Polynômes tronc commun : cours, résumé et méthode de Horner

Un polynôme est une expression comme $P(x)=2x^3-5x+1$ : une somme de termes de la forme $ax^n$ , où $a$ est un réel et $n$ un entier naturel. Ici, les termes sont $2x^3$ , $-5x$ et $1$ ; le plus grand exposant, 3, est le degré de $P$ , et 2 est le coefficient de $x^3$ . Le résultat qui organise tout le chapitre : un réel $a$ est une racine de $P$ , autrement dit $P(a)=0$ , si et seulement si $P(x)$ se factorise par $x-a$ . On a alors $P(x)=(x-a)Q(x)$ , où $Q$ est un polynôme de degré un de moins que $P$ .

Exemple : pour $P(x)=x^3-2x^2-x+2$ , on calcule $P(1)=1-2-1+2=0$ . Donc $x-1$ est un facteur de $P(x)$ , et la méthode de Horner donne $P(x)=(x-1)(x^2-x-2)$ . Comme $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ , on obtient $P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)$ , et les racines de $P$ sont $1$ , $2$ et $-1$ .

Chapitre du semestre 1 du tronc commun scientifique et technologique, option française. On y effectue la division euclidienne d'un polynôme par $x-a$ de trois façons, dont la méthode de Horner (le tableau de Horner). On factorise ensuite des polynômes de degré 3 et 4 pour résoudre $P(x)=0$ et $P(x)\geq0$ . Prérequis : le calcul littéral et les identités remarquables, y compris celles du troisième degré. Pour s'entraîner dans le même ordre : exercices corrigés sur les polynômes en tronc commun.

Sommaire10 parties

Résumé de cours : l’essentiel sur les polynômes

Les coefficients sont réels (dans $\mathbb{R}$ , noté IR dans les polycopiés). Chaque ligne renvoie à la section qui explique la règle.

Notion	Règle et condition
Degré	plus grande puissance de $x$ à coefficient non nul, après réduction ; le polynôme nul n'a pas de degré
Égalité	$P=Q$ pour tout réel $x$ si et seulement si mêmes coefficients (identification)
Somme	$\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$ , égalité si $\deg P\neq\deg Q$
Produit	$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ pour $P$ , $Q$ non nuls
Racine et facteur	$P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x)$ , $\deg Q=\deg P-1$
Division par $x-a$	$P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)$ : le reste est $P(a)$
Horner	coefficients avec les 0, multiplier par $a$ , additionner ; pour $x+a$ , on place $-a$
Racine évidente	tester $\pm1$ , $\pm2$ … ; coefficients entiers : une racine entière divise $a_0$
Signe	factoriser, puis tableau de signes des facteurs

Polynôme, terme, coefficient et degré

On lit le vocabulaire sur un exemple : $P(x)=3x^4-x^2+\frac23x-7$ . Chacun des morceaux $3x^4$ , $-x^2$ , $\frac23x$ et $-7$ est un terme de $P$ (on dit aussi un monôme). Le nombre placé devant une puissance de $x$ est son coefficient : 3 pour $x^4$ , $-1$ pour $x^2$ , et 0 pour $x^3$ , qui n'apparaît pas. Le plus grand exposant à coefficient non nul, ici 4, est le degré de $P$ . Son coefficient, 3, est le coefficient dominant, et le terme constant est $-7=P(0)$ .

Définition d’un polynôme et de son degré

Un polynôme est une somme de termes $ax^n$ , où $a$ est un réel et $n$ un entier naturel. Réduit et rangé suivant les puissances décroissantes, un polynôme non nul s'écrit $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ avec $a_n\neq0$ ; l'entier $n$ est son degré, noté $\deg P$ .

Un polynôme constant non nul, comme $P(x)=-4$ , est de degré 0. Le polynôme nul, dont tous les coefficients sont nuls, n'a pas de degré.
Un polynôme de degré 1 s'écrit $ax+b$ avec $a\neq0$ ; un polynôme de degré 2, $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ , s'appelle un trinôme.
Un polynôme est défini pour tout réel $x$ . Une expression qui n'a pas de sens pour un réel (division par $x$ , racine carrée de $x$ ) n'est donc pas un polynôme.

