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Les polynômes tronc commun : 17 exercices corrigés

Type
Exercices corrigés
Exercices
17

Série d'exercices corrigés sur les polynômes en tronc commun : dix-sept exercices classés par type, du degré et de l'identification des coefficients jusqu'à la factorisation de degré 4. Entre les deux : la division par x−ax-a, le tableau de Horner et les inéquations résolues avec un tableau de signes. Chaque corrigé nomme la méthode, justifie chaque étape en phrases complètes et se termine par un contrôle du résultat.

Quatre questions flash ouvrent la page ; un problème de synthèse type devoir surveillé, noté sur 20, la termine. Le tableau de Horner sert dans presque tous les exercices de factorisation. Accès direct : questions flash, exercice 1, exercice 10 sur la factorisation de degré 3, problème type devoir.

Sommaire7 parties

Questions flash : 4 réflexes à vérifier

Une seule réponse est correcte à chaque question. Chacune se traite en moins d'une minute, sans poser de division.

Question 1 : Degré d’un produit

QCM
PP est un polynôme de degré 3 et QQ un polynôme de degré 2. Le polynôme PQPQ est de degré :
  1. 55
  2. 66
  3. 33
  4. on ne peut pas savoir sans les coefficients
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Réponse A. Le degré d'un produit de deux polynômes non nuls est la somme des degrés : 3+2=53+2=5. Le produit des termes de plus haut degré ne peut pas s'annuler. La réponse 6 confond somme et produit des degrés ; la réponse D vaudrait pour une somme de deux polynômes de même degré, pas pour un produit.

Question 2 : Reste de la division par x moins 2

QCM
Le reste de la division de x3+2x−7x^3+2x-7 par x−2x-2 est :
  1. −19-19
  2. 55
  3. −7-7
  4. 00
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Réponse B. Le reste de la division de P(x)P(x) par x−ax-a est P(a)P(a). Ici P(2)=8+4−7=5P(2)=8+4-7=5. La réponse −19-19 est P(−2)P(-2) : elle correspond à la division par x+2x+2.

Question 3 : Nombre à placer dans le tableau de Horner

QCM
Pour diviser un polynôme par x+3x+3 avec le tableau de Horner, le nombre à écrire à gauche est :
  1. 33
  2. −3-3
  3. 13\frac13
  4. 00
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Réponse B. Le tableau divise par x−ax-a, et x+3=x−(−3)x+3=x-(-3), donc a=−3a=-3. Avec 3, on calculerait la division par x−3x-3, et la dernière case serait P(3)P(3) au lieu de P(−3)P(-3).

Question 4 : Divisible par x moins 1

QCM
Lequel de ces polynômes est divisible par x−1x-1 ?
  1. x3+x2+x+1x^3+x^2+x+1
  2. 2x3−5x2+x+22x^3-5x^2+x+2
  3. x3−2x+3x^3-2x+3
  4. x4+1x^4+1
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Réponse B. Un polynôme est divisible par x−1x-1 si et seulement si 1 est une racine, et P(1)P(1) est la somme des coefficients. Pour B : 2−5+1+2=02-5+1+2=0. Les autres sommes valent 4, 2 et 2.

Degré, égalité et identification des coefficients

Ces exercices fixent le vocabulaire et la règle d'identification, qui resservira pour diviser et pour trouver des coefficients inconnus.

Exercice 1 : Polynôme ou non, et degré

Facile
On considère les expressions suivantes, définies lorsque c'est possible :
  • A(x)=(x+2)3−x3−6x2A(x)=(x+2)^3-x^3-6x^2
  • B(x)=2x+1+xB(x)=\dfrac{2}{x+1}+x
  • C(x)=(2 x−1)(2 x+1)C(x)=(\sqrt2\,x-1)(\sqrt2\,x+1)
  • D(x)=(x2+3)2−x4D(x)=(x^2+3)^2-x^4
  1. Dire lesquelles sont des polynômes, en justifiant.
  2. Pour chaque polynôme, donner son degré, son coefficient dominant et son terme constant.
  3. Soit mm un réel et Pm(x)=(m2−9)x3+(m+3)x2−2x+mP_m(x)=(m^2-9)x^3+(m+3)x^2-2x+m. Déterminer le degré de PmP_m selon les valeurs de mm.
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  1. On développe avec l'identité (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 : A(x)=x3+6x2+12x+8−x3−6x2=12x+8A(x)=x^3+6x^2+12x+8-x^3-6x^2=12x+8, polynôme. C(x)=(2 x)2−1=2x2−1C(x)=(\sqrt2\,x)^2-1=2x^2-1, polynôme. D(x)=x4+6x2+9−x4=6x2+9D(x)=x^4+6x^2+9-x^4=6x^2+9, polynôme. En revanche B(x)B(x) n'a pas de sens pour x=−1x=-1, alors qu'un polynôme est défini pour tout réel : BB n'est pas un polynôme.
  2. AA est de degré 1, de coefficient dominant 12 et de terme constant 8 : l'expression de départ contient x3x^3, mais les termes de degré 3 et 2 se compensent. CC est de degré 2, de coefficient dominant 2 et de terme constant −1-1. DD est de degré 2, de coefficient dominant 6 et de terme constant 9.
  3. Le coefficient de x3x^3 est m2−9=(m−3)(m+3)m^2-9=(m-3)(m+3). Si m≠3m\neq3 et m≠−3m\neq-3, il n'est pas nul et PmP_m est de degré 3. Si m=3m=3 : P3(x)=6x2−2x+3P_3(x)=6x^2-2x+3, de degré 2. Si m=−3m=-3 : les coefficients de x3x^3 et de x2x^2 sont nuls, et P−3(x)=−2x−3P_{-3}(x)=-2x-3 est de degré 1.

