L’ordre dans IR tronc commun : cours et résumé

Résumé de cours : l’essentiel sur l’ordre dans les réels

Chaque règle tient sur une ligne, avec sa condition d'emploi. Le lien de la première colonne mène à la section qui la démontre ou l'illustre.

Comparer deux réels

L'ordre sur les réels est celui de la droite numérique : $a\lt b$ signifie que le point d'abscisse $a$ est à gauche de celui d'abscisse $b$. Pour le démontrer sans dessin, on se ramène toujours au signe d'un nombre.

Premier exemple : $\dfrac57-\dfrac{7}{10}=\dfrac{50-49}{70}=\dfrac{1}{70}\gt 0$, donc $\dfrac57\gt \dfrac{7}{10}$.

• Deux réels sont toujours comparables : $b-a$ est positif ou négatif.
• Transitivité : si $a\leq b$ et $b\leq c$, alors $a\leq c$, car $c-a=(c-b)+(b-a)$ est une somme de deux nombres positifs.
• Notations : $\mathbb R_+$ désigne les réels positifs ou nuls, $\mathbb R_-$ les réels négatifs ou nuls, $\mathbb R_+^*$ les réels strictement positifs.

Ordre et opérations

Les règles suivantes permettent de transformer une inégalité sans revenir à chaque fois à une différence. Chacune a une condition, et c'est la condition qu'un correcteur vérifie en premier.

Démonstration : les règles par le signe de la différence

• Règle 1 : $(b+c)-(a+c)=b-a\geq0$.
• Règle 2 : $(b+d)-(a+c)=(b-a)+(d-c)$, somme de deux nombres positifs.
• Règle 3 : $bc-ac=c(b-a)$. Le facteur $b-a$ est positif ; le produit a donc le signe de $c$, ce qui renverse l'inégalité si $c\lt 0$.
• Règle 4 : en multipliant $a\leq b$ par $c\geq0$, on obtient $ac\leq bc$ ; en multipliant $c\leq d$ par $b\geq0$, on obtient $bc\leq bd$. Par transitivité, $ac\leq bd$.
• Règle 5 : $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ avec $a+b\geq0$, donc $b^2-a^2$ a le signe de $b-a$ (si $a+b=0$, alors $a=b=0$). Pour les racines : $\sqrt b-\sqrt a=\dfrac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}$ lorsque $\sqrt a+\sqrt b\gt 0$.
• Règle 6 : $\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac{b-a}{ab}$, et $ab\gt 0$ puisque $a$ et $b$ ont le même signe.

Démonstration : somme de deux carrés et double produit

Pour tous réels $a$ et $b$, $a^2+b^2\geq2ab$, avec égalité si et seulement si $a=b$. En effet, $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq0$, et un carré est nul seulement si le nombre élevé au carré est nul.

Même méthode pour tout $x\gt 0$ : $x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geq0$, donc $x+\dfrac1x\geq2$. Appliqué à $\sqrt a$ et $\sqrt b$ avec $a\geq0$ et $b\geq0$, le premier résultat donne $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$.

Valeur absolue d’un réel

La valeur absolue mesure la distance à 0 sans tenir compte du sens. Elle transforme les conditions de proximité (« $x$ est proche de $a$ ») en inégalités que l'on sait manipuler.

Justifications. $\sqrt{x^2}$ est le réel positif dont le carré vaut $x^2$ ; $|x|$ est positif et $|x|^2=x^2$, donc $\sqrt{x^2}=|x|$. Ensuite $|xy|=\sqrt{(xy)^2}=\sqrt{x^2}\times\sqrt{y^2}=|x|\,|y|$. Enfin $|x|=|y|\iff x^2=y^2\iff(x-y)(x+y)=0$.

Distance de deux points de la droite numérique

La distance entre les points d'abscisses $a$ et $b$ est $|a-b|=|b-a|$. Par exemple, la distance entre $-2{,}7$ et $4{,}1$ vaut $|4{,}1-(-2{,}7)|=6{,}8$. Une expression comme $|x+5|$ se lit en l'écrivant $|x-(-5)|$ : c'est la distance entre $x$ et $-5$.

Démonstration. Les deux membres sont positifs ; on compare leurs carrés :

car un réel est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue. L'égalité a lieu lorsque $|xy|=xy$, c'est-à-dire lorsque $xy\geq0$. En remplaçant $x$ par $x-y$, on obtient l'inégalité triangulaire renversée $|x|-|y|\leq|x-y|$.

Équations et inéquations avec une valeur absolue

Dans toute cette partie, on lit $|x-a|$ comme la distance entre $x$ et $a$ : la résolution se fait alors sur la droite numérique, sans distinguer de cas.

Justification du dernier point : $|x-a|=|x-b|$ équivaut à $x-a=x-b$ ou $x-a=-(x-b)$. La première égalité donne $a=b$, exclu ; la seconde donne $2x=a+b$.

Démonstration. Posons $u=x-a$. Comme $|u|$ est le plus grand des deux nombres $u$ et $-u$, dire que $|u|\leq r$ revient à dire que $u\leq r$ et $-u\leq r$, soit $-r\leq u\leq r$. On ajoute $a$ aux trois membres. La seconde équivalence est la négation de la version stricte : $|x-a|\geq r$ est faux exactement quand $a-r\lt x\lt a+r$.

Intervalles : notations, centre et rayon

Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes ; le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est incluse. Pour deux réels $a\lt b$ :

L'intersection $I\cap J$ contient les réels qui sont dans $I$ et dans $J$ ; la réunion $I\cup J$ ceux qui sont dans $I$ ou dans $J$. Du côté de $\pm\infty$, le crochet est toujours ouvert.

La propriété découle du théorème précédent : $c-r=a$ et $c+r=b$.

Encadrer une expression

Encadrer un réel, c'est le situer entre deux nombres connus. Les règles de l'ordre permettent d'encadrer une expression à partir d'encadrements de ses variables, à condition de respecter les signes.

Quand la variable apparaît plusieurs fois, l'encadrement obtenu reste juste mais peut être peu précis. On récrit alors l'expression pour que la variable n'apparaisse qu'une fois, comme dans l'exercice 9 de la série.

Valeurs approchées et approximation décimale

Un encadrement fournit des valeurs approchées : c'est la forme sous laquelle on donne un résultat calculé quand la valeur exacte est irrationnelle ou inconnue.

Si $a\leq x\leq b$, alors $a$ est une valeur approchée de $x$ par défaut à $b-a$ près, $b$ une valeur approchée par excès à $b-a$ près, et le centre $\dfrac{a+b}{2}$ une valeur approchée à $\dfrac{b-a}{2}$ près. Par exemple, $3{,}605^2=12{,}996025\lt 13\lt 13{,}003236=3{,}606^2$, donc $3{,}605\lt \sqrt{13}\lt 3{,}606$ (carrés de positifs) : $3{,}605$ est une valeur approchée de $\sqrt{13}$ par défaut à $10^{-3}$ près, et $3{,}6055$ une valeur approchée à $0{,}0005$ près.

La calculatrice affiche une dizaine de chiffres significatifs : pour un nombre irrationnel comme $\sqrt{13}$, l'affichage $3{,}605551275$ n'est qu'une valeur approchée. Elle respecte les priorités opératoires : pour $\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$, on tape les parenthèses (1+√13)÷2, sinon elle calcule $1+\dfrac{\sqrt{13}}{2}$. Les très grands nombres s'affichent en écriture scientifique : ${2^{40}\approx1{,}099511628\times10^{12}}$.