Exemple 1 : reconnaître un polynôme et lire son degré

On réduit chaque expression avant de conclure.

$A(x)=(2x-1)^2-4x^2=4x^2-4x+1-4x^2=-4x+1$ . C'est un polynôme de degré 1, et non 2 : les termes en $x^2$ se compensent.
$B(x)=x^3+\frac1x$ n'est pas défini pour $x=0$ : ce n'est pas un polynôme.
$C(x)=\sqrt3\,x^2-\frac x2+5$ est un polynôme de degré 2 : les coefficients peuvent être irrationnels, seuls les exposants de $x$ doivent être des entiers naturels.
$E(x)=(x^2+1)(x-3)=x^3-3x^2+x-3$ est de degré 3, de coefficient dominant 1 et de terme constant $-3$ .

Égalité de deux polynômes et identification

Propriété : égalité de deux polynômes

Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux lorsque $P(x)=Q(x)$ pour tout réel $x$ . Cela se produit si et seulement si $P$ et $Q$ ont le même degré et les mêmes coefficients devant chaque puissance de $x$ .

Cette propriété est admise. Les mots « pour tout réel $x$ » sont indispensables : $x^2$ et $x$ sont égaux en 0 et en 1, mais pas en 2.

Méthode d’identification des coefficients

Pour trouver des coefficients inconnus dans une égalité vraie pour tout réel $x$ :

développer et réduire chaque membre ;
égaler les coefficients de chaque puissance de $x$ , du plus haut degré jusqu'au terme constant ;
résoudre le système obtenu, puis vérifier en une valeur de $x$ .

Exemple 2 : écrire un trinôme suivant les puissances de x moins 1

On cherche les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que, pour tout réel $x$ , $2x^2-7x+4=a(x-1)^2+b(x-1)+c$ . On développe le second membre :

\begin{aligned}&a(x-1)^2+b(x-1)+c\\&=ax^2-2ax+a\\&\quad+bx-b+c\\&=ax^2+(b-2a)x\\&\quad+(a-b+c).\end{aligned}

On identifie avec $2x^2-7x+4$ : $a=2$ , puis $b-2a=-7$ donne $b=-3$ , puis $a-b+c=4$ donne $2+3+c=4$ , soit $c=-1$ . Donc $2x^2-7x+4=2(x-1)^2-3(x-1)-1$ .

Vérification en $x=0$ : $2\times1-3\times(-1)-1=4$ , qui est bien le terme constant de $2x^2-7x+4$ .

Opérations sur les polynômes et degré

Propriété : degré d’une somme et d’un produit

Soit $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et $\lambda$ un réel non nul.

Si $P+Q$ n'est pas nul, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$ . Si $\deg P\neq\deg Q$ , il y a égalité.
$\deg(\lambda P)=\deg P$ .
$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ . Le coefficient dominant de $PQ$ est le produit des coefficients dominants, et son terme constant est le produit des termes constants.

Pour le produit, les termes de plus haut degré $a_nx^n$ et $b_px^p$ donnent $a_nb_px^{n+p}\neq0$ , que rien ne compense. Pour une somme, les termes de plus haut degré peuvent s'annuler.

Exemple 3 : somme, différence et produit

Soit $P(x)=x^3-2x+4$ et $Q(x)=-x^3+3x^2+1$ , tous deux de degré 3.

$P(x)+Q(x)=3x^2-2x+5$ : degré 2, strictement inférieur à 3, car les termes en $x^3$ se compensent.
$P(x)-Q(x)=2x^3-3x^2-2x+3$ : degré 3.
Sans développer, $PQ$ est de degré $3+3=6$ , de coefficient dominant $1\times(-1)=-1$ et de terme constant $4\times1=4$ . Le développement le confirme :

\begin{aligned}&P(x)Q(x)\\&=-x^6+3x^5+2x^4\\&\quad-9x^3+12x^2-2x+4.\end{aligned}

Racine d’un polynôme et factorisation par x moins a

Définition d’une racine

On dit qu'un réel $a$ est une racine (ou un zéro) du polynôme $P$ lorsque $P(a)=0$ .

