Équations inéquations systèmes tronc commun : cours et résumé

Une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq0$ ) se résout avec son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ : deux solutions $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta\gt0$ , une seule $-\frac{b}{2a}$ si $\Delta=0$ , aucune solution réelle si $\Delta\lt0$ . Un système $ax+by=c$ , $a^{\prime}x+b^{\prime}y=c^{\prime}$ a une solution unique exactement quand son déterminant $ab^{\prime}-a^{\prime}b$ n'est pas nul ; la méthode du déterminant (méthode de Cramer) donne alors $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ et $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ . Toutes les formules du chapitre sont réunies dans le résumé de cours.

Chapitre du semestre 1 du tronc commun, option française. Prérequis : les identités remarquables, le signe de $ax+b$ et la factorisation des polynômes par $x-\alpha$ . Les exercices corrigés sur les équations, inéquations et systèmes reprennent chaque type, jusqu'à un problème type devoir surveillé.

Sommaire12 parties

Résumé de cours

Chaque ligne mène à sa section. Le même symbole $\Delta$ désigne le discriminant (second degré) et le déterminant (systèmes), comme dans les cours du tronc commun.

Règle	Formule et condition
Premier degré	$ax+b$ a le signe de $a$ à droite de $-\frac ba$ , le signe contraire à gauche
Forme canonique	$a(x-\alpha)^2+\beta$ $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$
Discriminant	$\Delta=b^2-4ac$ $\Delta\gt0$ : $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ $\Delta=0$ : $x_0=-\frac{b}{2a}$ $\Delta\lt0$ : $S=\varnothing$
Discriminant réduit	si $b=2b^{\prime}$ : $\Delta^{\prime}=b^{\prime2}-ac$ , racines $\frac{-b^{\prime}\pm\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a}$
Factorisation	$a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta\gt0$ , $a(x-x_0)^2$ si $\Delta=0$
Signe du trinôme	signe de $a$ , sauf entre les racines
Somme et produit	$x_1+x_2=-\frac ba$ , $x_1x_2=\frac ca$
Deux nombres	racines de $X^2-SX+P=0$
Bicarrée	poser $X=x^2$ , garder $X\geq0$
Déterminant (≠ discriminant)	$\Delta=ab^{\prime}-a^{\prime}b$ $\Delta_x=cb^{\prime}-c^{\prime}b$ , $\Delta_y=ac^{\prime}-a^{\prime}c$
Cramer	$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$ , $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ si $\Delta\neq0$
Déterminant nul	$\Delta_x\neq0$ ou $\Delta_y\neq0$ : aucune solution $\Delta_x=\Delta_y=0$ : une infinité
Demi-plan	tracer $ax+by+c=0$ , tester un point hors de la droite

Équations et inéquations du premier degré

Équation et signe du premier degré

Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a\neq0$ .

L'équation $ax+b=0$ a une unique solution : $x=-\frac{b}{a}$ .
L'expression $ax+b$ a le signe de $a$ pour $x\gt-\frac ba$ et le signe contraire de $a$ pour $x\lt-\frac ba$ .

En effet, $ax+b=a\left(x+\frac ba\right)$ . Pour une inéquation produit ou quotient, on dresse le tableau de signes d'un quotient avec une ligne par facteur ; une valeur qui annule un dénominateur est une valeur interdite, marquée d'une double barre.

Exemple 1 : une inéquation quotient

Résoudre $\frac{x+7}{x+1}\geq3$ .

Valeur interdite : $x=-1$ . On ne multiplie pas par $x+1$ , de signe inconnu ; on ramène tout dans un membre :

\begin{aligned}\frac{x+7}{x+1}-3&=\frac{x+7-3(x+1)}{x+1}\\&=\frac{-2x+4}{x+1}.\end{aligned}

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$-2x+4$		$+$	\|	$+$	$0$	$-$
$x+1$		$-$	$0$	$+$	\|	$+$
quotient		$-$	\|\|	$+$	$0$	$-$

On veut le quotient positif ou nul : $S=\mathopen{]}-1\,;2]$ . Contrôle avec $x=0$ : $\frac{7}{1}=7\geq3$ .

