightarrow{JK}=2\overrightarrow{JK}$ , donc $\overrightarrow{KE}=-2\overrightarrow{KJ}$ . Soit $q$ la projection orthogonale sur $(AB)$ : $q(K)=K$ car $K$ est sur $(AB)$ , $q(J)=H$ et $q(E)=H^{\prime}$ . La projection conserve le coefficient de colinéarité, donc $\overrightarrow{KH^{\prime}}=-2\overrightarrow{KH}$ . Dans le repère $(A,B)$ , $K$ a pour abscisse $\frac13$ . En notant $h^{\prime}$ l'abscisse de $H^{\prime}$ , l'égalité s'écrit $h^{\prime}-\frac13=-2\left(h-\frac13\right)$ , donc $h^{\prime}=1-2h$ .
$K$ est au tiers de $[JE]$ ; les projetés orthogonaux vérifient $\overrightarrow{KH^{\prime}}=-2\overrightarrow{KH}$ .

Barème : 1,5 + 1,5 + 2 + 2 = 7 points. Total du modèle 3 : 6 + 7 + 7 = 20 points.

Points clés

Deux diagonales de même milieu caractérisent un parallélogramme ; le milieu se prouve par $\overrightarrow{CI}=\frac12\overrightarrow{CE}$ .
Pour situer un point sur un segment, lire le coefficient de colinéarité : $\overrightarrow{JK}=\frac13\overrightarrow{JE}$ .
La projection orthogonale est une projection : elle conserve le coefficient, ce qui donne une relation entre abscisses.

Méthode de révision

Commencer par l'ordre, présent dans les trois modèles : relire les règles de l'ordre dans ℝ (somme, produit, inverse, valeur absolue), puis refaire une série d'exercices d'encadrement sans regarder les corrigés.
Revoir les calculs avec les racines carrées, les identités remarquables et les puissances, qui accompagnent presque toujours ce devoir, avec des exercices sur les ensembles de nombres.
Si les polynômes sont déjà traités, s'entraîner au tableau de Horner avec des exercices de factorisation. Les équations et inéquations viennent en général après ce devoir : leurs exercices corrigés préparent le devoir 3.
En géométrie, savoir écrire tout vecteur avec deux vecteurs de base : c'est la clé du calcul vectoriel et des exercices d'alignement.
Pour la projection dans le plan, apprendre à nommer la projection et à transporter un coefficient de colinéarité, comme dans ces exercices sur le théorème de Thalès.
La veille du devoir, refaire un modèle entier en temps limité, puis noter sa copie avec le barème : une rédaction incomplète coûte des points même quand le résultat est juste.

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