Projection dans le plan tronc commun : 16 exercices corrigés

Exercice 1 : Deux projections dans un parallélogramme

Facile

ABCD

est un parallélogramme de centre

O

;

I

est le milieu de

[AB]

et

J

celui de

[CD]

. On note

p_1

la projection sur

(AD)

parallèlement à

(AB)

, et

p_2

la projection sur

(BD)

parallèlement à

(AD)

.

Déterminer les images par $p_1$ des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $O$ .
Déterminer les images par $p_2$ des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $O$ .
Montrer que $p_2(I)=p_2(J)=O$ , puis en déduire que $(IJ)\parallel(AD)$ .

Voir le corrigé

Méthode : pour chaque point, on trace la parallèle à la direction passant par ce point et on cherche où elle coupe la droite de projection. Les deux projections existent :

(AD)

et

(AB)

sont sécantes en

A

,

(BD)

et

(AD)

sécantes en

D

.

$A$ et $D$ sont sur $(AD)$ : $p_1(A)=A$ , $p_1(D)=D$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $B$ est $(AB)$ , qui coupe $(AD)$ en $A$ : $p_1(B)=A$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $C$ est $(DC)$ , car $(DC)\parallel(AB)$ ; elle coupe $(AD)$ en $D$ : $p_1(C)=D$ . Enfin $O$ est le milieu de $[AC]$ , donc $p_1(O)$ est le milieu $F$ de $[p_1(A)p_1(C)]=[AD]$ : $p_1(O)=F$ , et l'on retrouve $(OF)\parallel(AB)$ .
$B$ , $D$ et $O$ sont sur $(BD)$ : ils sont invariants. La parallèle à $(AD)$ passant par $A$ est $(AD)$ , qui coupe $(BD)$ en $D$ : $p_2(A)=D$ . La parallèle à $(AD)$ passant par $C$ est $(BC)$ , car $(BC)\parallel(AD)$ ; elle coupe $(BD)$ en $B$ : $p_2(C)=B$ .
$I$ est le milieu de $[AB]$ , donc $p_2(I)$ est le milieu de $[p_2(A)p_2(B)]=[DB]$ , c'est-à-dire $O$ . De même, $J$ est le milieu de $[CD]$ , donc $p_2(J)$ est le milieu de $[p_2(C)p_2(D)]=[BD]$ , encore $O$ . Les points $I$ et $J$ sont distincts et ont la même image : ils sont sur une même parallèle à la direction, donc $(IJ)\parallel(AD)$ . La droite $(IJ)$ passe d'ailleurs par $O$ .

Parallélogramme ABCD de centre O, diagonale (BD) en orange. Les milieux I de [AB] et J de [CD] sont projetés sur (BD) parallèlement à (AD) : les deux flèches aboutissent en O, sur la droite (IJ) en pointillés parallèle à (AD). — Par $p_2$ , les milieux $I$ et $J$ ont la même image $O$ : la droite $(IJ)$ est parallèle à la direction $(AD)$ .

Exercice 2 : Projection orthogonale dans un losange

Facile

ABCD

est un losange de centre

O

avec

AC=8

cm. On note

q

la projection orthogonale sur

(AC)

.

Justifier que $q$ est la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BD)$ .
Donner les images de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $O$ .
$E$ est le milieu de $[AB]$ et $F$ celui de $[AD]$ . Montrer que $E$ et $F$ ont la même image, puis que $(EF)\perp(AC)$ .
Calculer la distance entre $A$ et $q(E)$ .

Voir le corrigé

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : $(BD)\perp(AC)$ . La projection orthogonale sur $(AC)$ suit la direction perpendiculaire à $(AC)$ , c'est-à-dire celle de $(BD)$ .
$A$ , $C$ et $O$ sont sur $(AC)$ : ils sont invariants. $B$ et $D$ sont sur la direction $(BD)$ , qui coupe $(AC)$ en $O$ : $q(B)=q(D)=O$ .
$q(E)$ est le milieu de $[q(A)q(B)]=[AO]$ et $q(F)$ le milieu de $[q(A)q(D)]=[AO]$ : c'est le même point, noté $H$ . Les points distincts $E$ et $F$ ont la même image, donc $(EF)\parallel(BD)$ ; comme $(BD)\perp(AC)$ , on obtient $(EF)\perp(AC)$ .
$O$ est le milieu de $[AC]$ , donc $AO=4$ cm, et $H$ est le milieu de $[AO]$ : $AH=2$ cm.

Exercice 3 : Projeter parallèlement à une médiane

Moyen

Dans un triangle

ABC

,

A^{\prime}

est le milieu de

[BC]

et

D

celui de

[AC]

. On note

p

la projection sur

(AB)

parallèlement à

(AA^{\prime})

, et

C_1=p(C)

.

Donner $p(A)$ , $p(B)$ et $p(A^{\prime})$ .
Montrer que $A$ est le milieu de $[BC_1]$ , et en déduire $\overrightarrow{AC_1}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ .
Situer $p(D)$ sur la droite $(AB)$ .
Montrer que $\overrightarrow{CC_1}=2\overrightarrow{A^{\prime}A}$ .

Indication

Question 2 :

A^{\prime}

est le milieu de

[BC]

; regarder ce que devient ce milieu.