Équation du premier degré avec un paramètre

Si l'équation s'écrit $A(m)\,x=B(m)$ , on traite à part les valeurs de $m$ qui annulent $A(m)$ : $0\times x=B(m)$ n'a aucune solution si $B(m)\neq0$ , et tout réel convient si $B(m)=0$ . Sinon, $x=\frac{B(m)}{A(m)}$ .

Exemple 2 : résoudre selon les valeurs de m

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $mx+1=x+m^2$ .

On regroupe les termes en $x$ : $(m-1)x=m^2-1=(m-1)(m+1)$ . Si $m=1$ , l'équation s'écrit $0\times x=0$ : $S=\mathbb R$ . Si $m\neq1$ , on divise par $m-1$ : $S=\{m+1\}$ . Contrôle pour $m=3$ : $3x+1=x+9$ donne $x=4$ .

Équation du second degré et forme canonique

Trinôme et équation du second degré

Un trinôme du second degré est une expression $ax^2+bx+c$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels et $a\neq0$ . Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans $\mathbb R$ sont les racines du trinôme.

Deux cas se traitent sans discriminant. Si $c=0$ , on factorise : $ax^2+bx=x(ax+b)$ , et l'équation produit nul donne $0$ et $-\frac ba$ . Si $b=0$ , on isole $x^2=-\frac ca$ , qui a deux solutions opposées si $-\frac ca\gt0$ et aucune si $-\frac ca\lt0$ .

Attention : de

2x^2=7x

, on ne déduit pas

2x=7

. Diviser par

x

suppose

x\neq0

et fait perdre la solution 0. On factorise :

x(2x-7)=0

, donc

S=\left\{0\,;\frac72\right\}

Forme canonique d’un trinôme

Pour tout réel $x$ , avec $\Delta=b^2-4ac$ :

\begin{aligned}&ax^2+bx+c\\&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].\end{aligned}

Démonstration : forme canonique

Comme $a\neq0$ , $ax^2+bx+c=a\left[x^2+\frac ba\,x+\frac ca\right]$ . Dans le crochet, on reconnaît le début du carré $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+\frac ba\,x+\frac{b^2}{4a^2}$ :

\begin{aligned}&x^2+\frac ba\,x+\frac ca\\&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\\&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\end{aligned}

On multiplie par $a$ . Elle s'écrit aussi $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$ ; au second semestre, $\alpha$ et $\beta$ seront les coordonnées du sommet de la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ .

Exemple 3 : écrire une forme canonique

Écrire $3x^2+12x+7$ sous forme canonique.

\begin{aligned}&3x^2+12x+7\\&=3\left(x^2+4x\right)+7\\&=3\left[(x+2)^2-4\right]+7\\&=3(x+2)^2-5.\end{aligned}

Contrôle avec les formules : $\alpha=-\frac{12}{6}=-2$ et $\Delta=144-84=60$ , donc $\beta=-\frac{60}{12}=-5$ .

Discriminant et solutions de l’équation du second degré

Les trois cas selon le signe du discriminant

Soit l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$ et $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta\gt0$ : deux solutions distinctes, $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ , nommées dans l'ordre croissant $x_1\lt x_2$ .
Si $\Delta=0$ : une seule solution (racine double) $x_0=-\frac{b}{2a}$ .
Si $\Delta\lt0$ : aucune solution réelle, $S=\varnothing$ .

Démonstration : formules des racines

D'après la forme canonique, et parce que $a\neq0$ , $ax^2+bx+c=0\iff\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$ . Si $\Delta\lt0$ , le second membre est négatif alors qu'un carré est positif ou nul : aucune solution. Si $\Delta=0$ , on obtient $x=-\frac{b}{2a}$ . Si $\Delta\gt0$ , $\frac{\Delta}{4a^2}=\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ , donc $x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt\Delta}{2a}$ ou $x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt\Delta}{2a}$ , ce qui donne les deux formules.