Théorème : racine et facteur x moins a

Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq1$ et $a$ un réel. Le réel $a$ est une racine de $P$ si et seulement s'il existe un polynôme $Q$ , de degré $n-1$ , tel que pour tout réel $x$ :

P(x)=(x-a)\,Q(x).

On dit alors que $P$ est divisible par $x-a$ .

Démonstration : une racine donne un facteur x moins a

Étape 1 : factoriser $x^k-a^k$ . Pour tout entier $k\geq1$ ,

\begin{aligned}&x^k-a^k\\&=(x-a)\big(x^{k-1}+ax^{k-2}\\&\quad+\dots+a^{k-2}x+a^{k-1}\big).\end{aligned}

Pour $k=2$ , c'est $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ . Dans le cas général, en développant, tous les termes se compensent deux à deux, sauf $x^k$ et $-a^k$ .

Étape 2 : écrire $P(x)-P(a)$ . Avec $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ , les termes constants disparaissent dans la différence :

\begin{aligned}&P(x)-P(a)\\&=a_n(x^n-a^n)+\dots\\&\quad+a_2(x^2-a^2)\\&\quad+a_1(x-a).\end{aligned}

D'après l'étape 1, on peut mettre $x-a$ en facteur : $P(x)-P(a)=(x-a)\,Q(x)$ , où $Q$ est un polynôme. Seule la parenthèse $x^n-a^n$ fournit un terme en $x^{n-1}$ , avec le coefficient $a_n\neq0$ : $Q$ est de degré $n-1$ .

Étape 3 : conclure. Pour tout réel $x$ , $P(x)=(x-a)\,Q(x)+P(a)$ . Si $P(a)=0$ , il reste $P(x)=(x-a)\,Q(x)$ . Réciproquement, si $P(x)=(x-a)\,Q(x)$ pour tout $x$ , alors $P(a)=0\times Q(a)=0$ . $\square$

Exemple 4 : tester des racines

Soit $P(x)=2x^3+x^2-8x-4$ .

$P(1)=2+1-8-4=-9\neq0$ : 1 n'est pas une racine, et $x-1$ ne divise pas $P$ .
$P(2)=16+4-16-4=0$ : 2 est une racine, donc $P(x)=(x-2)\,Q(x)$ avec $Q$ de degré 2.
$P(-2)=-16+4+16-4=0$ : $-2$ est aussi une racine.

Ici, un regroupement donne directement la factorisation : $P(x)=x^2(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(x^2-4)=(2x+1)(x-2)(x+2)$ . La troisième racine est $-\frac12$ .

Division euclidienne d’un polynôme par x moins a : trois méthodes

Théorème : division euclidienne par x moins a et reste

Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq1$ et $a$ un réel. Il existe un unique polynôme $Q$ , de degré $n-1$ , et un unique réel $r$ tels que, pour tout réel $x$ ,

P(x)=(x-a)\,Q(x)+r.

$Q$ est le quotient, $r$ le reste, et $r=P(a)$ .

L'existence et l'égalité $r=P(a)$ viennent de l'étape 3 de la démonstration précédente ; l'unicité est admise. Le reste se calcule donc sans diviser : c'est $P(a)$ . Les trois méthodes ci-dessous calculent le quotient, sur le même exemple : la division de $P(x)=2x^3-7x^2+5$ par $x-3$ . Le reste attendu est $P(3)=54-63+5=-4$ .

Méthode 1 : la division posée

On procède comme pour la division de deux entiers, en écrivant toutes les puissances : $2x^3-7x^2+0x+5$ .