Exercice 2 : Retrouver un trinôme à partir de trois valeurs

Facile
On cherche un polynôme PP de degré 2 tel que P(−1)=9P(-1)=9, P(1)=1P(1)=1 et P(2)=3P(2)=3.
  1. On écrit P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c. Traduire les trois conditions par un système, puis déterminer aa, bb et cc.
  2. Vérifier que, pour tout réel xx, P(x)=2(x−1)2+1P(x)=2(x-1)^2+1.
  3. En déduire que P(x)≥1P(x)\geq1 pour tout réel xx, puis que PP n'a pas de racine.
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  1. Les conditions donnent a−b+c=9a-b+c=9, a+b+c=1a+b+c=1 et 4a+2b+c=34a+2b+c=3. En soustrayant les deux premières, 2b=−82b=-8, donc b=−4b=-4. Alors a+c=5a+c=5 et 4a+c=114a+c=11 ; par différence, 3a=63a=6, donc a=2a=2 et c=3c=3. Ainsi P(x)=2x2−4x+3P(x)=2x^2-4x+3, qui est bien de degré 2. Contrôle : P(2)=8−8+3=3P(2)=8-8+3=3.
  2. 2(x−1)2+1=2x2−4x+2+1=2x2−4x+3=P(x)2(x-1)^2+1=2x^2-4x+2+1=2x^2-4x+3=P(x) pour tout réel xx.
  3. Un carré est positif : (x−1)2≥0(x-1)^2\geq0. En multipliant par 2>02\gt 0, le sens de l'inégalité est conservé : 2(x−1)2≥02(x-1)^2\geq0, puis en ajoutant 1, P(x)≥1P(x)\geq1. Donc P(x)≥1>0P(x)\geq1\gt 0 pour tout xx : PP ne s'annule jamais et n'a pas de racine. Le minimum 1 est atteint pour x=1x=1.

Exercice 3 : Deux identifications

Moyen
  1. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout réel xx, x3+ax+b=(x−2)2(x+c)x^3+ax+b=(x-2)^2(x+c). En déduire les racines de x3+ax+bx^3+ax+b pour ces valeurs.
  2. Déterminer les réels pp et qq tels que, pour tout réel xx, x4+6x3+11x2+6x+1=(x2+px+q)2x^4+6x^3+11x^2+6x+1=(x^2+px+q)^2. En déduire le signe de x4+6x3+11x2+6x+1x^4+6x^3+11x^2+6x+1.
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  1. On développe le second membre : (x2−4x+4)(x+c)=x3+(c−4)x2+(4−4c)x+4c(x^2-4x+4)(x+c)=x^3+(c-4)x^2+(4-4c)x+4c. Le premier membre n'a pas de terme en x2x^2 : l'identification donne c−4=0c-4=0, puis a=4−4ca=4-4c et b=4cb=4c. Donc c=4c=4, a=−12a=-12, b=16b=16, et x3−12x+16=(x−2)2(x+4)x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4). Par la règle du produit nul, les racines sont 22 et −4-4. Contrôle : 8−24+16=08-24+16=0 et −64+48+16=0-64+48+16=0.
  2. On développe : (x2+px+q)2=x4+2px3+(p2+2q)x2+2pqx+q2(x^2+px+q)^2=x^4+2px^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2. L'identification donne quatre équations pour deux inconnues : 2p=6p2+2q=112pq=6q2=1.\begin{aligned}2p&=6\\ p^2+2q&=11\\ 2pq&=6\\ q^2&=1.\end{aligned} Les deux premières donnent p=3p=3, puis 9+2q=119+2q=11, soit q=1q=1. Les deux dernières servent de contrôle : 2×3×1=62\times3\times1=6 et 12=11^2=1. Si elles avaient été fausses, aucun couple ne conviendrait. Donc x4+6x3+11x2+6x+1=(x2+3x+1)2x^4+6x^3+11x^2+6x+1=(x^2+3x+1)^2 : c'est un carré, donc il est positif ou nul pour tout réel xx.

Exercice 4 : Justifier le degré d’une somme ou d’un produit

Moyen
PP est un polynôme de degré 3 et QQ un polynôme de degré 2.
  1. Donner, en justifiant, le degré de P+QP+Q, de PQPQ et de P2P^2.
  2. Peut-on connaître le degré de P2−Q3P^2-Q^3 ? Et celui de P+xQP+xQ ? Justifier avec des exemples.
  3. Sans tout développer, déterminer le degré de (x2+1)3−x6(x^2+1)^3-x^6.
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  1. PP et QQ n'ont pas le même degré, donc le terme de degré 3 de PP ne peut pas être compensé : P+QP+Q est de degré 3. Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés : PQPQ est de degré 5, et P2=P×PP^2=P\times P de degré 6.
  2. P2P^2 et Q3Q^3 sont tous deux de degré 6, et leurs termes de degré 6 peuvent se compenser : on sait seulement que P2−Q3P^2-Q^3 est nul ou de degré au plus 6. Avec P(x)=x3+1P(x)=x^3+1 et Q(x)=x2Q(x)=x^2, P2−Q3=2x3+1P^2-Q^3=2x^3+1 est de degré 3 ; avec P(x)=x3P(x)=x^3 et Q(x)=x2Q(x)=x^2, c'est le polynôme nul. De même, xQxQ est de degré 3 comme PP : avec P(x)=x3+1P(x)=x^3+1 et Q(x)=−x2+xQ(x)=-x^2+x, on obtient P+xQ=x2+1P+xQ=x^2+1, de degré 2, alors qu'avec Q(x)=x2Q(x)=x^2, P+xQ=2x3+1P+xQ=2x^3+1 est de degré 3.
  3. Avec (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 et a=x2a=x^2, b=1b=1 : (x2+1)3=x6+3x4+3x2+1(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1. Le terme x6x^6 se compense, et (x2+1)3−x6=3x4+3x2+1(x^2+1)^3-x^6=3x^4+3x^2+1 est de degré 4.

Racines, reste et division par x moins a

Le reste de la division par x−ax-a est P(a)P(a) : plusieurs questions se règlent sans diviser. Quand le quotient est demandé, le tableau de Horner est la méthode la plus rapide.

