Calcul vectoriel dans le plan tronc commun : cours et résumé

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par une direction, celle de la droite $(AB)$ , un sens, de $A$ vers $B$ , et une norme, la longueur $AB$ . Tout le calcul vectoriel repose sur trois outils : la relation de Chasles $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , le produit $k\vec{u}$ d'un vecteur par un réel, et la colinéarité, qui traduit l'alignement et le parallélisme. Par exemple, si $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AB}$ : les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés et $AC=3AB$ .

Accès direct : résumé de cours en un tableau, méthode pour exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs, caractérisations du milieu, 18 exercices corrigés et un devoir surveillé.

Chapitre du semestre 1 du tronc commun scientifique et technologique (TCS, TCT), option française. Prérequis : la translation et les propriétés du parallélogramme vues au collège.

Sommaire7 parties

Résumé de cours : l’essentiel du calcul vectoriel

Chaque règle du chapitre tient sur une ligne, avec sa condition d'emploi. Le lien de la première colonne mène à la section qui l'explique.

Règle	Formule et condition
Égalité et parallélogramme	$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme, éventuellement aplati
Chasles	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ pour tous points $A$ , $B$ , $C$
Règle du parallélogramme	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ si $ABCD$ est un parallélogramme
Différence	$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$ pour tout point $M$
Produit par un réel	$k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$ , la norme $\|k\|\,\\|\vec{u}\\|$ , le sens contraire si $k$ est négatif
Propriétés du produit	$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ $(k+k^{\prime})\vec{u}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}$ $k(k^{\prime}\vec{u})=(kk^{\prime})\vec{u}$ $k\vec{u}=\vec{0}\iff k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$
Abscisse sur une droite	$M\in(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$ , $x$ abscisse de $M$ dans le repère $(A,B)$
Colinéarité	$\vec{v}=k\vec{u}$ pour un réel $k$ ; $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur
Alignement	$A$ , $B$ , $C$ alignés si et seulement si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ , avec $A\neq B$ (point commun $A$ )
Parallélisme	$(AB)\parallel(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ , avec $A\neq B$ et $C\neq D$
Méthode alignement, parallélisme	décomposer les deux vecteurs selon $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis comparer les coefficients
Milieu	trois formes équivalentes : $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ; $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ ; $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$
Propriété caractéristique	$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ pour tout point $M$ , si $I$ est le milieu de $[AB]$
Droite des milieux	$\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BC}$ si $I$ , $J$ sont les milieux de $[AB]$ , $[AC]$

Vecteurs du plan et égalité de deux vecteurs

Rappel : vecteur, vecteur nul et vecteur opposé

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour direction la droite $(AB)$ , pour sens celui de $A$ vers $B$ , et pour norme la longueur $AB$ , notée $\|\overrightarrow{AB}\|$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul $\vec{0}$ : il n'a pas de direction et sa norme vaut 0.
Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$ : même direction, même norme, sens contraire. On écrit $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ .
Pour tout point $A$ et tout vecteur $\vec{u}$ , il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\vec{u}$ .

Le dernier point justifie toutes les constructions du chapitre : un vecteur et une origine suffisent à placer un point. Le point $M$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ . De même, dire que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ , c'est dire que la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $C$ en $D$ : un vecteur est le déplacement commun à tous ses représentants.

Égalité de deux vecteurs et parallélogramme

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Pour quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme, éventuellement aplati (les quatre points sont alors alignés).

Attention : l'égalité

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

donne le parallélogramme

ABCD

, alors que

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

donne le parallélogramme

ABDC

. Les côtés opposés se lisent dans le même sens.

Exemple 1 : deux parallélogrammes qui partagent un côté

$ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes, situés de part et d'autre de la droite $(AB)$ . Montrons que $DCEF$ est un parallélogramme.

Le parallélogramme $ABCD$ donne $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; le parallélogramme $ABEF$ donne $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}$ . Donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{FE}$ . On applique la propriété aux points $D$ , $C$ , $E$ , $F$ dans cet ordre : $DCEF$ est un parallélogramme. On en déduit une seconde égalité : $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CE}$ .