Voir le corrigé

$(AB)$ et $(AA^{\prime})$ sont sécantes en $A$ , donc $p$ existe. $A$ et $B$ sont sur $(AB)$ : $p(A)=A$ , $p(B)=B$ . $A^{\prime}$ est sur la direction $(AA^{\prime})$ , qui coupe $(AB)$ en $A$ : $p(A^{\prime})=A$ .
$A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ , donc $p(A^{\prime})$ est le milieu de $[p(B)p(C)]=[BC_1]$ . Or $p(A^{\prime})=A$ : $A$ est le milieu de $[BC_1]$ , d'où $\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ . Le point $C_1$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ .
$D$ est le milieu de $[AC]$ , donc $p(D)$ est le milieu de $[AC_1]$ : $\overrightarrow{A\,p(D)}=\dfrac12\overrightarrow{AC_1}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}$ . Le point $p(D)$ est du côté opposé à $B$ , à mi-chemin entre $A$ et $C_1$ .
Dans le triangle $BCC_1$ , $A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ et $A$ celui de $[BC_1]$ . Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC_1}=2\overrightarrow{A^{\prime}B}+2\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{A^{\prime}A}$ . On retrouve que $(CC_1)$ est parallèle à la direction $(AA^{\prime})$ , comme il se doit puisque $C_1=p(C)$ .

Exercice 4 : Vrai ou faux sur les projections

Moyen

(D)

et

(\Delta)

sont deux droites sécantes en

O

, et

p

est la projection sur

(D)

parallèlement à

(\Delta)

. Dire si chaque affirmation est vraie ; justifier, ou donner un contre-exemple.

Tout point de $(D)$ est sa propre image.
Si $p(M)=M$ , alors $M\in(D)$ .
Deux points distincts ont toujours des images distinctes.
Tous les points de $(\Delta)$ ont pour image $O$ .
Si $M\neq N$ et $p(M)=p(N)$ , alors $(MN)\parallel(\Delta)$ .
Pour tout segment $[AB]$ , on a $A^{\prime}B^{\prime}=AB$ .
Si $C$ est le milieu de $[AB]$ , alors $C^{\prime}$ est le milieu de $[A^{\prime}B^{\prime}]$ , même si $(AB)\parallel(\Delta)$ .

Voir le corrigé

Vrai : la parallèle à $(\Delta)$ passant par un point $M$ de $(D)$ coupe $(D)$ en $M$ .
Vrai : une image est toujours sur $(D)$ , donc $M=p(M)$ est sur $(D)$ .
Faux : deux points distincts d'une même parallèle à $(\Delta)$ ont la même image ; par exemple tous les points de $(\Delta)$ ont pour image $O$ .
Vrai : pour un point de $(\Delta)$ , la parallèle à $(\Delta)$ qui le contient est $(\Delta)$ , qui coupe $(D)$ en $O$ .
Vrai : $M$ et $N$ sont alors sur la même parallèle à $(\Delta)$ , celle qui passe par leur image commune.
Faux : avec $A=O$ et $B$ un point de $(\Delta)$ distinct de $O$ , on a $A^{\prime}=B^{\prime}=O$ , donc $A^{\prime}B^{\prime}=0\neq AB$ . Une projection ne conserve pas les longueurs.
Vrai : si $(AB)\parallel(\Delta)$ , les points $A$ , $B$ , $C$ ont la même image, et un point est le milieu du segment réduit à ce point. La propriété du milieu ne demande aucune condition.

Exercice 5 : La droite des milieux d’un trapèze

Moyen

ABCD

est un trapèze de bases

[AB]

et

[CD]

, avec

(AB)\parallel(CD)

,

AB=7

cm et

DC=4

cm.

I

est le milieu de

[AD]

et

J

celui de

[BC]

. On note

p

la projection sur

(BC)

parallèlement à

(AB)

.

Déterminer $p(A)$ , $p(D)$ et $p(I)$ .
En déduire que $(IJ)\parallel(AB)$ .
Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\big)$ , puis calculer $IJ$ .

Voir le corrigé

$(BC)$ et $(AB)$ sont sécantes en $B$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $A$ est $(AB)$ , qui coupe $(BC)$ en $B$ : $p(A)=B$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $D$ est $(DC)$ ; elle coupe $(BC)$ en $C$ : $p(D)=C$ . Comme $I$ est le milieu de $[AD]$ , $p(I)$ est le milieu de $[p(A)p(D)]=[BC]$ : $p(I)=J$ .
Si $I$ était sur $(BC)$ , on aurait $p(I)=I$ , donc $I=J$ . Or $I$ est un point du côté $[AD]$ et $J$ un point du côté $[BC]$ , et deux côtés opposés du trapèze $ABCD$ n'ont aucun point commun. Donc $I\neq J$ , et $J=p(I)$ signifie que $(IJ)$ est la parallèle à $(AB)$ passant par $I$ : $(IJ)\parallel(AB)$ .
Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}$ . En additionnant, $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\vec0$ et $\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec0$ (milieux), donc $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont même direction et même sens (bases d'un trapèze $ABCD$ ), donc $IJ=\dfrac{AB+DC}{2}=\dfrac{7+4}{2}=5{,}5$ cm.

Exercice 6 : La médiane coupe toute parallèle en son milieu

Difficile

Dans un triangle

ABC

,

A^{\prime}

est le milieu de

[BC]

. Une droite parallèle à

(BC)

, ne passant pas par

A

, coupe

(AB)

en

M

,

(AC)

en

N

et

(AA^{\prime})

en

P

. On note

k

le réel tel que

\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}

.

À l'aide de la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ , montrer que $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ .
À l'aide d'une projection bien choisie, montrer que $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AA^{\prime}}$ .
En déduire que $P$ est le milieu de $[MN]$ .

Indication

Question 3 : écrire

\overrightarrow{AA^{\prime}}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)

et comparer avec

\dfrac12\big(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\big)

.