Exemple 4 : les trois cas

$x^2-6x+4=0$ : $\Delta=36-16=20\gt0$ et $\sqrt{20}=2\sqrt5$ , donc $x_1=\frac{6-2\sqrt5}{2}=3-\sqrt5$ et $x_2=3+\sqrt5$ .
$9x^2-24x+16=0$ : $\Delta=576-576=0$ , une seule solution $x_0=\frac{24}{18}=\frac43$ ; c'est l'identité $(3x-4)^2$ .
$5x^2-2x+1=0$ : $\Delta=4-20=-16\lt0$ , $S=\varnothing$ .

Discriminant réduit quand b est pair

Si $b=2b^{\prime}$ , on pose $\Delta^{\prime}=b^{\prime2}-ac$ ; alors $\Delta=4\Delta^{\prime}$ a le même signe et les racines s'écrivent $\frac{-b^{\prime}\pm\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a}$ . Pour $x^2-6x+4$ , $\Delta^{\prime}=9-4=5$ donne directement $3\pm\sqrt5$ .

Factorisation du trinôme

Forme factorisée selon le discriminant

Si $\Delta\gt0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$ .
Si $\Delta\lt0$ : le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

Justification : si $\Delta\gt0$ , le crochet de la forme canonique est la différence de carrés $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ , et $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ donne $(x-x_1)(x-x_2)$ . Si $\Delta\lt0$ , une factorisation $a(x-r)(x-s)$ ferait de $r$ une racine, ce qui est impossible.

Exemple 5 : factoriser avec le discriminant

Factoriser $6x^2-x-2$ .

$\Delta=1+48=49$ , racines $\frac{1-7}{12}=-\frac12$ et $\frac{1+7}{12}=\frac23$ . Donc $6x^2-x-2=6\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac23\right)=(2x+1)(3x-2)$ , en répartissant 6 en $2\times3$ . Contrôle : $(2x+1)(3x-2)=6x^2-4x+3x-2$ .

Signe du trinôme et inéquations du second degré

Signe du trinôme selon le discriminant

Si $\Delta\gt0$ : le trinôme a le signe de $a$ pour $x\lt x_1$ ou $x\gt x_2$ , le signe contraire de $a$ entre les racines, et il s'annule en $x_1$ et $x_2$ .
Si $\Delta=0$ : le trinôme a le signe de $a$ pour tout $x\neq x_0$ et s'annule en $x_0$ .
Si $\Delta\lt0$ : le trinôme a le signe de $a$ pour tout réel $x$ .

Justification. Si $\Delta\gt0$ , $(x-x_1)(x-x_2)$ est négatif entre les racines, positif ailleurs ; on multiplie par $a$ . Si $\Delta=0$ , $(x-x_0)^2\gt0$ pour $x\neq x_0$ . Si $\Delta\lt0$ , le crochet de la forme canonique est la somme d'un carré et de $-\frac{\Delta}{4a^2}\gt0$ , donc il est strictement positif.

Méthode pour une inéquation : tout passer dans un membre, calculer $\Delta$ et les racines, dresser le tableau de signes, puis lire les intervalles (racines incluses si l'inégalité est large, exclues si elle est stricte).

Exemple 6 : inéquation avec deux racines

Résoudre $-3x^2+7x+6\geq0$ .

$\Delta=49+72=121=11^2$ ; racines $\frac{-7-11}{-6}=3$ et $\frac{-7+11}{-6}=-\frac23$ . Comme $a=-3\lt0$ , le trinôme est positif entre les racines :

$x$	$-\infty$		$-\frac23$		$3$		$+\infty$
$-3x^2+7x+6$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$S=\left[-\frac23\,;3\right]$ . Contrôle avec $x=0$ : $6\geq0$ .

