Projection dans le plan tronc commun : cours et résumé

Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes. La projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ associe à chaque point $M$ du plan le point $M^{\prime}$ où la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ coupe $(D)$ . Elle conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ . Exemple : dans un triangle $ABC$ , la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ fixe $A$ et envoie $B$ sur $C$ , donc le point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=0{,}3\,\overrightarrow{AB}$ a pour image $E^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{AE^{\prime}}=0{,}3\,\overrightarrow{AC}$ .

Accès direct : résumé de cours en un tableau, activité sur quadrillage, traduction vectorielle du théorème de Thalès, 16 exercices corrigés et un devoir surveillé.

Chapitre du semestre 1 du tronc commun scientifique et technologique (TCS, TCT), option française. Prérequis : le calcul vectoriel (relation de Chasles, vecteurs colinéaires) et le théorème de Thalès du collège, rappelé plus bas.

Sommaire7 parties

Résumé de cours : l’essentiel sur la projection dans le plan

Dans tout le tableau, $p$ est la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ , et $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ … sont les images de $A$ , $B$ …

Notion	Énoncé et condition
Projeté d'un point	$M^{\prime}\in(D)$ $(MM^{\prime})\parallel(\Delta)$ $(D)$ , $(\Delta)$ sécantes
Points invariants	$p(M)=M$ $\Leftrightarrow M\in(D)$
Même image	$p(M)=p(N)$ $\Leftrightarrow(MN)\parallel(\Delta)$ pour $M\neq N$
Projection orthogonale	cas $(\Delta)\perp(D)$
Projection sur un axe	$\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\overline{A^{\prime}B^{\prime}}\,\vec i$ $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ $=x_{B^{\prime}}-x_{A^{\prime}}$
Thalès (collège)	$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ si $(MN)\parallel(BC)$
Coefficient de colinéarité	$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow\overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}$ $=k\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ toujours vrai
Segment, milieu	image de $[AB]$ : $[A^{\prime}B^{\prime}]$ $I$ milieu de $[AB]$ $\Rightarrow I^{\prime}$ milieu de $[A^{\prime}B^{\prime}]$
Retrouver le coefficient	$\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ $A$ , $B$ , $C$ alignés, $(AC)$ non parallèle à $(\Delta)$
Thalès vectoriel	$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $(MN)\parallel(BC)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$
Réciproque	$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ donc $(MN)\parallel(BC)$ même réel $k\neq0$
Coordonnées	$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}$ $+\,y\overrightarrow{OB}$ $x$ , $y$ lus par projection

Projection sur une droite parallèlement à une autre droite

Projeter, c'est faire glisser un point jusqu'à une droite en suivant une direction fixée.

Définition de la projection parallèlement à une direction

Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes et $M$ un point du plan. La parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ coupe $(D)$ en un point $M^{\prime}$ , le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ . On note $p(M)=M^{\prime}$ ; $p$ est la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ , et $(\Delta)$ est sa direction.

Deux droites sécantes (D) et (Δ) en O. Le point M est envoyé sur M′ de (D) le long de la parallèle à (Δ) en pointillés ; le point N, situé sur cette même parallèle sous (D), a la même image M′ ; le point B de (D) est sa propre image. — La parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ coupe $(D)$ en $M^{\prime}=p(M)$ . Le point $N$ de cette parallèle a la même image, et le point $B$ de $(D)$ vérifie $p(B)=B$ .

Méthode : pour construire $M^{\prime}$ , on trace la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ , puis on prend son point d'intersection avec $(D)$ .

Attention : si

(D)

(\Delta)

sont parallèles, la parallèle à

(\Delta)

passant par

M

ne coupe pas

(D)

, ou se confond avec elle. Il n'y a alors pas de projection.

Points invariants et points de même image

Soit $O$ le point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$ .

$p(M)=M$ si et seulement si $M\in(D)$ : les points invariants sont ceux de $(D)$ .
Tout point de $(\Delta)$ a pour image $O$ .
Pour deux points distincts $M$ et $N$ : $p(M)=p(N)$ si et seulement si $(MN)\parallel(\Delta)$ , car ils sont alors sur la même parallèle à $(\Delta)$ .

Exemple 1 : images des sommets d’un parallélogramme

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ , et $p$ la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ , droites sécantes en $B$ .

$A$ et $B$ sont sur $(AB)$ : $p(A)=A$ et $p(B)=B$ .
$D$ et $O$ sont sur la direction $(BD)$ : ils ont pour image $B$ .
La parallèle à $(BD)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $E$ . Le quadrilatère $DBEC$ a ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ . Ainsi $p(C)=E$ , où $B$ est le milieu de $[AE]$ .

Projection orthogonale et projection oblique

Lorsque $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(D)$ , la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ est appelée projection orthogonale sur $(D)$ . Sinon, on parle de projection oblique, ou simplement de projection.

Deux panneaux avec le même point M au-dessus de la même droite (D). À gauche, projection oblique : M descend sur M′ en suivant une direction (Δ) inclinée. À droite, projection orthogonale : (Δ) est perpendiculaire à (D) et M descend verticalement sur H, angle droit marqué. — Le même point $M$ n'a pas la même image selon la direction choisie : $M^{\prime}$ pour une direction oblique, $H$ pour la direction perpendiculaire à $(D)$ .