Exercice 5 : Trouver un reste sans poser la division

Facile
  1. Quel est le reste de la division de x5−3x3+2x−1x^5-3x^3+2x-1 par x+1x+1 ?
  2. Déterminer le réel mm tel que x3−mx2+4x−4x^3-mx^2+4x-4 soit divisible par x−2x-2, puis donner le quotient.
  3. Le reste de la division de x3+kx+5x^3+kx+5 par x−1x-1 vaut 2. Déterminer le réel kk.
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  1. Le reste de la division d'un polynôme PP par x−ax-a est P(a)P(a), et x+1=x−(−1)x+1=x-(-1). Le reste vaut donc (−1)5−3×(−1)3+2×(−1)−1=−1+3−2−1=−1(-1)^5-3\times(-1)^3+2\times(-1)-1=-1+3-2-1=-1.
  2. x−2x-2 divise le polynôme si et seulement si 2 en est une racine : 8−4m+8−4=08-4m+8-4=0, soit 12−4m=012-4m=0, donc m=3m=3. Le tableau de Horner de x3−3x2+4x−4x^3-3x^2+4x-4 avec a=2a=2 :
    11−3-344−4-4
    2222−2-244
    11−1-12200
    donne le reste 0, comme prévu, et le quotient x2−x+2x^2-x+2 : x3−3x2+4x−4=(x−2)(x2−x+2)x^3-3x^2+4x-4=(x-2)(x^2-x+2).
  3. Le reste est la valeur en 1 : 1+k+5=21+k+5=2, donc k=−4k=-4. Contrôle : 1−4+5=21-4+5=2.

Exercice 6 : Tester des valeurs puis factoriser sans diviser

Facile
Soit P(x)=x3−x2−10x−8P(x)=x^3-x^2-10x-8.
  1. Calculer P(1)P(1), P(−1)P(-1), P(2)P(2), P(−2)P(-2) et P(4)P(4).
  2. Justifier que P(x)=(x+1)(x+2)(x−4)P(x)=(x+1)(x+2)(x-4) pour tout réel xx.
  3. Résoudre l'équation P(x)=0P(x)=0.
Indication
Écrire P(x)=(x+1) Q(x)P(x)=(x+1)\,Q(x), puis remplacer xx par −2-2 dans cette égalité.
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  1. P(1)=1−1−10−8=−18P(1)=1-1-10-8=-18 ; P(−1)=−1−1+10−8=0P(-1)=-1-1+10-8=0 ; P(2)=8−4−20−8=−24P(2)=8-4-20-8=-24 ; P(−2)=−8−4+20−8=0P(-2)=-8-4+20-8=0 ; P(4)=64−16−40−8=0P(4)=64-16-40-8=0.
  2. Comme P(−1)=0P(-1)=0, P(x)=(x+1) Q(x)P(x)=(x+1)\,Q(x) avec QQ de degré 2 et de coefficient dominant 1 (celui de PP). En x=−2x=-2 : 0=P(−2)=(−2+1) Q(−2)=−Q(−2)0=P(-2)=(-2+1)\,Q(-2)=-Q(-2), donc Q(−2)=0Q(-2)=0 et Q(x)=(x+2) R(x)Q(x)=(x+2)\,R(x), où RR est de degré 1 et de coefficient dominant 1. En x=4x=4 : 0=P(4)=5×6×R(4)0=P(4)=5\times6\times R(4), donc R(4)=0R(4)=0. Un polynôme R(x)=x+rR(x)=x+r qui s'annule en 4 vérifie r=−4r=-4. Donc P(x)=(x+1)(x+2)(x−4)P(x)=(x+1)(x+2)(x-4). Contrôle en développant : (x2+3x+2)(x−4)=x3−4x2+3x2−12x+2x−8=x3−x2−10x−8(x^2+3x+2)(x-4)=x^3-4x^2+3x^2-12x+2x-8=x^3-x^2-10x-8.
  3. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : l'ensemble des solutions est {−2 ;−1 ;4}\{-2\,;-1\,;4\}. Il n'y en a pas d'autre, ce que la factorisation montre directement.

Exercice 7 : Deux divisions avec le tableau de Horner

Facile
Soit P(x)=2x4−3x3+x−4P(x)=2x^4-3x^3+x-4.
  1. À l'aide du tableau de Horner, déterminer le quotient et le reste de la division de P(x)P(x) par x−2x-2. Contrôler le reste par un calcul direct.
  2. Faire de même pour la division par x+1x+1. Que peut-on en conclure ?
Voir le corrigé
  1. On range les coefficients sans oublier celui de x2x^2, qui vaut 0 : 22, −3-3, 00, 11, −4-4, et on place 2 à gauche.
    22−3-30011−4-4
    224422441010
    2211225566
    Le quotient est 2x3+x2+2x+52x^3+x^2+2x+5 et le reste 6 : P(x)=(x−2)(2x3+x2+2x+5)+6P(x)=(x-2)(2x^3+x^2+2x+5)+6. Contrôle : P(2)=32−24+0+2−4=6P(2)=32-24+0+2-4=6.
  2. Pour x+1=x−(−1)x+1=x-(-1), on place −1-1 :
    22−3-30011−4-4
    −1-1−2-255−5-544
    22−5-555−4-400
    Le reste est nul : −1-1 est une racine de PP, et P(x)=(x+1)(2x3−5x2+5x−4)P(x)=(x+1)(2x^3-5x^2+5x-4). Contrôle : P(−1)=2+3+0−1−4=0P(-1)=2+3+0-1-4=0. Le polynôme PP est divisible par x+1x+1, mais pas par x−2x-2.