Attention : un discriminant négatif dit que le trinôme ne s'annule pas, pas que l'inéquation n'a pas de solution. Pour

-2x^2+3x-4\lt0

\Delta=9-32=-23\lt0

et le trinôme a partout le signe de

a=-2

: il est toujours négatif, donc

S=\mathbb R

Somme et produit des racines

Relations entre les coefficients et les racines

Si $\Delta\geq0$ , les racines $x_1$ et $x_2$ de $ax^2+bx+c$ (égales si $\Delta=0$ ) vérifient

\begin{aligned}x_1+x_2&=-\frac ba,\\x_1x_2&=\frac ca.\end{aligned}

Démonstration : somme et produit des racines

Avec les formules des racines : $x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta-b+\sqrt\Delta}{2a}=-\frac ba$ . Pour le produit, avec $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ :

\begin{aligned}x_1x_2&=\frac{(-b-\sqrt\Delta)(-b+\sqrt\Delta)}{4a^2}\\&=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.\end{aligned}

Ces formules restent vraies si $\Delta=0$ , avec $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ et $b^2=4ac$ .

Exemple 7 : calculer sans résoudre

Soit $5x^2+3x-7=0$ . Justifier qu'elle a deux racines, puis calculer $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ et $x_1^2+x_2^2$ sans les calculer.

$\Delta=9+140=149\gt0$ : deux racines, avec $S=x_1+x_2=-\frac35$ et $P=x_1x_2=-\frac75$ . Alors

\begin{aligned}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}&=\frac{S}{P}\\&=\frac{-3/5}{-7/5}=\frac37,\\x_1^2+x_2^2&=S^2-2P\\&=\frac{9}{25}+\frac{14}{5}=\frac{79}{25}.\end{aligned}

Racine évidente et seconde racine

Si l'on connaît une racine $x_1\neq0$ , le produit donne l'autre : $x_2=\frac{c}{a\,x_1}$ . Deux tests valent la peine avant tout calcul : si $a+b+c=0$ , alors 1 est racine et l'autre est $\frac ca$ ; si $a-b+c=0$ , alors $-1$ est racine et l'autre est $-\frac ca$ . Par exemple, pour $3x^2+5x-8=0$ , $3+5-8=0$ , donc $S=\left\{-\frac83\,;1\right\}$ sans discriminant. La même idée de racine évidente sert à factoriser un polynôme de degré 3.

Trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit

Deux réels ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement si ce sont les solutions de l'équation $X^2-SX+P=0$ . Ils existent si et seulement si $S^2-4P\geq0$ .

Justification : $(X-u)(X-v)=X^2-(u+v)X+uv$ ; réciproquement, si $X^2-SX+P=0$ a des racines, leur somme est $S$ et leur produit $P$ . Exemple : deux réels de somme 7 et de produit $-30$ sont les solutions de $X^2-7X-30=0$ ; $\Delta=49+120=169=13^2$ , d'où $-3$ et 10.

Racines de signes contraires

Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, l'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux racines de signes contraires.

Preuve : $ac\lt0$ , donc $\Delta=b^2-4ac\gt0$ , et le produit des racines $\frac ca$ est négatif (exemple 7 : $a=5$ , $c=-7$ ).

Équations qui se ramènent au second degré

Exemple 8 : une équation bicarrée

Résoudre $x^4+3x^2-10=0$ .

On pose $X=x^2$ , avec $X\geq0$ : $X^2+3X-10=0$ , $\Delta=49$ , $X=-5$ ou $X=2$ . La valeur $-5$ est rejetée, car $x^2$ ne peut pas être négatif ; $x^2=2$ donne $S=\{-\sqrt2\,;\sqrt2\}$ .

Même idée pour $x-6\sqrt x+8=0$ : on pose $X=\sqrt x\geq0$ , donc $x=X^2$ et $X^2-6X+8=0$ , de racines 2 et 4 ; d'où $x=4$ ou $x=16$ .

Avec des fractions, on note les valeurs interdites, on multiplie par le dénominateur commun (non nul), puis on rejette les racines interdites. Pour $\frac{2}{x+1}+\frac{x}{x-6}=\frac{42}{x^2-5x-6}$ , où $x^2-5x-6=(x+1)(x-6)$ : valeurs interdites $-1$ et 6, puis $2(x-6)+x(x+1)=42$ , soit $x^2+3x-54=0$ , de racines $-9$ et 6. La racine 6 est interdite, donc $S=\{-9\}$ .