Attention : deux longueurs égales ne donnent pas deux vecteurs égaux. Si

O

est le centre d'un cercle passant par

A

B

, on a

OA=OB

, mais

\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}

imposerait

A=B

Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

Rappel du collège : la somme $\vec{u}+\vec{v}$ est le vecteur de la translation obtenue en appliquant la translation de vecteur $\vec{u}$ , puis celle de vecteur $\vec{v}$ . Additionner deux vecteurs, c'est donc enchaîner deux déplacements : on suit le premier, puis le second à partir du point d'arrivée.

Relation de Chasles et règle du parallélogramme

Relation de Chasles : pour tous points $A$ , $B$ , $C$ , $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
Règle du parallélogramme : si $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ , la diagonale issue de l'origine commune.
Différence : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$ . En particulier, pour tout point $M$ , $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ .

La somme est commutative et associative : on peut réordonner et regrouper les termes. De plus $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ et $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$ .

La règle du parallélogramme découle de Chasles : dans $ABCD$ , $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ , donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Deux constructions de la somme de deux vecteurs : à gauche, vecteurs AB et BC mis bout à bout dans le triangle ABC, la somme AC en orange ; à droite, parallélogramme ABCD, vecteurs AB et AD de même origine A, la somme AC est la diagonale issue de A — Bout à bout, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ; de même origine, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ dans le parallélogramme $ABCD$ .

Attention : Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}

ne vaut pas

\overrightarrow{AC}

: avec

C=A

, on obtiendrait

2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}

, ce qui est faux dès que

A\neq B

Exemple 2 : simplifier avec la relation de Chasles

Méthode : on remplace chaque vecteur précédé d'un signe moins par son opposé, on réordonne pour que chaque extrémité soit l'origine du vecteur suivant, puis on applique Chasles de proche en proche.

$\vec{u}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ .
$\vec{v}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HF}$ .

Contrôle de $\vec{v}$ avec $H=G$ : il reste $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}$ .

Exemple 3 : une égalité vraie pour tous points

Montrons que, pour tous points $M$ , $A$ , $B$ , $C$ , $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BA}$ . On étudie la différence des deux membres en regroupant les vecteurs de même origine :

\begin{aligned}&\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{BA}\\&=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})\\&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}.\end{aligned}

La différence est nulle, donc l'égalité est vraie quels que soient les quatre points.

Produit d’un vecteur par un réel

Le produit d'un vecteur par un réel a été vu au collège : on le rappelle, puis on établit ses propriétés de calcul.

Rappel : produit d’un vecteur par un réel

Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$ , le sens de $\vec{u}$ si $k\gt 0$ et le sens contraire si $k\lt 0$ , et pour norme $\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|$ . Si $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$ , on pose $k\vec{u}=\vec{0}$ .

Attention : un coefficient négatif inverse le sens, jamais la longueur. Si

\|\vec{u}\|=4

, alors

\|-3\vec{u}\|=|-3|\times4=12

, et non

-12

Activité : trois constats avant les propriétés

Soient $A$ , $B$ , $C$ non alignés, $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ tels que $\overrightarrow{AB^{\prime}}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC^{\prime}}=2\overrightarrow{AC}$ . $B$ et $C$ sont les milieux de $[AB^{\prime}]$ et $[AC^{\prime}]$ : le théorème des milieux du collège donne $(BC)\parallel(B^{\prime}C^{\prime})$ et $B^{\prime}C^{\prime}=2BC$ , et la figure donne le même sens, donc $\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}=2\overrightarrow{BC}$ . On en déduit $2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC^{\prime}}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}$ .
Sur une droite, reporter $2\vec{u}$ puis $3\vec{u}$ bout à bout : on obtient $5\vec{u}$ .
Tripler $2\vec{u}$ : on obtient $6\vec{u}$ .