Exercice 8 : Diviser par identification et retrouver Horner

Moyen
Soit P(x)=x3+2x2−5x+1P(x)=x^3+2x^2-5x+1. On veut diviser P(x)P(x) par x−1x-1.
  1. Justifier que le quotient QQ est de degré 2. On pose Q(x)=αx2+βx+γQ(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma et on note rr le reste. Déterminer α\alpha, β\beta, γ\gamma et rr par identification.
  2. Dresser le tableau de Horner de cette division et comparer avec la question 1.
  3. En déduire une factorisation de P(x)+1P(x)+1.
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  1. PP est de degré 3 et x−1x-1 de degré 1 ; comme le degré d'un produit est la somme des degrés, QQ est de degré 3−1=23-1=2. On développe : (x−1)(αx2+βx+γ)+r=αx3+(β−α)x2+(γ−β)x+(r−γ).\begin{aligned}&(x-1)(\alpha x^2+\beta x+\gamma)+r\\&=\alpha x^3+(\beta-\alpha)x^2\\&\quad+(\gamma-\beta)x+(r-\gamma).\end{aligned} Par identification avec x3+2x2−5x+1x^3+2x^2-5x+1 : α=1\alpha=1, β−α=2\beta-\alpha=2 donc β=3\beta=3, γ−β=−5\gamma-\beta=-5 donc γ=−2\gamma=-2, et r−γ=1r-\gamma=1 donc r=−1r=-1. Ainsi P(x)=(x−1)(x2+3x−2)−1P(x)=(x-1)(x^2+3x-2)-1. Contrôle : P(1)=1+2−5+1=−1=rP(1)=1+2-5+1=-1=r.
  2. 1122−5-511
    111133−2-2
    1133−2-2−1-1
    Chaque case de la dernière ligne est le coefficient de PP augmenté de 1 fois la case précédente : β=2+1×α\beta=2+1\times\alpha, γ=−5+1×β\gamma=-5+1\times\beta, r=1+1×γr=1+1\times\gamma. Ce sont exactement les équations de la question 1, résolues dans le même ordre. Le tableau de Horner est une écriture compacte de l'identification.
  3. D'après la question 1, P(x)+1=(x−1)(x2+3x−2)P(x)+1=(x-1)(x^2+3x-2) : 1 est une racine de P(x)+1=x3+2x2−5x+2P(x)+1=x^3+2x^2-5x+2, ce que confirme la somme des coefficients 1+2−5+2=01+2-5+2=0. Le trinôme x2+3x−2x^2+3x-2 n'a pas de racine entière (ni 1, ni −1-1, ni 2, ni −2-2 ne l'annulent) ; sa factorisation demande le discriminant, vu au chapitre suivant.

Exercice 9 : Trouver l’erreur dans un tableau de Horner

Moyen
Pour savoir si P(x)=x4+2x3−3x−6P(x)=x^4+2x^3-3x-6 est divisible par x+2x+2, un élève écrit le tableau suivant :
1122−3-3−6-6
2222881010
11445544
Il conclut : « Le reste vaut 4, donc x+2x+2 ne divise pas PP. »
  1. Repérer les deux erreurs de l'élève.
  2. Refaire le tableau correctement et conclure.
  3. Retrouver le résultat par un regroupement de termes.
  4. Quels contrôles rapides auraient alerté l'élève ?
Voir le corrigé
  1. Première erreur : le coefficient de x2x^2, qui vaut 0, est oublié ; la première ligne doit être 11, 22, 00, −3-3, −6-6. Deuxième erreur : pour diviser par x+2=x−(−2)x+2=x-(-2), il faut placer −2-2 à gauche, et non 2.
  2. 112200−3-3−6-6
    −2-2−2-2000066
    110000−3-300
    Le reste est nul, donc x+2x+2 divise PP : P(x)=(x+2)(x3−3)P(x)=(x+2)(x^3-3), car les cases 11, 00, 00, −3-3 sont les coefficients de x3+0x2+0x−3x^3+0x^2+0x-3.
  3. P(x)=x3(x+2)−3x−6=x3(x+2)−3(x+2)=(x+2)(x3−3)P(x)=x^3(x+2)-3x-6=x^3(x+2)-3(x+2)=(x+2)(x^3-3).
  4. Le quotient d'un polynôme de degré 4 par x+2x+2 doit être de degré 3, donc avoir quatre coefficients ; le tableau de l'élève n'en donne que trois. Et le reste doit valoir P(−2)=16−16+6−6=0P(-2)=16-16+6-6=0, pas 4.

Factorisation et signe d’un polynôme

La démarche est toujours la même : une racine évidente, une division, puis le trinôme quotient. Les inéquations se résolvent ensuite avec un tableau de signes.

Exercice 10 : Racine évidente et factorisation de degré 3

Moyen
Soit P(x)=2x3−x2−15x+18P(x)=2x^3-x^2-15x+18.
  1. Calculer P(2)P(2).
  2. Déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x−2) Q(x)P(x)=(x-2)\,Q(x).
  3. Vérifier que −3-3 est une racine de QQ, puis factoriser P(x)P(x) en produit de trois facteurs du premier degré.
  4. Résoudre l'équation P(x)=0P(x)=0.
  5. Résoudre l'inéquation P(x)>0P(x)\gt 0.
Voir le corrigé
  1. P(2)=16−4−30+18=0P(2)=16-4-30+18=0 : 2 est une racine de PP.
  2. Comme P(2)=0P(2)=0, P(x)P(x) est divisible par x−2x-2. Tableau de Horner avec a=2a=2 :
    22−1-1−15-151818
    224466−18-18
    2233−9-900
    Donc Q(x)=2x2+3x−9Q(x)=2x^2+3x-9.
  3. Q(−3)=18−9−9=0Q(-3)=18-9-9=0. On divise QQ par x+3x+3 (on place −3-3) :
    2233−9-9
    −3-3−6-699
    22−3-300
    donc Q(x)=(x+3)(2x−3)Q(x)=(x+3)(2x-3) et P(x)=(x−2)(x+3)(2x−3)P(x)=(x-2)(x+3)(2x-3). Contrôle en x=0x=0 : (−2)×3×(−3)=18=P(0)(-2)\times3\times(-3)=18=P(0).
  4. Par la règle du produit nul : x−2=0x-2=0, x+3=0x+3=0 ou 2x−3=02x-3=0. L'ensemble des solutions est {−3 ;32 ;2}\left\{-3\,;\frac32\,;2\right\}.
  5. Chaque facteur du premier degré change de signe en sa racine. On dresse le tableau de signes du produit, ci-dessous.
xx−∞-\infty−3-332\frac3222+∞+\infty
x+3x+3−-00++++++
2x−32x-3−-−-00++++
x−2x-2−-−-−-00++
P(x)P(x)−-00++00−-00++
L'ensemble des solutions de P(x)>0P(x)\gt 0 est ]−3 ;32[∪]2 ;+∞[\mathopen{]}-3\,;\frac32\mathclose{[}\cup\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}, les racines étant exclues car l'inégalité est stricte. Contrôle : P(0)=18>0P(0)=18\gt 0 et 0 est bien solution ; P(−4)=−128−16+60+18=−66<0P(-4)=-128-16+60+18=-66\lt 0 et −4-4 n'est pas solution.