Voir le corrigé

Soit $p$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ (droites sécantes en $C$ ). $p(A)=A$ , $p(B)=C$ , et $p(M)=N$ car $N\in(AC)$ et $(MN)\parallel(BC)$ . La conservation du coefficient transforme $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ .
On veut une image sur $(AA^{\prime})$ qui soit $P$ : comme $(MP)\parallel(BC)$ , on choisit la projection $q$ sur $(AA^{\prime})$ parallèlement à $(BC)$ (droites sécantes en $A^{\prime}$ ). $q(A)=A$ , $q(B)=A^{\prime}$ car $B$ est sur la direction $(BC)$ , et $q(M)=P$ car $P\in(AA^{\prime})$ et $(MP)\parallel(BC)$ . Donc $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AA^{\prime}}$ .
$A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ , donc $\overrightarrow{AA^{\prime}}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)$ . Alors $\begin{aligned}\overrightarrow{AP}&=\tfrac k2\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)\\&=\tfrac12\big(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\big),\end{aligned}$ ce qui caractérise le milieu de $[MN]$ . Le résultat vaut pour toute parallèle à $(BC)$ : la médiane issue de $A$ partage chacune en deux.

Exercice 7 : Projection sur un axe et mesures algébriques

Facile

Soit

\vec u

un vecteur non nul. Sur une droite

(L)

passant par

A

et parallèle à

\vec u

, on place

B

,

C

,

E

tels que

\overrightarrow{AB}=\vec u

,

\overrightarrow{AC}=4\vec u

et

\overrightarrow{AE}=-2\vec u

. On projette sur un axe

(D)

de repère

(O,\vec i)

, parallèlement à une droite

(\Delta)

sécante à

(D)

et non parallèle à

(L)

. Les projetés

A^{\prime}

et

C^{\prime}

ont pour abscisses 1 et 9.

Écrire $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{EC}$ comme multiples de $\overrightarrow{AC}$ .
En déduire les abscisses de $B^{\prime}$ et $E^{\prime}$ , puis la mesure algébrique $\overline{E^{\prime}C^{\prime}}$ .
Montrer que $B^{\prime}$ est le milieu de $[E^{\prime}C^{\prime}]$ .
Un point $F$ de $(L)$ a un projeté $F^{\prime}$ d'abscisse $-5$ . Placer $F$ sur $(L)$ .

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$\vec u=\dfrac14\overrightarrow{AC}$ , donc $\overrightarrow{AB}=\dfrac14\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}$ . Puis $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}=2\vec u+4\vec u=6\vec u=\dfrac32\overrightarrow{AC}$ .
Sur l'axe, $\overline{A^{\prime}C^{\prime}}=9-1=8$ . La projection conserve le coefficient de colinéarité, donc les mesures algébriques sont multipliées par le même réel : $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac14\times8=2$ , d'où $x_{B^{\prime}}=1+2=3$ ; $\overline{A^{\prime}E^{\prime}}=-\dfrac12\times8=-4$ , d'où $x_{E^{\prime}}=1-4=-3$ . Enfin $\overline{E^{\prime}C^{\prime}}=\dfrac32\times8=12$ , ce que confirme $9-(-3)=12$ .
$\dfrac{x_{E^{\prime}}+x_{C^{\prime}}}{2}=\dfrac{-3+9}{2}=3=x_{B^{\prime}}$ : $B^{\prime}$ est le milieu de $[E^{\prime}C^{\prime}]$ . C'était prévisible : sur $(L)$ , $B$ est le milieu de $[EC]$ ( $\overrightarrow{EB}=3\vec u$ , $\overrightarrow{EC}=6\vec u$ ), et la projection conserve le milieu.
$\overline{A^{\prime}F^{\prime}}=-5-1=-6=-\dfrac34\times8$ , donc $\overrightarrow{A^{\prime}F^{\prime}}=-\dfrac34\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ . Les points $A$ , $C$ , $F$ sont alignés sur $(L)$ , qui n'est pas parallèle à $(\Delta)$ : on peut remonter le coefficient, $\overrightarrow{AF}=-\dfrac34\overrightarrow{AC}=-3\vec u$ . Le point $F$ est à trois graduations de $A$ , du côté de $E$ et au-delà de lui. Sans l'hypothèse « $(L)$ non parallèle à $(\Delta)$ », tous les points de $(L)$ auraient la même image et $F$ ne serait pas déterminé.

Exercice 8 : Un point projeté dans deux directions

Moyen

Dans un triangle

ABC

, le point

E

vérifie

\overrightarrow{BE}=\dfrac27\overrightarrow{BC}

. On note

E_1

le projeté de

E

sur

(AB)

parallèlement à

(AC)

, et

E_2

son projeté sur

(AC)

parallèlement à

(AB)

.

Montrer que $\overrightarrow{BE_1}=\dfrac27\overrightarrow{BA}$ , puis exprimer $\overrightarrow{AE_1}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ .
Exprimer de même $\overrightarrow{CE_2}$ en fonction de $\overrightarrow{CA}$ , puis $\overrightarrow{AE_2}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ .
Justifier que $AE_1EE_2$ est un parallélogramme et en déduire $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . Vérifier par la relation de Chasles.