Ces constats se généralisent :

Propriétés du produit par un réel

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et tous réels $k$ , $k^{\prime}$ :

$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ et $(k+k^{\prime})\vec{u}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}$ ;
$k(k^{\prime}\vec{u})=(kk^{\prime})\vec{u}$ ;
$k\vec{u}=\vec{0}$ si et seulement si $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$ .

On développe, on réduit et on factorise donc comme avec des expressions littérales ; on ne divise jamais par un vecteur.

Exemple 4 : construire des points et une combinaison de deux vecteurs

$ABC$ est un triangle et $I$ le milieu de $[AB]$ . On place $M$ , $N$ et $P$ tels que

\begin{aligned}\overrightarrow{AM}&=\frac43\overrightarrow{AB},\\\overrightarrow{CN}&=-\frac12\overrightarrow{CA},\\\overrightarrow{AP}&=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\end{aligned}

$\frac43\gt 0$ : $M$ est sur la demi-droite $[AB)$ , avec $AM=\frac43AB$ , donc au-delà de $B$ , à $\frac13AB$ de $B$ .
$-\frac12\lt 0$ : $\overrightarrow{CN}$ a le sens contraire de $\overrightarrow{CA}$ . $N$ est sur la droite $(AC)$ , de l'autre côté de $C$ par rapport à $A$ , avec $CN=\frac12CA$ .
$I$ est le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{AI}$ a le sens de $\overrightarrow{AB}$ et la moitié de sa norme, donc $\frac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC}$ . Par Chasles, $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IP}$ ; on en déduit $\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{AC}$ : on reporte $\overrightarrow{AC}$ à partir de $I$ , et $AIPC$ est un parallélogramme. C'est la construction d'un vecteur de la forme $a\vec{u}+b\vec{v}$ : on reporte $a\vec{u}$ , puis $b\vec{v}$ à partir de l'extrémité obtenue.

Triangle ABC avec I milieu de [AB] ; M sur la demi-droite [AB) au-delà de B, vecteur AM égal à 4/3 fois le vecteur AB ; N sur la droite (AC) au-delà de C, vecteur CN égal à −1/2 fois le vecteur CA ; P tel que le vecteur IP soit égal au vecteur AC, le quadrilatère AIPC est un parallélogramme — Le signe du coefficient donne le sens, sa valeur absolue la longueur : $\frac43\gt 1$ , donc $M$ dépasse $B$ ; $-\frac12\lt 0$ , donc $N$ est du côté opposé à $A$ par rapport à $C$ . Pour $P$ , on enchaîne $\overrightarrow{AI}$ puis $\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{AC}$ .

Exemple 5 : résoudre une équation vectorielle

Réduction : $2(3\vec{u}-\vec{v})-5\left(\vec{u}-\frac25\vec{v}\right)=6\vec{u}-2\vec{v}-5\vec{u}+2\vec{v}=\vec{u}$ .

Vecteur inconnu : on cherche $\vec{x}$ tel que $3\vec{x}-\vec{u}=\vec{x}+2\vec{v}$ . On isole $\vec{x}$ comme dans une équation du premier degré : $2\vec{x}=\vec{u}+2\vec{v}$ , donc $\vec{x}=\frac12\vec{u}+\vec{v}$ .

Point inconnu : $A$ et $B$ sont distincts, et l'on cherche $K$ tel que $3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}$ . On introduit $A$ dans $\overrightarrow{KB}$ pour ne garder qu'un vecteur inconnu :

\begin{aligned}&3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\&\iff4\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{AB}\\&\iff\overrightarrow{AK}=\frac14\overrightarrow{AB}.\end{aligned}

Il existe donc un unique point $K$ , sur $[AB]$ , au quart de $AB$ en partant de $A$ . Contrôle : $\overrightarrow{KA}=-\frac14\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{KB}=\frac34\overrightarrow{AB}$ , d'où $3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}$ .