Équations du premier degré à deux inconnues

Ensemble des solutions d’une équation à deux inconnues

Soit $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$ . L'équation $ax+by=c$ a une infinité de couples solutions $(x\,;y)$ . Dans un repère, les points $M(x\,;y)$ dont les coordonnées sont solutions forment la droite d'équation cartésienne $ax+by-c=0$ .

Exemple 9 : décrire toutes les solutions

Résoudre dans $\mathbb R^2$ l'équation $3x-2y=6$ .

$-2y=6-3x$ , soit $y=\frac{3x-6}{2}$ . Les solutions sont les couples $\left(x\,;\frac{3x-6}{2}\right)$ , $x$ réel, par exemple $(0\,;-3)$ , $(2\,;0)$ et $(4\,;3)$ , points de la droite.

Systèmes de deux équations à deux inconnues

On étudie le système

(\mathcal S)\ :\ \begin{cases}ax+by=c\\a^{\prime}x+b^{\prime}y=c^{\prime}\end{cases}

avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$ et $(a^{\prime}\,;b^{\prime})\neq(0\,;0)$ . Le résoudre, c'est trouver tous les couples $(x\,;y)$ qui vérifient les deux équations à la fois. Trois méthodes sont utilisées : substitution, combinaison linéaire et déterminant.

Exemple 10 : substitution, combinaison linéaire et déterminant

Résoudre $\begin{cases}2x+3y=7\\5x-y=9\end{cases}$

Par substitution. $y=5x-9$ , puis $2x+3(5x-9)=7$ , soit $17x=34$ : $x=2$ , $y=1$ .

Par combinaison linéaire. La seconde équation multipliée par 3, $15x-3y=27$ , ajoutée à la première, élimine $y$ : $17x=34$ .

Par le déterminant. $\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\5&-1\end{vmatrix}=-2-15=-17\neq0$ , puis

\begin{aligned}\Delta_x&=\begin{vmatrix}7&3\\9&-1\end{vmatrix}\\&=-7-27=-34,\\\Delta_y&=\begin{vmatrix}2&7\\5&9\end{vmatrix}\\&=18-35=-17.\end{aligned}

Donc $x=\frac{-34}{-17}=2$ et $y=\frac{-17}{-17}=1$ : $S=\{(2\,;1)\}$ . Contrôle : $4+3=7$ et $10-1=9$ .

La substitution convient quand une inconnue a le coefficient 1 ou $-1$ ; le déterminant marche dans tous les cas.

Méthode du déterminant (méthode de Cramer)

Le déterminant du système $(\mathcal S)$ est le nombre

\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{\prime}&b^{\prime}\end{vmatrix}=ab^{\prime}-a^{\prime}b.

On note $\Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{\prime}&b^{\prime}\end{vmatrix}=cb^{\prime}-c^{\prime}b$ (la colonne de $x$ est remplacée par celle des seconds membres) et $\Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{\prime}&c^{\prime}\end{vmatrix}=ac^{\prime}-a^{\prime}c$ (la colonne de $y$ est remplacée). Ici $\Delta$ désigne le déterminant du système, à ne pas confondre avec le discriminant d'un trinôme ; certains cours le notent $D$ .

Théorème de Cramer pour deux inconnues

Si $\Delta\neq0$ , le système $(\mathcal S)$ a une unique solution :

x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\qquad\text{et}\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}.

Démonstration : formules de Cramer

Soit $(x\,;y)$ une solution. La première équation multipliée par $b^{\prime}$ , moins la seconde multipliée par $b$ , élimine $y$ :

(ab^{\prime}-a^{\prime}b)\,x=cb^{\prime}-c^{\prime}b,

c'est-à-dire $\Delta\,x=\Delta_x$ . De même, en éliminant $x$ , $\Delta\,y=\Delta_y$ . Si $\Delta\neq0$ , il y a donc au plus une solution, $\left(\frac{\Delta_x}{\Delta}\,;\frac{\Delta_y}{\Delta}\right)$ . Réciproquement, ce couple est solution, car en développant

\begin{aligned}&a\Delta_x+b\Delta_y\\&=a(cb^{\prime}-c^{\prime}b)+b(ac^{\prime}-a^{\prime}c)\\&=c(ab^{\prime}-a^{\prime}b)=c\,\Delta,\end{aligned}

et de même pour la seconde équation.