$2x^3$ divisé par $x$ donne $2x^2$ . On retranche $2x^2(x-3)=2x^3-6x^2$ : il reste $-x^2+0x+5$ .
$-x^2$ divisé par $x$ donne $-x$ . On retranche $-x(x-3)=-x^2+3x$ : il reste $-3x+5$ .
$-3x$ divisé par $x$ donne $-3$ . On retranche $-3(x-3)=-3x+9$ : il reste $-4$ .

Le reste $-4$ est un nombre : on s'arrête. Le quotient est $Q(x)=2x^2-x-3$ .

Méthode 2 : l’identification des coefficients

Le quotient est de degré 2 : on l'écrit $Q(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ et on cherche $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ et $r$ . On développe :

\begin{aligned}&(x-3)(\alpha x^2+\beta x+\gamma)+r\\&=\alpha x^3+(\beta-3\alpha)x^2\\&\quad+(\gamma-3\beta)x+(r-3\gamma).\end{aligned}

On identifie avec $2x^3-7x^2+0x+5$ , en isolant à chaque ligne le nouveau coefficient :

\begin{aligned}\alpha&=2\\ \beta&=-7+3\times2=-1\\ \gamma&=0+3\times(-1)=-3\\ r&=5+3\times(-3)=-4.\end{aligned}

On retrouve $Q(x)=2x^2-x-3$ et $r=-4$ .

Méthode 3 : le tableau de Horner

Les égalités de la méthode 2 ont toutes la même forme : nouveau coefficient = coefficient de $P$ + 3 × coefficient précédent. La méthode de Horner range exactement ces calculs dans un tableau, le tableau de Horner.

Première ligne : les coefficients de $P$ suivant les puissances décroissantes, en écrivant 0 pour chaque puissance absente.
À gauche de la deuxième ligne : le réel $a$ . Pour $x-3$ , on écrit 3.
On abaisse le premier coefficient dans la troisième ligne.
On multiplie le dernier nombre de la troisième ligne par $a$ , on écrit le produit dans la colonne suivante de la deuxième ligne, puis on additionne cette colonne. On recommence jusqu'à la dernière colonne.
Lecture : la dernière case est le reste $P(a)$ ; les cases précédentes sont les coefficients de $Q$ , de degré $n-1$ .

Attention : une puissance absente s'écrit 0 dans la première ligne. Pour

x^3-4x+3

, on place

1

0

-4

3

; sans le 0, on diviserait en réalité

x^2-4x+3

, et le quotient obtenu serait de degré 1 au lieu de 2.

Tableau de Horner de la division de 2x³ − 7x² + 5 par x − 3 : première ligne 2, −7, 0, 5 ; le nombre 3 à gauche ; deuxième ligne 6, −3, −9 obtenus en multipliant par 3 ; troisième ligne 2, −1, −3 qui forment le quotient 2x² − x − 3, et le reste −4 encadré, égal à P(3). — Le tableau de Horner pour $2x^3-7x^2+5$ divisé par $x-3$ : on multiplie par 3 en diagonale et on additionne chaque colonne. La dernière case est le reste $P(3)=-4$ .

Conclusion : pour tout réel $x$ , $2x^3-7x^2+5=(x-3)(2x^2-x-3)-4$ . Contrôle en $x=0$ : le membre de droite vaut $(-3)\times(-3)-4=5$ , le terme constant de $P$ .

Exemple 5 : diviser par x plus 2 avec le tableau de Horner

On divise $P(x)=x^4-3x^3+5x-2$ par $x+2$ . Comme $x+2=x-(-2)$ , on place $-2$ à gauche, et le coefficient de $x^2$ , absent, vaut 0 :

	$1$	$-3$	$0$	$5$	$-2$
$-2$		$-2$	$10$	$-20$	$30$
	$1$	$-5$	$10$	$-15$	$28$

Donc $x^4-3x^3+5x-2=(x+2)(x^3-5x^2+10x-15)+28$ . Le reste n'est pas nul : $x+2$ ne divise pas $P$ . Contrôle : $P(-2)=16+24-10-2=28$ .