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Projection $p_1$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ : $p_1(B)=B$ , et $p_1(C)=A$ car $C$ est sur la direction $(AC)$ , qui coupe $(AB)$ en $A$ . La relation $\overrightarrow{BE}=\dfrac27\overrightarrow{BC}$ devient $\overrightarrow{BE_1}=\dfrac27\overrightarrow{BA}$ . Puis $\overrightarrow{AE_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE_1}=\overrightarrow{AB}-\dfrac27\overrightarrow{AB}=\dfrac57\overrightarrow{AB}$ .
On écrit la relation à partir de $C$ : $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\dfrac57\overrightarrow{CB}$ . Projection $p_2$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ : $p_2(C)=C$ , $p_2(B)=A$ . Donc $\overrightarrow{CE_2}=\dfrac57\overrightarrow{CA}$ , et $\overrightarrow{AE_2}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE_2}=\dfrac27\overrightarrow{AC}$ .
$(EE_1)\parallel(AC)$ par définition de $E_1$ , et $(EE_2)\parallel(AB)$ par définition de $E_2$ : les côtés opposés de $AE_1EE_2$ sont parallèles, c'est un parallélogramme et $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE_1}+\overrightarrow{AE_2}=\dfrac57\overrightarrow{AB}+\dfrac27\overrightarrow{AC}$ . Vérification : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\dfrac27\big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\big)=\dfrac57\overrightarrow{AB}+\dfrac27\overrightarrow{AC}$ . Les deux coefficients ont pour somme 1, ce qui traduit $E\in(BC)$ .

Exercice 9 : Trouver les erreurs dans une copie

Moyen

Dans un triangle

ABC

avec

AB=8

cm et

AC=6

cm,

M

est le point de

[AB]

tel que

\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AB}

. On note

p

la projection sur

(AC)

parallèlement à

(BC)

et

N=p(M)

. Voici la copie d'un élève :

« $p(A)=A$ et $p(B)=C$ , donc $\overrightarrow{AN}=\dfrac14\overrightarrow{AC}$ . »
« La projection conserve les longueurs, donc $AN=AM=2$ cm. »
« $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AC}-\dfrac14\overrightarrow{AB}=\dfrac14\overrightarrow{CB}$ . »
« Un point $P$ du plan tel que $p(P)=A$ est forcément le point $A$ . »

Repérer les lignes fausses, expliquer l'erreur et corriger.

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Juste : $A\in(AC)$ est invariant, $B$ est sur la direction $(BC)$ , qui coupe $(AC)$ en $C$ , et la projection conserve le coefficient $\dfrac14$ .
Faux : une projection ne conserve pas les longueurs. La ligne a) donne $AN=\dfrac14AC=\dfrac64=1{,}5$ cm.
Faux, erreur de signe : $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}$ . Donc $\overrightarrow{MN}=\dfrac14\overrightarrow{BC}$ , ce qui confirme $(MN)\parallel(BC)$ .
Faux : tous les points de la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ ont pour image $A$ . L'affirmation devient vraie si l'on ajoute $P\in(AB)$ : la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à la direction $(BC)$ , donc elle ne coupe cette parallèle qu'en $A$ .

Exercice 10 : Traduction vectorielle de Thalès, deux configurations

Facile

ABC

est un triangle avec

AB=6

cm,

AC=4{,}5

cm et

BC=5

cm. Le point

M

vérifie

\overrightarrow{AM}=\dfrac43\overrightarrow{AB}

, et la parallèle à

(BC)

passant par

M

coupe

(AC)

en

N

.

Écrire la traduction vectorielle du théorème de Thalès dans cette configuration : exprimer $\overrightarrow{AN}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ .
Calculer $AM$ , $AN$ et $MN$ .
La parallèle à $(BC)$ passant par un point $M_1$ de $(AB)$ coupe $(AC)$ en $N_1$ , avec $\overrightarrow{AN_1}=-\dfrac23\overrightarrow{AC}$ . Déterminer $\overrightarrow{AM_1}$ , puis $AM_1$ et $M_1N_1$ . Où se trouve $M_1$ ?

Voir le corrigé

$M\in(AB)$ , $N\in(AC)$ et $(MN)\parallel(BC)$ : la forme vectorielle du théorème de Thalès donne $\overrightarrow{AN}=\dfrac43\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=\dfrac43\overrightarrow{BC}$ .
Les longueurs sont multipliées par $\dfrac43$ : $AM=\dfrac43\times6=8$ cm, $AN=\dfrac43\times4{,}5=6$ cm et $MN=\dfrac43\times5=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$ cm.
On lit cette fois Thalès depuis $(AC)$ : la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ envoie $A$ sur $A$ , $C$ sur $B$ et $N_1$ sur $M_1$ , car $(M_1N_1)\parallel(BC)$ . La conservation du coefficient donne $\overrightarrow{AM_1}=-\dfrac23\overrightarrow{AB}$ , puis $\overrightarrow{M_1N_1}=\overrightarrow{AN_1}-\overrightarrow{AM_1}=-\dfrac23\overrightarrow{BC}$ . Donc $AM_1=\dfrac23\times6=4$ cm et $M_1N_1=\dfrac23\times5=\dfrac{10}{3}\approx3{,}33$ cm (et $AN_1=3$ cm). Le coefficient est négatif : $M_1$ est sur la demi-droite opposée à $[AB)$ , de l'autre côté de $A$ (configuration papillon).

Exercice 11 : Parallèle ou non par la réciproque

Moyen

Dans un triangle

ABC

, on définit

M

par

3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}=\vec0

,

N

par

3\overrightarrow{NA}+5\overrightarrow{NC}=\vec0

,

P

par

\overrightarrow{AP}=\dfrac38\overrightarrow{AC}

et

Q

par

\overrightarrow{AQ}=-\dfrac58\overrightarrow{AC}

.

Montrer que $\overrightarrow{AM}=\dfrac58\overrightarrow{AB}$ .
Montrer que $\overrightarrow{AN}=\dfrac58\overrightarrow{AC}$ . En déduire que $(MN)\parallel(BC)$ et exprimer $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ .
Les droites $(MP)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Et les droites $(MQ)$ et $(BC)$ ?