Système dont le déterminant est nul

Si $\Delta=0$ :

si $\Delta_x\neq0$ ou $\Delta_y\neq0$ , le système n'a aucune solution : $S=\varnothing$ ;
si $\Delta_x=\Delta_y=0$ , les deux équations sont équivalentes et le système a une infinité de solutions : celles de l'une des équations.

Démonstration. D'après la preuve de Cramer, une solution vérifierait $\Delta x=\Delta_x$ , soit $0=\Delta_x$ , et de même $0=\Delta_y$ : impossible si $\Delta_x\neq0$ ou $\Delta_y\neq0$ . Supposons $\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$ et $a\neq0$ , et posons $k=\frac{a^{\prime}}{a}$ . Alors $a^{\prime}=ka$ ; $\Delta=0$ donne $ab^{\prime}=kab$ , donc $b^{\prime}=kb$ ; $\Delta_y=0$ donne $ac^{\prime}=kac$ , donc $c^{\prime}=kc$ . La seconde équation est la première multipliée par $k\neq0$ (car $(a^{\prime}\,;b^{\prime})\neq(0\,;0)$ ). Si $a=0$ , alors $b\neq0$ et $a^{\prime}=0$ ; on raisonne de même avec $k=\frac{b^{\prime}}{b}$ et $\Delta_x=0$ .

Exemple 11 : déterminant nul, les deux cas

Résoudre $\begin{cases}6x-4y=5\\-9x+6y=2\end{cases}$ puis $\begin{cases}6x-4y=2\\-9x+6y=-3\end{cases}$

Les deux systèmes ont $\Delta=6\times6-(-9)\times(-4)=0$ . Pour le premier, $\Delta_x=5\times6-2\times(-4)=38\neq0$ : $S=\varnothing$ . Pour le second, $\Delta_x=12-12=0$ et $\Delta_y=-18+18=0$ : les deux équations sont équivalentes à $3x-2y=1$ , et $S=\left\{\left(x\,;\frac{3x-1}{2}\right),\ x\in\mathbb R\right\}$ .

Attention :

\Delta=0

ne veut pas dire « aucune solution ». Il faut calculer

\Delta_x

\Delta_y

: dans le second système ci-dessus, la seconde équation est la première multipliée par

-\frac32

, et il y a une infinité de solutions.

Interprétation géométrique : position de deux droites

Chaque équation est celle d'une droite, $D$ et $D^{\prime}$ : résoudre le système revient à étudier les positions relatives de deux droites :

$\Delta\neq0$	droites sécantes, une solution (le point d'intersection)
$\Delta=0$ , $\Delta_x$ ou $\Delta_y\neq0$	droites strictement parallèles, aucune solution
$\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$	droites confondues, une infinité de solutions

Avec un paramètre $m$ , on calcule $\Delta$ en fonction de $m$ : Cramer donne la solution quand $\Delta\neq0$ , et pour chaque valeur qui annule $\Delta$ , on remplace $m$ dans le système puis on applique le théorème précédent.

Régionnement du plan : inéquations à deux inconnues

Demi-plans délimités par une droite

Soit $D$ la droite d'équation $ax+by+c=0$ , avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$ . La droite $D$ partage le plan en deux demi-plans ouverts : dans l'un, $ax+by+c\gt0$ en tout point ; dans l'autre, $ax+by+c\lt0$ en tout point.

En effet, si $b\gt0$ , $ax+by+c\gt0$ équivaut à $y\gt-\frac abx-\frac cb$ : les points au-dessus de la droite (au-dessous si $b\lt0$ ; si $b=0$ , la droite est verticale).