Vecteurs colinéaires, alignement et parallélisme

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel : $\vec{v}=k\vec{u}$ ou $\vec{u}=k\vec{v}$ . Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Alignement de trois points et parallélisme

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points avec $A\neq B$ : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Soient $A\neq B$ et $C\neq D$ : $(AB)\parallel(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Abscisse d’un point sur une droite

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Pour tout point $M$ de la droite $(AB)$ , il existe un unique réel $x$ tel que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$ : c'est l'abscisse de $M$ dans le repère $(A,B)$ de la droite $(AB)$ . Réciproquement, pour tout réel $x$ , le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$ est sur $(AB)$ .

Dire que $A$ , $B$ , $M$ sont alignés, c'est donc dire que $M$ a une abscisse dans le repère $(A,B)$ . Le point $A$ a pour abscisse 0, le point $B$ l'abscisse 1, le milieu de $[AB]$ l'abscisse $\frac12$ . L'abscisse $x$ donne la position de $M$ :

$AM=|x|\times AB$ ;
si $x\gt 0$ , $M$ est sur la demi-droite $[AB)$ , et sur le segment $[AB]$ lorsque $0\leq x\leq1$ ;
si $x\lt 0$ , $M$ et $B$ sont de part et d'autre de $A$ .

Exemple 6 : lire des abscisses sur une droite

Dans le repère $(A,B)$ , $E$ a pour abscisse $-2$ et $F$ pour abscisse $\frac32$ . Alors $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AB}=\frac72\overrightarrow{AB}$ , donc $EF=\frac72AB$ . De même $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}=\frac67\overrightarrow{EF}$ : $B$ est sur le segment $[EF]$ .

Attention :

\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}

prouve seulement

(AB)\parallel(CD)

. Pour conclure à un alignement, les deux vecteurs doivent avoir un point commun, comme

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

Méthode : exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs

Choisir deux vecteurs non colinéaires de même origine : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans un triangle, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ dans un parallélogramme.
Écrire chaque vecteur utile avec Chasles en passant par $A$ : $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}$ .
Remplacer par les données, réduire sous la forme $a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ .
Comparer les coefficients : s'il existe un réel $k$ tel que l'un soit $k$ fois l'autre, les vecteurs sont colinéaires.

Pourquoi comparer les coefficients suffit : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires et $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$ , alors $a=b=0$ . En effet, si $a\neq0$ , $\vec{u}=-\frac{b}{a}\vec{v}$ serait colinéaire à $\vec{v}$ ; donc $a=0$ , puis $b\vec{v}=\vec{0}$ avec $\vec{v}\neq\vec{0}$ donne $b=0$ . Deux vecteurs non nuls ainsi décomposés sont colinéaires exactement quand leurs coefficients sont proportionnels.

Exemple 7 : démontrer un alignement

$ABC$ est un triangle, $G$ le milieu de $[BC]$ , $E$ et $F$ les points tels que $\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=\frac32\overrightarrow{AC}$ . Montrons que $E$ , $G$ , $F$ sont alignés.

On exprime $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{EF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . Comme $G$ est le milieu de $[BC]$ (même lecture qu'à l'exemple 4), $\overrightarrow{BG}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$ :

\begin{aligned}\overrightarrow{EG}&=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BG}\\&=\frac14\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\\&=-\frac14\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{EF}&=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\\&=-\frac34\overrightarrow{AB}+\frac32\overrightarrow{AC}.\end{aligned}

Les coefficients de $\overrightarrow{EF}$ sont le triple de ceux de $\overrightarrow{EG}$ : $\overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{EG}$ . Ces vecteurs sont colinéaires et ont l'origine $E$ en commun, donc $E$ , $G$ , $F$ sont alignés, et $G$ est au tiers de $[EF]$ en partant de $E$ .

Avec l'origine $G$ , on trouve $\overrightarrow{GF}=-2\overrightarrow{GE}$ : le signe moins indique que $G$ est entre $E$ et $F$ .