Attention : pour un facteur

x+2

, on place

-2

, pas 2 ; avec 2, le tableau calcule la division par

x-2

et donne

P(2)

. De même, si

-3

est racine, le facteur est

x+3

, pas

x-3

Quelle méthode choisir pour diviser par x moins a

Méthode	Quand l'utiliser
Tableau de Horner	Le plus rapide ; donne aussi $P(a)$ . Vigilance : les 0 des puissances absentes et le signe de $a$ .
Identification	Quand des coefficients sont inconnus ou dépendent d'un paramètre.
Division posée	Sur le modèle de la division de deux entiers ; plus longue, avec des risques d'erreur de signe dans les soustractions.

Racine évidente et factorisation d’un polynôme de degré 3

Propriété : racine entière et terme constant

Si les coefficients de $P$ sont des entiers et si un entier $k$ est racine de $P$ , alors $k$ divise le terme constant $a_0$ .

En effet, $P(k)=0$ s'écrit $a_0=-k\,(a_nk^{n-1}+\dots+a_1)$ , et la parenthèse est un entier. Les racines entières sont donc à chercher parmi les diviseurs de $a_0$ , positifs et négatifs. Deux tests sont immédiats : $P(1)$ est la somme des coefficients, et $P(-1)$ s'obtient en changeant le signe des coefficients des puissances impaires avant d'additionner. Une racine peut aussi être une fraction, comme $-\frac12$ dans l'exemple 4 : ce critère ne trouve que les racines entières.

Méthode : factoriser un polynôme de degré 3

Chercher une racine évidente $a$ : tester 1 et $-1$ , puis les autres diviseurs du terme constant.
Diviser par $x-a$ , en général avec le tableau de Horner : $P(x)=(x-a)\,Q(x)$ , où $Q$ est un trinôme.
Factoriser $Q$ : seconde racine évidente, identité remarquable, ou bien montrer que $Q$ ne s'annule jamais. Lorsque rien de tout cela n'aboutit, le discriminant, étudié au chapitre suivant, règle tous les cas.
Vérifier la factorisation en développant, ou au moins en comparant les valeurs en $x=0$ .

Exemple 6 : trois racines entières

On factorise $P(x)=x^3-7x+6$ . Les racines entières possibles sont les diviseurs de 6 : $\pm1$ , $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm6$ . La somme des coefficients vaut $1+0-7+6=0$ , donc $P(1)=0$ . Tableau de Horner avec $a=1$ :

	$1$	$0$	$-7$	$6$
$1$		$1$	$1$	$-6$
	$1$	$1$	$-6$	$0$

Donc $P(x)=(x-1)(x^2+x-6)$ . Pour $Q(x)=x^2+x-6$ , on teste 2 : $Q(2)=4+2-6=0$ . Un second tableau, avec $a=2$ :

	$1$	$1$	$-6$
$2$		$2$	$6$
	$1$	$3$	$0$

donne $Q(x)=(x-2)(x+3)$ . Finalement $P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$ . Contrôle en $x=0$ : $(-1)\times(-2)\times3=6=P(0)$ .

Exemple 7 : un quotient qui est une identité remarquable

Soit $P(x)=x^3-5x^2+3x+9$ . On a $P(-1)=-1-5-3+9=0$ . Tableau de Horner avec $a=-1$ :

	$1$	$-5$	$3$	$9$
$-1$		$-1$	$6$	$-9$
	$1$	$-6$	$9$	$0$

Donc $P(x)=(x+1)(x^2-6x+9)$ . On reconnaît $x^2-6x+9=(x-3)^2$ , d'où $P(x)=(x+1)(x-3)^2$ . Les racines sont $-1$ et $3$ ; le facteur $x-3$ apparaît deux fois. Contrôle en $x=0$ : $1\times9=9=P(0)$ .