Exercice 11 : Quotient carré parfait ou quotient toujours positif

Moyen
Partie A. Soit P(x)=x3+4x2−3x−18P(x)=x^3+4x^2-3x-18.
  1. Vérifier que 2 est une racine de PP, puis factoriser P(x)P(x) en utilisant une identité remarquable.
  2. Résoudre l'inéquation P(x)≥0P(x)\geq0.
Partie B. Soit R(x)=x3+x2−2R(x)=x^3+x^2-2.
  1. Factoriser R(x)R(x) par x−1x-1, puis montrer que le quotient est strictement positif pour tout réel xx.
  2. Résoudre l'inéquation R(x)≤0R(x)\leq0.
Voir le corrigé
  1. P(2)=8+16−6−18=0P(2)=8+16-6-18=0. Tableau de Horner avec a=2a=2 :
    1144−3-3−18-18
    222212121818
    11669900
    Donc P(x)=(x−2)(x2+6x+9)P(x)=(x-2)(x^2+6x+9), et x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2 (identité (a+b)2(a+b)^2 avec a=xa=x, b=3b=3). Finalement P(x)=(x−2)(x+3)2P(x)=(x-2)(x+3)^2.
  2. Le carré (x+3)2(x+3)^2 est positif et ne s'annule qu'en −3-3. Pour x=−3x=-3, P(x)=0≥0P(x)=0\geq0 : −3-3 est solution. Pour x≠−3x\neq-3, (x+3)2>0(x+3)^2\gt 0 et P(x)P(x) a le signe de x−2x-2 : P(x)≥0  ⟺  x≥2P(x)\geq0\iff x\geq2. L'ensemble des solutions est {−3}∪[2 ;+∞[\{-3\}\cup[2\,;+\infty\mathclose{[}.
  3. La somme des coefficients vaut 1+1+0−2=01+1+0-2=0, donc R(1)=0R(1)=0. Tableau de Horner avec a=1a=1, sans oublier le 0 du terme en xx :
    111100−2-2
    11112222
    11222200
    Donc R(x)=(x−1)(x2+2x+2)R(x)=(x-1)(x^2+2x+2). En complétant le carré, x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0x^2+2x+2=(x+1)^2+1\geq1\gt 0 pour tout réel xx.
  4. Le facteur x2+2x+2x^2+2x+2 est strictement positif : R(x)R(x) a le signe de x−1x-1. Donc R(x)≤0  ⟺  x≤1R(x)\leq0\iff x\leq1, et l'ensemble des solutions est ]−∞ ;1]\mathopen{]}-\infty\,;1].

Exercice 12 : Une racine fractionnaire

Moyen
Soit P(x)=4x3+4x2−7x+2P(x)=4x^3+4x^2-7x+2.
  1. Calculer P(12)P\left(\frac12\right).
  2. À l'aide du tableau de Horner, écrire P(x)=(x−12)Q(x)P(x)=\left(x-\frac12\right)Q(x), puis P(x)=(2x−1) S(x)P(x)=(2x-1)\,S(x) avec un polynôme SS à coefficients entiers.
  3. Factoriser S(x)S(x), puis P(x)P(x).
  4. Résoudre l'inéquation P(x)<0P(x)\lt 0.
Voir le corrigé
  1. P(12)=4×18+4×14−72+2=12+1−72+2=0P\left(\frac12\right)=4\times\frac18+4\times\frac14-\frac72+2=\frac12+1-\frac72+2=0.
  2. Tableau de Horner avec a=12a=\frac12 : on multiplie chaque fois par 12\frac12.
    4444−7-722
    12\frac{1}{2}2233−2-2
    4466−4-400
    Donc P(x)=(x−12)(4x2+6x−4)P(x)=\left(x-\frac12\right)(4x^2+6x-4). Comme 4x2+6x−4=2(2x2+3x−2)4x^2+6x-4=2(2x^2+3x-2) et 2(x−12)=2x−12\left(x-\frac12\right)=2x-1, on obtient P(x)=(2x−1)(2x2+3x−2)P(x)=(2x-1)(2x^2+3x-2), avec S(x)=2x2+3x−2S(x)=2x^2+3x-2.
  3. S(−2)=8−6−2=0S(-2)=8-6-2=0, donc S(x)=(x+2)(αx+β)S(x)=(x+2)(\alpha x+\beta). L'identification du terme en x2x^2 et du terme constant donne α=2\alpha=2 et 2β=−22\beta=-2, soit β=−1\beta=-1 : S(x)=(x+2)(2x−1)S(x)=(x+2)(2x-1). Contrôle : (x+2)(2x−1)=2x2+3x−2(x+2)(2x-1)=2x^2+3x-2. Finalement P(x)=(2x−1)2(x+2)P(x)=(2x-1)^2(x+2).
  4. Le carré (2x−1)2(2x-1)^2 est positif et ne s'annule qu'en 12\frac12, où PP vaut 0 (non solution d'une inégalité stricte). Pour x≠12x\neq\frac12, P(x)P(x) a le signe de x+2x+2. Donc P(x)<0  ⟺  x<−2P(x)\lt 0\iff x\lt -2, et l'ensemble des solutions est ]−∞ ;−2[\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}.