Voir le corrigé

On écrit $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ : $3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{AB}=\vec0$ , soit $8\overrightarrow{MA}=-5\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{AM}=\dfrac58\overrightarrow{AB}$ .
Même calcul qu'à la question 1, avec $C$ à la place de $B$ : $3\overrightarrow{NA}+5\overrightarrow{NA}+5\overrightarrow{AC}=\vec0$ , donc $\overrightarrow{AN}=\dfrac58\overrightarrow{AC}$ . Les points $M$ et $N$ sont placés sur $(AB)$ et $(AC)$ avec le même coefficient $\dfrac58$ à partir de $A$ : la réciproque vectorielle de Thalès donne $\overrightarrow{MN}=\dfrac58\overrightarrow{BC}$ , donc $(MN)\parallel(BC)$ .
Non pour les deux. Si $(MP)\parallel(BC)$ , la forme vectorielle de Thalès appliquée à $M\in(AB)$ et $P\in(AC)$ donnerait $\overrightarrow{AP}=\dfrac58\overrightarrow{AC}$ , alors que $\overrightarrow{AP}=\dfrac38\overrightarrow{AC}$ avec $\overrightarrow{AC}\neq\vec0$ : $(MP)$ et $(BC)$ sont sécantes. Pour $Q$ , le piège est plus fin : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac58$ , mais les coefficients $\dfrac58$ et $-\dfrac58$ diffèrent, car les points ne sont pas dans le même ordre. Le même raisonnement par l'absurde montre que $(MQ)$ coupe $(BC)$ .

Exercice 12 : Un rapport sur une médiane

Difficile

Dans un triangle

ABC

,

A^{\prime}

est le milieu de

[BC]

et

M

le point tel que

\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AB}

. La droite

(CM)

coupe la médiane

(AA^{\prime})

en

P

. On note

p

la projection sur

(AB)

parallèlement à

(CM)

.

Donner $p(A)$ , $p(B)$ , $p(C)$ et $p(P)$ .
On pose $Q=p(A^{\prime})$ . Montrer que $Q$ est le milieu de $[BM]$ , puis que $\overrightarrow{AQ}=\dfrac58\overrightarrow{AB}$ .
En déduire que $\overrightarrow{AP}=\dfrac25\overrightarrow{AA^{\prime}}$ .
Montrer que $\overrightarrow{MP}=\dfrac15\overrightarrow{MC}$ .

Indication

Question 3 : les points

A

,

P

,

A^{\prime}

sont alignés sur une droite qui coupe

(CM)

; on peut donc retrouver le coefficient à partir des images

A

,

M

,

Q

.

Voir le corrigé

$(AB)$ et $(CM)$ sont sécantes en $M$ . $A$ et $B$ sont sur $(AB)$ : invariants. $C$ et $P$ sont sur la direction $(CM)$ , qui coupe $(AB)$ en $M$ : $p(C)=p(P)=M$ .
$A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ , donc $Q$ est le milieu de $[p(B)p(C)]=[BM]$ . Alors $\overrightarrow{AQ}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\big)=\dfrac12\Big(1+\dfrac14\Big)\overrightarrow{AB}=\dfrac58\overrightarrow{AB}$ .
Sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AB}=\dfrac14\times\dfrac85\overrightarrow{AQ}=\dfrac25\overrightarrow{AQ}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{p(A)p(P)}=\dfrac25\overrightarrow{p(A)p(A^{\prime})}$ . Les points $A$ , $P$ , $A^{\prime}$ sont alignés, $A\neq A^{\prime}$ , et la droite $(AA^{\prime})$ n'est pas parallèle à la direction $(CM)$ puisqu'elle la coupe en $P$ . On peut donc remonter le coefficient : $\overrightarrow{AP}=\dfrac25\overrightarrow{AA^{\prime}}$ .
$\overrightarrow{AA^{\prime}}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)$ , donc $\overrightarrow{AP}=\dfrac15\overrightarrow{AB}+\dfrac15\overrightarrow{AC}$ . Alors $\begin{aligned}\overrightarrow{MP}&=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\&=\tfrac15\overrightarrow{AC}-\tfrac1{20}\overrightarrow{AB}\\&=\tfrac15\Big(\overrightarrow{AC}-\tfrac14\overrightarrow{AB}\Big)\\&=\tfrac15\overrightarrow{MC},\end{aligned}$ car $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$ . Le point $P$ est au cinquième de $[MC]$ en partant de $M$ .

Exercice 13 : Coordonnées dans le repère d’un parallélogramme

Moyen

ABCD

est un parallélogramme de centre

O

. On se place dans le repère

(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})

.

I

est le milieu de

[BC]

et

J

le point tel que

\overrightarrow{DJ}=\dfrac13\overrightarrow{DC}

. On note

p_1

la projection sur

(AB)

parallèlement à

(AD)

et

p_2

la projection sur

(AD)

parallèlement à

(AB)

.

Donner les coordonnées de $B$ , $C$ , $D$ et $O$ .
À l'aide de $p_1$ et $p_2$ , déterminer les coordonnées de $I$ et de $J$ .
Expliquer comment construire le point $K\left(-\dfrac12\,;\dfrac32\right)$ .