Méthode du point test pour représenter les solutions de $ax+by+c\leq0$ (ou $\lt$ , $\geq$ , $\gt$ ) :

tracer la droite $ax+by+c=0$ à l'aide de deux de ses points ;
calculer $ax+by+c$ en un point hors de la droite, souvent l'origine $O$ ;
si l'inégalité est vraie au point test, les solutions sont le demi-plan qui le contient ; sinon, l'autre ;
la droite fait partie des solutions pour $\leq$ ou $\geq$ (trait plein), pas pour $\lt$ ou $\gt$ (pointillés).

Les figures hachurent la partie exclue (convention à annoncer sur une copie).

Exemple 12 : un demi-plan

Représenter l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $x+2y-4\leq0$ .

La droite $D\ :\ x+2y-4=0$ passe par $A(4\,;0)$ et $B(0\,;2)$ . Au point test $O(0\,;0)$ : $0+0-4=-4\leq0$ , l'inégalité est vraie. Les solutions forment le demi-plan fermé de frontière $D$ qui contient $O$ , sous la droite, droite comprise.

Repère avec la droite D d'équation x plus 2y moins 4 égale 0, passant par A de coordonnées 4 et 0 et par B de coordonnées 0 et 2. Le demi-plan au-dessus de la droite est hachuré ; le demi-plan en dessous, qui contient l'origine O marquée comme point test, est laissé en couleur claire et forme l'ensemble des solutions. — Solutions de $x+2y-4\leq0$ : le demi-plan non hachuré, qui contient le point test $O$ , droite $D$ comprise.

Pour un système d'inéquations, les solutions sont les points communs à tous les demi-plans ; les sommets de la région se calculent avec des systèmes.

Exemple 13 : un système d’inéquations

Représenter l'ensemble $\mathcal R$ des points $M(x\,;y)$ tels que $\begin{cases}x\geq0,\ y\geq0\\x+2y\leq8\\3x+y\leq9\end{cases}$

$x\geq0$ et $y\geq0$ : le quart de plan en haut à droite de l'origine.
$x+2y\leq8$ : droite $D_1$ par $(8\,;0)$ et $(0\,;4)$ ; en $O$ , $0\leq8$ est vrai : côté de $O$ .
$3x+y\leq9$ : droite $D_2$ par $(3\,;0)$ et $(0\,;9)$ ; en $O$ , $0\leq9$ est vrai : côté de $O$ .

Sommet commun à $D_1$ et $D_2$ : $\Delta=1\times1-3\times2=-5$ , $\Delta_x=8\times1-9\times2=-10$ , $\Delta_y=1\times9-3\times8=-15$ , donc $x=2$ et $y=3$ . La région $\mathcal R$ est le quadrilatère de sommets $O(0\,;0)$ , $(3\,;0)$ , $(2\,;3)$ et $(0\,;4)$ , bords compris.

Repère avec la droite D1 d'équation x plus 2y égale 8 et la droite D2 d'équation 3x plus y égale 9. Les parties exclues par chacune des quatre inéquations sont hachurées ; la région restante est le quadrilatère de sommets O, le point de coordonnées 3 et 0, le point de coordonnées 2 et 3 où se coupent D1 et D2, et le point de coordonnées 0 et 4. — La région $\mathcal R$ : quadrilatère de sommets $O(0\,;0)$ , $(3\,;0)$ , $(2\,;3)$ , $(0\,;4)$ .

Un problème de programmation linéaire

Un atelier de poterie de Safi fabrique $x$ plats et $y$ bols par jour. Avec au plus 8 kg d'argile (1 kg par plat, 2 kg par bol) et 9 heures de four (3 h par plat, 1 h par bol), les contraintes sont celles de $\mathcal R$ . Le gain est $G=50x+40y$ dirhams. On admet que son maximum sur la région est atteint en un sommet : $0$ en $O$ , $150$ en $(3\,;0)$ , $100+120=220$ en $(2\,;3)$ , $160$ en $(0\,;4)$ . Le maximum est 220 DH, pour 2 plats et 3 bols par jour.