Exercice 13 : Une inéquation à ramener à un seul membre

Moyen
On veut résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x3+4≤4x2+xx^3+4\leq4x^2+x.
  1. Montrer que l'inéquation équivaut à P(x)≤0P(x)\leq0, où PP est un polynôme de degré 3 à préciser.
  2. Factoriser P(x)P(x) en produit de trois facteurs du premier degré.
  3. Résoudre l'inéquation à l'aide d'un tableau de signes.
Voir le corrigé
  1. On retranche 4x2+x4x^2+x aux deux membres, ce qui conserve le sens de l'inégalité : l'inéquation équivaut à x3−4x2−x+4≤0x^3-4x^2-x+4\leq0, avec P(x)=x3−4x2−x+4P(x)=x^3-4x^2-x+4.
  2. La somme des coefficients vaut 1−4−1+4=01-4-1+4=0, donc P(1)=0P(1)=0. Tableau de Horner avec a=1a=1 :
    11−4-4−1-144
    1111−3-3−4-4
    11−3-3−4-400
    Donc P(x)=(x−1)(x2−3x−4)P(x)=(x-1)(x^2-3x-4). Le trinôme s'annule en −1-1 (1+3−4=01+3-4=0) et vaut (x+1)(x−4)(x+1)(x-4). Ainsi P(x)=(x+1)(x−1)(x−4)P(x)=(x+1)(x-1)(x-4). Un regroupement donnait aussi x2(x−4)−(x−4)=(x−4)(x2−1)x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1).
  3. xx−∞-\infty−1-11144+∞+\infty
    x+1x+1−-00++++++
    x−1x-1−-−-00++++
    x−4x-4−-−-−-00++
    P(x)P(x)−-00++00−-00++
    L'ensemble des solutions est ]−∞ ;−1]∪[1 ;4]\mathopen{]}-\infty\,;-1]\cup[1\,;4]. Contrôle : pour x=2x=2, 8+4=128+4=12 et 16+2=1816+2=18, donc 12≤1812\leq18 ; 2 est bien solution.

Exercice 14 : Polynôme de degré 4 avec un facteur au carré

Difficile
Soit P(x)=x4−4x3+2x2+4x−3P(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
  1. Vérifier que 1 est une racine de PP et écrire P(x)=(x−1) Q(x)P(x)=(x-1)\,Q(x).
  2. Montrer que 1 est aussi une racine de QQ et factoriser Q(x)Q(x).
  3. En déduire que P(x)=(x−1)2(x+1)(x−3)P(x)=(x-1)^2(x+1)(x-3).
  4. Résoudre l'inéquation P(x)<0P(x)\lt 0.
Voir le corrigé
  1. P(1)=1−4+2+4−3=0P(1)=1-4+2+4-3=0. Tableau de Horner avec a=1a=1 :
    11−4-42244−3-3
    1111−3-3−1-133
    11−3-3−1-13300
    Donc Q(x)=x3−3x2−x+3Q(x)=x^3-3x^2-x+3.
  2. Q(1)=1−3−1+3=0Q(1)=1-3-1+3=0. Tableau de Horner de QQ avec a=1a=1 :
    11−3-3−1-133
    1111−2-2−3-3
    11−2-2−3-300
    Donc Q(x)=(x−1)(x2−2x−3)Q(x)=(x-1)(x^2-2x-3). Le trinôme s'annule en 3 (9−6−3=09-6-3=0) et vaut (x−3)(x+1)(x-3)(x+1).
  3. En regroupant : P(x)=(x−1) Q(x)=(x−1)(x−1)(x−3)(x+1)=(x−1)2(x+1)(x−3)P(x)=(x-1)\,Q(x)=(x-1)(x-1)(x-3)(x+1)=(x-1)^2(x+1)(x-3). Contrôle en x=0x=0 : 1×1×(−3)=−3=P(0)1\times1\times(-3)=-3=P(0).
  4. Le facteur (x−1)2(x-1)^2 est positif et nul seulement en 1 ; les deux autres facteurs changent de signe en −1-1 et en 3 (tableau ci-dessous).
xx−∞-\infty−1-11133+∞+\infty
(x−1)2(x-1)^2++++00++++
x+1x+1−-00++++++
x−3x-3−-−-−-00++
P(x)P(x)++00−-00−-00++
P(x)<0P(x)\lt 0 pour xx strictement entre −1-1 et 3, sauf en 1 où P(1)=0P(1)=0. L'ensemble des solutions est ]−1 ;1[∪]1 ;3[\mathopen{]}-1\,;1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}1\,;3\mathclose{[}.

Paramètres, démonstration et modélisation

Les trois derniers exercices demandent de traduire une condition en équations, de rédiger une démonstration, puis de modéliser une situation.

Exercice 15 : Coefficients imposés par une racine et un reste

Difficile
Soit aa et bb deux réels et P(x)=x3+ax2+bx−6P(x)=x^3+ax^2+bx-6. On sait que P(x)P(x) est divisible par x−1x-1 et que le reste de la division de P(x)P(x) par x+2x+2 vaut −12-12.
  1. Traduire ces deux informations par un système d'équations d'inconnues aa et bb, puis le résoudre.
  2. Factoriser P(x)P(x) et montrer que 1 est sa seule racine.
  3. Étudier le signe de P(x)P(x) suivant les valeurs de xx.
Voir le corrigé
  1. PP est divisible par x−1x-1 si et seulement si P(1)=0P(1)=0 : 1+a+b−6=01+a+b-6=0, soit a+b=5a+b=5. Le reste de la division par x+2=x−(−2)x+2=x-(-2) est P(−2)P(-2) : −8+4a−2b−6=−12-8+4a-2b-6=-12, soit 4a−2b=24a-2b=2, ou encore 2a−b=12a-b=1. En ajoutant les deux équations, 3a=63a=6, donc a=2a=2 et b=3b=3. Ainsi P(x)=x3+2x2+3x−6P(x)=x^3+2x^2+3x-6. Contrôle : P(1)=0P(1)=0 et P(−2)=−8+8−6−6=−12P(-2)=-8+8-6-6=-12.
  2. Tableau de Horner, avec 1 à gauche du tableau :
    112233−6-6
    11113366
    11336600
    Donc P(x)=(x−1)(x2+3x+6)P(x)=(x-1)(x^2+3x+6). En complétant le carré, x2+3x+6=(x+32)2+154≥154>0x^2+3x+6=\left(x+\frac32\right)^2+\frac{15}{4}\geq\frac{15}{4}\gt 0. Le produit est nul si et seulement si x−1=0x-1=0 : 1 est la seule racine.
  3. Comme x2+3x+6>0x^2+3x+6\gt 0, P(x)P(x) a le signe de x−1x-1 : P(x)<0P(x)\lt 0 pour x<1x\lt 1, P(1)=0P(1)=0, et P(x)>0P(x)\gt 0 pour x>1x\gt 1.