Voir le corrigé

$\overrightarrow{AB}=1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}$ , donc $B(1\,;0)$ ; de même $D(0\,;1)$ . Comme $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (règle du parallélogramme), $C(1\,;1)$ . $O$ est le milieu de $[AC]$ : $\overrightarrow{AO}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$ , donc $O\left(\dfrac12\,;\dfrac12\right)$ .
Images utiles : $p_1(B)=p_1(C)=B$ (car $(BC)\parallel(AD)$ ), $p_1(D)=A$ ; $p_2(B)=A$ , $p_2(C)=p_2(D)=D$ (car $(DC)\parallel(AB)$ ).
- $I$ milieu de $[BC]$ : $p_1(I)$ est le milieu de $[BB]$ , soit $B$ , d'où $x=1$ ; $p_2(I)$ est le milieu de $[AD]$ , d'où $y=\dfrac12$ . Donc $I\left(1\,;\dfrac12\right)$ .
- $J$ : la relation $\overrightarrow{DJ}=\dfrac13\overrightarrow{DC}$ se transporte par $p_1$ en $\overrightarrow{AJ_1}=\dfrac13\overrightarrow{AB}$ , d'où $x=\dfrac13$ ; $J\in(DC)$ , donc $p_2(J)=D$ et $y=1$ . Donc $J\left(\dfrac13\,;1\right)$ .
On place $K_1$ sur $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AK_1}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}$ (du côté opposé à $B$ ) et $K_2$ sur $(AD)$ tel que $\overrightarrow{AK_2}=\dfrac32\overrightarrow{AD}$ . Le point $K$ est le quatrième sommet du parallélogramme $AK_1KK_2$ : la parallèle à $(AD)$ passant par $K_1$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $K_2$ se coupent en $K$ , et $K_1$ , $K_2$ sont bien ses projetés sur les axes.

Exercice 14 : Alignement et coordonnées dans un repère oblique

Difficile

OAB

est un triangle, et l'on travaille dans le repère

(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})

: un point

M

a pour coordonnées

(x\,;y)

lorsque

\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}

.

On suppose $M\in(AB)$ , avec $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ . En projetant $M$ sur $(OA)$ parallèlement à $(OB)$ , puis sur $(OB)$ parallèlement à $(OA)$ , montrer que $x=1-t$ et $y=t$ . En déduire $x+y=1$ .
Réciproquement, on suppose $x+y=1$ . Montrer que $\overrightarrow{AM}=y\overrightarrow{AB}$ et conclure.
Les points $R(0{,}35\,;0{,}65)$ , $S(1{,}2\,;-0{,}2)$ et $T(0{,}4\,;0{,}5)$ sont-ils sur $(AB)$ ? Sur le segment $[AB]$ ?

Indication

Question 1 : la projection sur

(OA)

parallèlement à

(OB)

laisse

A

fixe et envoie

B

sur

O

; transporter

\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}

.

Voir le corrigé

Soit $p_1$ la projection sur $(OA)$ parallèlement à $(OB)$ : $p_1(A)=A$ , $p_1(B)=O$ , et $p_1(M)=M_1$ avec $\overrightarrow{OM_1}=x\overrightarrow{OA}$ (lecture des coordonnées). La conservation du coefficient donne $\overrightarrow{AM_1}=t\overrightarrow{AO}$ , donc $\overrightarrow{OM_1}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AO}=(1-t)\overrightarrow{OA}$ et $x=1-t$ . Soit $p_2$ la projection sur $(OB)$ parallèlement à $(OA)$ : $p_2(A)=O$ , $p_2(B)=B$ , donc $\overrightarrow{OM_2}=t\overrightarrow{OB}$ et $y=t$ . Ainsi $x+y=1$ .
Si $x+y=1$ , alors $x-1=-y$ et $\begin{aligned}\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\\&=(x-1)\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\\&=y\big(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\big)\\&=y\overrightarrow{AB}.\end{aligned}$ Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires : $M\in(AB)$ . Bilan : $M\in(AB)\iff x+y=1$ .
$R$ : $0{,}35+0{,}65=1$ , donc $R\in(AB)$ , avec $\overrightarrow{AR}=0{,}65\,\overrightarrow{AB}$ ; comme $0\leq0{,}65\leq1$ , $R\in[AB]$ . $S$ : $1{,}2-0{,}2=1$ , donc $S\in(AB)$ , mais $\overrightarrow{AS}=-0{,}2\,\overrightarrow{AB}$ : $S$ est hors du segment, du côté de $A$ . $T$ : $0{,}4+0{,}5=0{,}9\neq1$ , donc $T\notin(AB)$ .

Exercice 15 : L’ombre de deux poteaux

Moyen

Sur un terrain plat, deux poteaux verticaux

[AB]

et

[CD]

sont plantés en

A

et

C

, avec

AC=5

m. Le premier mesure

AB=2{,}4

m. À un instant donné, les rayons du soleil sont parallèles. L'ombre du premier poteau est

[AB^{\prime}]

avec

AB^{\prime}=3

m, celle du second est

[CD^{\prime}]

avec

CD^{\prime}=4{,}5

m, les deux ombres étant dirigées dans le sens de

A

vers

C

(voir la figure).

Sol horizontal avec deux poteaux verticaux : [AB] de 2,4 m et [CD] de hauteur inconnue h, distants de AC = 5 m. Des rayons du soleil parallèles en pointillés passent par B et D et touchent le sol en B′ et D′ ; ombres AB′ = 3 m et CD′ = 4,5 m en orange. — Données de l'exercice : l'ombre d'un point est son projeté sur le sol parallèlement aux rayons.