Exemple 8 : un quotient qui ne s’annule pas

Soit $P(x)=x^3-x^2+x-6$ . On teste les diviseurs de $-6$ : $P(1)=-5$ , $P(-1)=-9$ , puis $P(2)=8-4+2-6=0$ . Tableau de Horner avec $a=2$ :

	$1$	$-1$	$1$	$-6$
$2$		$2$	$2$	$6$
	$1$	$1$	$3$	$0$

Donc $P(x)=(x-2)(x^2+x+3)$ . Le trinôme $x^2+x+3$ n'a pas de racine réelle : en complétant le carré,

\begin{aligned}x^2+x+3&=\left(x+\tfrac12\right)^2+\tfrac{11}{4}\\&\geq\tfrac{11}{4}\gt 0.\end{aligned}

La factorisation s'arrête là, et la seule racine de $P$ est 2.

Factoriser un polynôme de degré 4

On applique deux fois la même idée : une première racine ramène au degré 3, une seconde au degré 2.

Exemple 9 : deux divisions successives

Soit $P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12$ . On a $P(-1)=1+2-7-8+12=0$ . Tableau de Horner avec $a=-1$ :

	$1$	$-2$	$-7$	$8$	$12$
$-1$		$-1$	$3$	$4$	$-12$
	$1$	$-3$	$-4$	$12$	$0$

Donc $P(x)=(x+1)\,R(x)$ avec $R(x)=x^3-3x^2-4x+12$ . Puis $R(2)=8-12-8+12=0$ , et le tableau avec $a=2$ :

	$1$	$-3$	$-4$	$12$
$2$		$2$	$-2$	$-12$
	$1$	$-1$	$-6$	$0$

donne $R(x)=(x-2)(x^2-x-6)$ . Enfin $x^2-x-6$ s'annule en 3 ( $9-3-6=0$ ) et vaut $(x-3)(x+2)$ . Donc $P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x+2)$ . Contrôle en $x=0$ : $1\times(-2)\times(-3)\times2=12=P(0)$ .

Résoudre une équation polynomiale et étudier le signe d’un polynôme

Méthode : de la factorisation au signe

Pour résoudre $P(x)=0$ : factoriser $P(x)$ , puis utiliser la règle du produit nul (un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul).
Pour résoudre $P(x)\geq0$ ou $P(x)\lt 0$ : factoriser, étudier le signe de chaque facteur, puis dresser un tableau de signes du produit.
Un facteur toujours strictement positif ne change pas le signe. D'après l'exemple 8, $x^3-x^2+x-6=(x-2)(x^2+x+3)$ a le signe de $x-2$ : il est strictement négatif si et seulement si $x\lt 2$ .

Exemple 10 : une inéquation de degré 3

On résout $x^3-7x+6\geq0$ . D'après l'exemple 6, $x^3-7x+6=(x+3)(x-1)(x-2)$ . Chaque facteur du premier degré est négatif avant sa racine et positif après :

$x$	$-\infty$		$-3$		$1$		$2$		$+\infty$
$x+3$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$x-1$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x-2$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
$P(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

L'ensemble des solutions est $S=[-3\,;1]\cup[2\,;+\infty\mathclose{[}$ . Contrôle : $1{,}5$ n'est pas dans $S$ , et $P(1{,}5)=3{,}375-10{,}5+6=-1{,}125\lt 0$ .

Exemple 11 : un facteur au carré

On résout $x^3-5x^2+3x+9\leq0$ . D'après l'exemple 7, le premier membre vaut $(x+1)(x-3)^2$ . Pour $x=3$ , le produit est nul : 3 est solution. Pour $x\neq3$ , $(x-3)^2\gt 0$ , et le produit a le signe de $x+1$ : il est négatif ou nul si et seulement si $x\leq-1$ .

L'ensemble des solutions est $S=\mathopen{]}-\infty\,;-1]\cup\{3\}$ .

Attention : on ne simplifie pas une inéquation par

(x-3)^2

, qui est nul en 3. Passer de

(x+1)(x-3)^2\leq0

x+1\leq0

fait perdre la solution isolée 3.

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