Exercice 16 : Un polynôme de degré 3 a au plus trois racines

Difficile
Soit PP un polynôme de degré 3, de coefficient dominant k≠0k\neq0, et aa, bb, cc trois racines distinctes de PP.
  1. Démontrer que P(x)=k(x−a)(x−b)(x−c)P(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) pour tout réel xx.
  2. En déduire que PP n'a pas d'autre racine que aa, bb et cc.
  3. Déterminer le polynôme PP de degré 3 qui admet pour racines −1-1, 22 et 55 et qui vérifie P(0)=20P(0)=20.
Indication
Appliquer trois fois le théorème « racine et facteur », en vérifiant à chaque étape que le facteur par lequel on simplifie n'est pas nul.
Voir le corrigé
  1. Comme P(a)=0P(a)=0, le théorème de factorisation donne P(x)=(x−a) Q(x)P(x)=(x-a)\,Q(x), où QQ est de degré 2 et de coefficient dominant kk. En x=bx=b : 0=P(b)=(b−a) Q(b)0=P(b)=(b-a)\,Q(b), et b−a≠0b-a\neq0, donc Q(b)=0Q(b)=0. Donc Q(x)=(x−b) R(x)Q(x)=(x-b)\,R(x), où RR est de degré 1 et de coefficient dominant kk : R(x)=kx+ℓR(x)=kx+\ell. En x=cx=c : 0=P(c)=(c−a)(c−b) R(c)0=P(c)=(c-a)(c-b)\,R(c), avec (c−a)(c−b)≠0(c-a)(c-b)\neq0, donc R(c)=0R(c)=0, c'est-à-dire ℓ=−kc\ell=-kc et R(x)=k(x−c)R(x)=k(x-c). Finalement P(x)=k(x−a)(x−b)(x−c)P(x)=k(x-a)(x-b)(x-c).
  2. Soit dd un réel différent de aa, bb et cc. Alors P(d)=k(d−a)(d−b)(d−c)P(d)=k(d-a)(d-b)(d-c) est un produit de quatre facteurs non nuls, donc P(d)≠0P(d)\neq0. Si PP avait quatre racines distinctes, trois d'entre elles donneraient la factorisation de la question 1, et la quatrième serait une racine différente de ces trois : c'est impossible. Un polynôme de degré 3 a donc au plus trois racines.
  3. D'après la question 1, P(x)=k(x+1)(x−2)(x−5)P(x)=k(x+1)(x-2)(x-5). Alors P(0)=k×1×(−2)×(−5)=10kP(0)=k\times1\times(-2)\times(-5)=10k, et P(0)=20P(0)=20 donne k=2k=2. Donc P(x)=2(x+1)(x−2)(x−5)=2x3−12x2+6x+20P(x)=2(x+1)(x-2)(x-5)=2x^3-12x^2+6x+20. Contrôle : P(−1)=−2−12−6+20=0P(-1)=-2-12-6+20=0, et le terme constant vaut 20.

Exercice 17 : La pyramide d’oranges du marchand

Difficile
Au souk, un marchand empile ses oranges en pyramide à base carrée : 1 orange au sommet, puis une couche de 2×2=42\times2=4, puis 3×3=93\times3=9, et ainsi de suite. Une pyramide complète de nn couches contient S(n)=12+22+⋯+n2S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2 oranges. On admet que, pour tout entier n≥1n\geq1, S(n)=n(n+1)(2n+1)6S(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
  1. Vérifier la formule pour n=1n=1, n=2n=2 et n=3n=3.
  2. Montrer que 6S(n)=2n3+3n2+n6S(n)=2n^3+3n^2+n. Quel est le degré du polynôme SS, et son coefficient dominant ?
  3. Le marchand a utilisé exactement 91 oranges pour une pyramide complète. Montrer que le nombre nn de couches vérifie 2n3+3n2+n−546=02n^3+3n^2+n-546=0, puis trouver nn et justifier qu'il n'y a pas d'autre solution positive.
  4. Montrer que S(n+1)−S(n)=(n+1)2S(n+1)-S(n)=(n+1)^2 (on pourra calculer 6S(n+1)−6S(n)6S(n+1)-6S(n) avec la question 2). Que signifie cette égalité pour la pyramide ?
  5. Un autre jour, il a 200 oranges. Peut-il les disposer toutes en une pyramide complète ? Combien de couches complètes peut-il construire, et combien d'oranges lui reste-t-il ?
Indication
Pour la question 3, calculer S(4)S(4), S(5)S(5), S(6)S(6) avec la formule : la suite des valeurs indique la racine.
Voir le corrigé
  1. S(1)=1×2×36=1S(1)=\frac{1\times2\times3}{6}=1 ; S(2)=2×3×56=5=1+4S(2)=\frac{2\times3\times5}{6}=5=1+4 ; S(3)=3×4×76=14=1+4+9S(3)=\frac{3\times4\times7}{6}=14=1+4+9.
  2. 6S(n)=n(n+1)(2n+1)=n(2n2+3n+1)=2n3+3n2+n6S(n)=n(n+1)(2n+1)=n(2n^2+3n+1)=2n^3+3n^2+n. Donc S(n)=13n3+12n2+16nS(n)=\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n : SS est un polynôme de degré 3, de coefficient dominant 13\frac13.
  3. S(n)=91S(n)=91 équivaut à 6S(n)=5466S(n)=546, soit 2n3+3n2+n−546=02n^3+3n^2+n-546=0. Les premières valeurs S(5)=55S(5)=55 et S(6)=6×7×136=91S(6)=\frac{6\times7\times13}{6}=91 montrent que n=6n=6 convient. Tableau de Horner avec a=6a=6 :
    223311−546-546
    6612129090546546
    221515919100
    Donc 2n3+3n2+n−546=(n−6)(2n2+15n+91)2n^3+3n^2+n-546=(n-6)(2n^2+15n+91). Pour n>0n\gt 0, 2n2+15n+91>02n^2+15n+91\gt 0 (somme de termes positifs), donc le produit est nul seulement si n=6n=6. La pyramide a 6 couches.
  4. On regroupe les termes de même degré :6S(n+1)−6S(n)=2((n+1)3−n3)+3((n+1)2−n2)+1=2(3n2+3n+1)+3(2n+1)+1=6n2+12n+6=6(n+1)2.\begin{aligned}&6S(n+1)-6S(n)\\&=2\big((n+1)^3-n^3\big)\\&\quad+3\big((n+1)^2-n^2\big)\\&\quad+1\\&=2(3n^2+3n+1)\\&\quad+3(2n+1)+1\\&=6n^2+12n+6\\&=6(n+1)^2.\end{aligned}Donc S(n+1)−S(n)=(n+1)2S(n+1)-S(n)=(n+1)^2 : passer de nn à n+1n+1 couches ajoute exactement la couche de base de (n+1)×(n+1)(n+1)\times(n+1) oranges, ce qui confirme la formule admise.
  5. D'après la question 4, S(n+1)−S(n)>0S(n+1)-S(n)\gt 0 : SS augmente avec nn. Or S(7)=7×8×156=140S(7)=\frac{7\times8\times15}{6}=140 et S(8)=8×9×176=204S(8)=\frac{8\times9\times17}{6}=204. Comme 140<200<204140\lt 200\lt 204, aucune pyramide complète ne contient exactement 200 oranges. Le marchand peut construire 7 couches complètes avec 140 oranges ; il lui en reste 200−140=60200-140=60, moins que les 64 de la couche suivante.