Expliquer pourquoi $B^{\prime}$ et $D^{\prime}$ sont les images de $B$ et $D$ par une projection que l'on précisera. Que deviennent $A$ et $C$ ?
On note $k$ le réel tel que $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ . Déterminer $k$ , puis la hauteur $h=CD$ du second poteau.
Une lampe $E$ est fixée sur le second poteau à $1{,}6$ m du sol. À quelle distance de $C$ se trouve son ombre ?
Une corde tendue relie le sommet $B$ au pied $C$ du second poteau. Quelle est son ombre ? À quelle distance de $A$ se trouve l'ombre du milieu de la corde ?

Voir le corrigé

On travaille dans le plan vertical qui contient les deux poteaux. On modélise le sol par une droite $(S)$ et la direction des rayons par une droite $(\Delta)$ , sécante à $(S)$ . L'ombre d'un point est le point où le rayon qui passe par lui touche le sol : c'est son image par la projection $p$ sur $(S)$ parallèlement à $(\Delta)$ . Ainsi $p(B)=B^{\prime}$ , $p(D)=D^{\prime}$ , et $A$ , $C$ , qui sont au sol, sont invariants.
Les deux poteaux sont verticaux, donc $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires et de même sens : $k\gt 0$ . La projection conserve le coefficient : $\overrightarrow{CD^{\prime}}=k\overrightarrow{AB^{\prime}}$ . Ces vecteurs ont le même sens, donc $k=\dfrac{CD^{\prime}}{AB^{\prime}}=\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5$ , et $h=1{,}5\times2{,}4=3{,}6$ m.
$\overrightarrow{CE}=\dfrac{1{,}6}{3{,}6}\overrightarrow{CD}=\dfrac49\overrightarrow{CD}$ . Par projection, $\overrightarrow{CE^{\prime}}=\dfrac49\overrightarrow{CD^{\prime}}$ , donc $CE^{\prime}=\dfrac49\times4{,}5=2$ m.
L'image du segment $[BC]$ est $[p(B)p(C)]=[B^{\prime}C]$ : l'ombre de la corde va de $B^{\prime}$ au pied du second poteau. L'ombre du milieu de la corde est le milieu de $[B^{\prime}C]$ . Sur le sol, $B^{\prime}$ est à 3 m de $A$ et $C$ à 5 m, du même côté : ce milieu est à $\dfrac{3+5}{2}=4$ m de $A$ . La corde mesure environ $5{,}5$ m alors que son ombre ne mesure que 2 m : seules les proportions sur une même droite sont conservées.

Exercice 16 : Trois droites concourantes dans un parallélogramme

Difficile

ABCD

est un parallélogramme ;

E

est le milieu de

[AB]

et

F

celui de

[AD]

. La droite

(DE)

coupe la diagonale

(AC)

en

K

. On note

p

la projection sur

(AB)

parallèlement à

(DE)

, et

C^{\prime}=p(C)

.

Donner $p(A)$ , $p(B)$ , $p(D)$ et $p(K)$ . Montrer que $\overrightarrow{EC^{\prime}}=\overrightarrow{AB}$ .
En déduire que $\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AC}$ .
Montrer que les points $B$ , $K$ , $F$ sont alignés. Que peut-on dire des droites $(DE)$ , $(AC)$ et $(BF)$ ?

Voir le corrigé

$(AB)$ et $(DE)$ sont sécantes en $E$ . $A$ et $B$ sont invariants ; $D$ et $K$ sont sur la direction $(DE)$ , donc $p(D)=p(K)=E$ . Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ ; la conservation du coefficient ( $k=1$ ) donne $\overrightarrow{p(D)p(C)}=\overrightarrow{p(A)p(B)}$ , soit $\overrightarrow{EC^{\prime}}=\overrightarrow{AB}$ .
Sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AE}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC^{\prime}}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC^{\prime}}=\dfrac32\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{AE}=\dfrac13\overrightarrow{AC^{\prime}}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{p(A)p(K)}=\dfrac13\overrightarrow{p(A)p(C)}$ . Les points $A$ , $K$ , $C$ sont alignés et $(AC)$ n'est pas parallèle à $(DE)$ (elle la coupe en $K$ ) : le coefficient se remonte, $\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AC}$ .
Avec $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ : $\begin{aligned}\overrightarrow{BK}&=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}\\&=-\tfrac23\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{BF}&=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}\\&=-\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AD}.\end{aligned}$ Donc $\overrightarrow{BK}=\dfrac23\overrightarrow{BF}$ : les vecteurs sont colinéaires et $B$ , $K$ , $F$ sont alignés. Les trois droites $(DE)$ , $(AC)$ et $(BF)$ passent par $K$ : elles sont concourantes.

Problème : parallèle, médiane et parallélogramme dans un triangle

Type devoir

Durée conseillée : 1 h, comme un contrôle en classe. Barème sur 20 points. Chaque projection utilisée doit être nommée (droite et direction) et chaque image justifiée.

Soit

ABC

un triangle et

I

le milieu de

[BC]

.

(3 points) Le point $M$ vérifie $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec0$ . Montrer que $\overrightarrow{AM}=\dfrac35\overrightarrow{AB}$ et construire $M$ .
(3 points) La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$ . À l'aide d'une projection, montrer que $\overrightarrow{AN}=\dfrac35\overrightarrow{AC}$ , puis exprimer $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ .
(4 points) La droite $(AI)$ coupe $(MN)$ en $K$ . En projetant sur $(AI)$ parallèlement à $(BC)$ , montrer que $\overrightarrow{AK}=\dfrac35\overrightarrow{AI}$ . En déduire $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
(3 points) On note $N^{\prime}$ le projeté de $N$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$ . Montrer que $\overrightarrow{BN^{\prime}}=\dfrac35\overrightarrow{BC}$ .
(2 points) Montrer que $BMNN^{\prime}$ est un parallélogramme.
(5 points) La droite $(BK)$ coupe $(AC)$ en $P$ .
1. (3 points) En utilisant la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BK)$ , montrer que $\overrightarrow{AP}=\dfrac37\overrightarrow{AC}$ .
2. (2 points) Exprimer $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{BP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis vérifier que $\overrightarrow{BK}=\dfrac7{10}\overrightarrow{BP}$ .