Triangle ABC ; E sur [AB] avec le vecteur AE égal à 3/4 du vecteur AB, G milieu de [BC], F sur la droite (AC) au-delà de C avec le vecteur AF égal à 3/2 du vecteur AC ; la droite orange passe par E, G et F, le vecteur EF valant 3 fois le vecteur EG — Les trois points $E$ , $G$ , $F$ sont sur une même droite : $\overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{EG}$ , donc $G$ est au tiers de $[EF]$ .

Exemple 8 : démontrer un parallélisme

$ABCD$ est un parallélogramme, $E$ le point tel que $\overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{BC}$ et $F$ le point tel que $\overrightarrow{AF}=\frac52\overrightarrow{AB}$ . Montrons que $(EF)\parallel(BD)$ .

Dans le parallélogramme, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ . Donc

\begin{aligned}\overrightarrow{EF}&=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\\&=-\frac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\\&\quad-\overrightarrow{AD}+\frac52\overrightarrow{AB}\\&=\frac32\overrightarrow{AB}-\frac32\overrightarrow{AD}.\end{aligned}

Or $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ . Ainsi $\overrightarrow{EF}=\frac32\overrightarrow{DB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $(EF)\parallel(BD)$ , et $EF=\frac32BD$ .

Les deux droites sont distinctes. En effet, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\frac32\overrightarrow{AD}$ , donc $E\neq B$ et $(BE)\parallel(AD)$ . Si $E$ était sur $(BD)$ , la droite $(BD)$ , égale à $(BE)$ , serait parallèle à $(AD)$ , ce qui est faux : $(BD)$ et $(AD)$ sont distinctes, car $B\notin(AD)$ , et se coupent en $D$ .

Milieu d’un segment

Caractérisations vectorielles du milieu

Soient $A$ , $B$ et $I$ trois points. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$I$ est le milieu de $[AB]$ ;
$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ;
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ ;
$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}$ .

Justification. $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ s'écrit $-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ , soit $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ . Par Chasles, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ , qui vaut $2\overrightarrow{AI}$ exactement lorsque $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}$ .

Chaque forme a son usage : $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}$ pour placer le milieu ou l'introduire dans un calcul, $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ pour démontrer qu'un point est un milieu, et la propriété caractéristique ci-dessous pour remplacer une somme de deux vecteurs par un seul vecteur.

Démonstration : la propriété caractéristique du milieu

Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors pour tout point $M$ du plan, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ . On introduit $I$ dans chaque vecteur avec Chasles :

\begin{aligned}&\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\\&=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\\&=2\overrightarrow{MI}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\\&=2\overrightarrow{MI}.\end{aligned}

Réciproquement, il suffit d'un point $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MJ}$ pour que $J$ soit le milieu de $[AB]$ : avec $I$ milieu de $[AB]$ , on a aussi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ , donc $\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MI}$ et $J=I$ .

Démonstration : la droite des milieux en vecteurs

Dans un triangle $ABC$ , soient $I$ et $J$ les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ . Alors $\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BC}$ . En effet, $\overrightarrow{IA}=\frac12\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{AC}$ , donc

\begin{aligned}\overrightarrow{IJ}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}\\&=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac12\overrightarrow{BC}.\end{aligned}

La colinéarité donne $(IJ)\parallel(BC)$ et la norme donne $IJ=\frac12BC$ : on retrouve en une ligne les deux premiers théorèmes des milieux du collège.

Exemple 9 : démontrer qu’un point est un milieu

$ABC$ est un triangle, $E$ et $F$ les points tels que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}$ . Montrons que $A$ est le milieu de $[EF]$ , c'est-à-dire que $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\vec{0}$ .

\begin{aligned}&\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\\&=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)\\&\quad+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\right)=\vec{0}.\end{aligned}

Donc $A$ est le milieu de $[EF]$ .

Lecture géométrique : $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CA}$ fait de $BEAC$ un parallélogramme, et $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}$ fait de $CFAB$ un parallélogramme ; la droite $(EF)$ passe par $A$ et elle est parallèle à $(BC)$ .

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