Problème de synthèse type devoir surveillé

Sujet d'entraînement construit sur le modèle d'un devoir surveillé du semestre 1 : il relie les polynômes à l'ordre dans R\mathbb{R} (encadrements et opérations sur les inégalités). Durée conseillée : 1 h. Barème indicatif sur 20 points.

Problème : factoriser, étudier le signe, encadrer

Type devoir
On considère le polynôme P(x)=2x3+x2−7x−6P(x)=2x^3+x^2-7x-6.
  1. (2 points) Vérifier que −1-1 est une racine de PP.
  2. (3 points) À l'aide du tableau de Horner, déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x+1) Q(x)P(x)=(x+1)\,Q(x) pour tout réel xx.
  3. (3 points) Vérifier que 2 est une racine de QQ, puis écrire P(x)P(x) comme produit de trois facteurs du premier degré.
  4. (4 points) Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation P(x)=0P(x)=0, puis l'inéquation P(x)≤0P(x)\leq0.
  5. (4 points) Soit xx un réel tel que 2≤x≤32\leq x\leq3. Encadrer x+1x+1, x−2x-2 et 2x+32x+3, puis en déduire que 0≤P(x)≤360\leq P(x)\leq36.
  6. (4 points) Montrer que, pour tout réel x≥2x\geq2, P(x)≥21(x−2)P(x)\geq21(x-2). En déduire un réel AA tel que P(x)≥1050P(x)\geq1050 pour tout x≥Ax\geq A.
Voir le corrigé
  1. P(−1)=−2+1+7−6=0P(-1)=-2+1+7-6=0 : −1-1 est une racine de PP.
  2. Comme P(−1)=0P(-1)=0, P(x)P(x) est divisible par x+1=x−(−1)x+1=x-(-1). Tableau de Horner avec a=−1a=-1 :
    2211−7-7−6-6
    −1-1−2-21166
    22−1-1−6-600
    Le reste est nul et Q(x)=2x2−x−6Q(x)=2x^2-x-6 : P(x)=(x+1)(2x2−x−6)P(x)=(x+1)(2x^2-x-6).
  3. Q(2)=8−2−6=0Q(2)=8-2-6=0, donc Q(x)=(x−2)(αx+β)Q(x)=(x-2)(\alpha x+\beta). Par identification du terme en x2x^2 et du terme constant, α=2\alpha=2 et −2β=−6-2\beta=-6, soit β=3\beta=3 : Q(x)=(x−2)(2x+3)Q(x)=(x-2)(2x+3). Donc P(x)=(x+1)(x−2)(2x+3)P(x)=(x+1)(x-2)(2x+3). Contrôle en x=0x=0 : 1×(−2)×3=−6=P(0)1\times(-2)\times3=-6=P(0).
  4. Par la règle du produit nul, P(x)=0P(x)=0 a pour ensemble de solutions {−32 ;−1 ;2}\left\{-\frac32\,;-1\,;2\right\}. Pour l'inéquation, on dresse le tableau de signes ci-dessous.
xx−∞-\infty−32-\frac32−1-122+∞+\infty
2x+32x+3−-00++++++
x+1x+1−-−-00++++
x−2x-2−-−-−-00++
P(x)P(x)−-00++00−-00++
L'ensemble des solutions de P(x)≤0P(x)\leq0 est ]−∞ ;−32]∪[−1 ;2]\mathopen{]}-\infty\,;-\tfrac32]\cup[-1\,;2].
  1. Si 2≤x≤32\leq x\leq3, en ajoutant 1, puis −2-2, on obtient 3≤x+1≤43\leq x+1\leq4 et 0≤x−2≤10\leq x-2\leq1. En multipliant par 2>02\gt 0 puis en ajoutant 3 : 7≤2x+3≤97\leq2x+3\leq9. Les trois encadrements ont des bornes positives ou nulles ; on peut donc les multiplier membre à membre : 3×0×7≤(x+1)(x−2)(2x+3)≤4×1×93\times0\times7\leq(x+1)(x-2)(2x+3)\leq4\times1\times9, c'est-à-dire 0≤P(x)≤360\leq P(x)\leq36. Les bornes sont atteintes : P(2)=0P(2)=0 et P(3)=54+9−21−6=36P(3)=54+9-21-6=36.
  2. Soit x≥2x\geq2. Alors x+1≥3>0x+1\geq3\gt 0 et 2x+3≥7>02x+3\geq7\gt 0 ; le produit de deux inégalités entre réels positifs donne (x+1)(2x+3)≥21(x+1)(2x+3)\geq21. En multipliant par x−2≥0x-2\geq0, le sens est conservé : P(x)=(x−2)(x+1)(2x+3)≥21(x−2)P(x)=(x-2)(x+1)(2x+3)\geq21(x-2). Pour avoir 21(x−2)≥105021(x-2)\geq1050, il suffit que x−2≥50x-2\geq50, soit x≥52x\geq52. Avec A=52A=52 : si x≥52x\geq52, alors P(x)≥21(x−2)≥21×50=1050P(x)\geq21(x-2)\geq21\times50=1050.

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