Indication

Question 4 : écrire la position de

N

à partir de

C

,

\overrightarrow{CN}=\dfrac25\overrightarrow{CA}

, avant de projeter. Question 6 a) : l'image de

I

est le milieu de

[PC]

.

Voir le corrigé

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ , donc $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}=\vec0$ , soit $5\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}=\dfrac35\overrightarrow{AB}$ . On place $M$ sur $[AB]$ aux trois cinquièmes en partant de $A$ .
Soit $p$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ (droites sécantes en $C$ ) : $p(A)=A$ , $p(B)=C$ , $p(M)=N$ car $N\in(AC)$ et $(MN)\parallel(BC)$ . La projection conserve le coefficient : $\overrightarrow{AN}=\dfrac35\overrightarrow{AC}$ . Puis $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac35\big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\big)=\dfrac35\overrightarrow{BC}$ .
Soit $q$ la projection sur $(AI)$ parallèlement à $(BC)$ (droites sécantes en $I$ ) : $q(A)=A$ , $q(B)=I$ car $B\in(BC)$ , et $q(M)=K$ car $K\in(AI)$ et $(MK)=(MN)\parallel(BC)$ . Donc $\overrightarrow{AK}=\dfrac35\overrightarrow{AI}$ . Comme $I$ est le milieu de $[BC]$ , $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)$ , d'où $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}-\dfrac35\overrightarrow{CA}=\dfrac25\overrightarrow{CA}$ . Soit $r$ la projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$ (droites sécantes en $B$ ) : $r(C)=C$ , $r(A)=B$ , $r(N)=N^{\prime}$ . Donc $\overrightarrow{CN^{\prime}}=\dfrac25\overrightarrow{CB}$ , puis $\overrightarrow{BN^{\prime}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN^{\prime}}=\overrightarrow{BC}-\dfrac25\overrightarrow{BC}=\dfrac35\overrightarrow{BC}$ .
D'après les questions 2 et 4, $\overrightarrow{MN}=\dfrac35\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BN^{\prime}}$ . Les points $B$ , $M$ , $N$ ne sont pas alignés ( $N\notin(AB)$ ), donc $BMNN^{\prime}$ est un parallélogramme.
1. $(AC)$ et $(BK)$ sont sécantes en $P$ . Soit $s$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BK)$ : $s(A)=A$ , $s(C)=C$ , $s(B)=s(K)=P$ (points de la direction $(BK)$ ), et $s(I)$ est le milieu $Q$ de $[s(B)s(C)]=[PC]$ . La relation $\overrightarrow{AK}=\dfrac35\overrightarrow{AI}$ de la question 3 se transporte : $\overrightarrow{AP}=\dfrac35\overrightarrow{AQ}$ . Or $\overrightarrow{AQ}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}\big)$ , donc $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AP}+\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AC}$ , soit $\dfrac{7}{10}\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AP}=\dfrac37\overrightarrow{AC}$ .
2. $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=-\dfrac{7}{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac37\overrightarrow{AC}$ . Alors $\dfrac{7}{10}\overrightarrow{BP}=-\dfrac{7}{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{10}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BK}$ : on retrouve l'alignement de $B$ , $K$ , $P$ .

Triangle ABC avec la médiane [AI]. Le segment [MN] en orange, parallèle à (BC), coupe la médiane en K. Le point N′ de [BC] est relié à N par un pointillé parallèle à (AB). La droite issue de B passe par K et coupe [AC] en P. — $\overrightarrow{AM}=\dfrac35\overrightarrow{AB}$ , $(MN)\parallel(BC)$ , $K$ sur la médiane $(AI)$ , $BMNN^{\prime}$ parallélogramme, et $B$ , $K$ , $P$ alignés.

Barème indicatif : 3 + 3 + 4 + 3 + 2 + 5 = 20 points. Aux questions 2 à 4, une image donnée sans la droite et la direction de la projection ne rapporte que la moitié des points.

Projection dans le plan tronc commun : 16 exercices corrigés

Construire des projetés

Exercice 1 : Deux projections dans un parallélogramme

Exercice 2 : Projection orthogonale dans un losange

Exercice 3 : Projeter parallèlement à une médiane

Exercice 4 : Vrai ou faux sur les projections

Milieux et parallèles

Exercice 5 : La droite des milieux d’un trapèze

Exercice 6 : La médiane coupe toute parallèle en son milieu

Coefficient de colinéarité et projection sur un axe

Exercice 7 : Projection sur un axe et mesures algébriques

Exercice 8 : Un point projeté dans deux directions

Exercice 9 : Trouver les erreurs dans une copie

Traduction vectorielle du théorème de Thalès

Exercice 10 : Traduction vectorielle de Thalès, deux configurations

Exercice 11 : Parallèle ou non par la réciproque

Exercice 12 : Un rapport sur une médiane

Coordonnées, ombres et droites concourantes

Exercice 13 : Coordonnées dans le repère d’un parallélogramme

Exercice 14 : Alignement et coordonnées dans un repère oblique

Exercice 15 : L’ombre de deux poteaux

Exercice 16 : Trois droites concourantes dans un parallélogramme

Problème de synthèse type devoir surveillé

Problème : parallèle, médiane et parallélogramme dans un triangle

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