Dans le cas orthogonal, l'image $H$ est le projeté orthogonal de $M$ , le pied de la perpendiculaire. Les propriétés du chapitre valent dans les deux cas.

Projection sur un axe et projeté d’un vecteur

Un axe est une droite $(D)$ munie d'un repère $(\Omega,\vec i)$ : chaque point $M^{\prime}$ de $(D)$ a une abscisse $x$ , avec $\overrightarrow{\Omega M^{\prime}}=x\vec i$ . Projeter sur l'axe, orthogonalement ou parallèlement à une direction, c'est lire l'abscisse du projeté.

Le projeté du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\overline{A^{\prime}B^{\prime}}\,\vec i$ , où $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}=x_{B^{\prime}}-x_{A^{\prime}}$ est la mesure algébrique de $A^{\prime}B^{\prime}$ , positive si $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ a le sens de $\vec i$ . Il ne dépend pas des points choisis : si $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}=\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ (conservation du coefficient avec $k=1$ , vue plus bas).

Exemple 2 : projection orthogonale sur un axe

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté 4 cm. On oriente $(BC)$ par le repère $(B,\vec i)$ avec $\vec i=\dfrac14\overrightarrow{BC}$ , et l'on projette orthogonalement. La hauteur issue de $A$ tombe au milieu $H$ de $[BC]$ : le projeté de $A$ est $H$ , d'abscisse 2 ; $B$ et $C$ ont pour abscisses 0 et 4.

Projeté de $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{HB}$ , de mesure algébrique $0-2=-2$ .
Projeté de $\overrightarrow{AC}$ : $\overrightarrow{HC}$ , de mesure algébrique $4-2=2$ .

Contrôle : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ se projette en $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HC}$ , et les mesures algébriques s'ajoutent : $-2+4=2$ . On a $AB=4$ cm, alors que $HB=2$ cm seulement.

Rappel : le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès du collège s'énonce avec des longueurs. Soient $ABC$ un triangle, $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC)$ , distincts de $A$ .

Théorème : si $(MN)\parallel(BC)$ , alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ .
Réciproque : si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ et si les points $A$ , $M$ , $B$ sont dans le même ordre que $A$ , $N$ , $C$ , alors $(MN)\parallel(BC)$ .

Avec une projection, le théorème se lit ainsi : lorsque $(MN)\parallel(BC)$ , la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ envoie $A$ , $M$ , $B$ sur $A$ , $N$ , $C$ , et le rapport $\dfrac{AM}{AB}$ se retrouve sur les images.

Conservation du coefficient de colinéarité

On compte d'abord sur un quadrillage, puis on énonce la propriété.

Activité : compter les carreaux avant et après projection

Sur la figure, $(D)$ est une ligne du quadrillage et la direction $(\Delta)$ monte de 2 carreaux quand elle avance de 1 carreau vers la droite. $B$ est à 2 carreaux à droite et 2 sous $A$ , $C$ à 5 à droite et 5 sous $A$ . Ils sont à 6, 4 et 1 carreaux au-dessus de $(D)$ .

Trouver le réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ .
Sur la figure, $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ ont été obtenus en suivant la direction $(\Delta)$ . Vérifier la construction sur ton cahier, puis compter $A^{\prime}B^{\prime}$ et $A^{\prime}C^{\prime}$ en carreaux.
Comparer $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ et $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ , puis les longueurs $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$ .
Recommencer avec la direction qui avance de 1 carreau et monte de 1 carreau. Le coefficient change-t-il ? Et la longueur $A^{\prime}B^{\prime}$ ?

Quadrillage. La droite (L) porte les points A, B et C ; la direction (Δ) avance de 1 carreau et monte de 2. Les parallèles à (Δ) en pointillés passant par A, B et C mènent à A′, B′ et C′ sur la droite (D). — Activité : la droite $(L)$ porte $A$ , $B$ , $C$ ; les parallèles à la direction $(\Delta)$ mènent à $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ sur $(D)$ .

Réponses de l'activité

1) $k=\dfrac25$ : $B$ fait 2 carreaux sur 5 dans chaque direction. 2) Descendre de $h$ carreaux le long de $(\Delta)$ fait reculer de $\dfrac h2$ : $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ sont 3, 2 et 0,5 carreau à gauche des verticales de $A$ , $B$ , $C$ . On compte $A^{\prime}B^{\prime}=3$ et $A^{\prime}C^{\prime}=7{,}5$ , dans le même sens. 3) $\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac25$ : $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac25\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ , même coefficient ; mais $AB=2\sqrt2\approx2{,}83$ carreaux et $A^{\prime}B^{\prime}=3$ . 4) Avec la nouvelle direction, on recule de $h$ : $A^{\prime}B^{\prime}=4$ et $A^{\prime}C^{\prime}=10$ , et $\dfrac4{10}=\dfrac25$ . Même coefficient, autre longueur.

On retrouve la forme de Thalès vue au collège : si $A$ , $B$ , $C$ sont trois points distincts alignés sur une droite non parallèle à $(\Delta)$ , alors $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{A^{\prime}C^{\prime}}$ . La projection garde même le coefficient avec son signe.

La projection conserve le coefficient de colinéarité

Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ d'images $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ , $D^{\prime}$ et pour tout réel $k$ :

\begin{aligned}&\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\\&\Longrightarrow\ \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}.\end{aligned}

En particulier, si $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ , alors $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ . Sur un axe, la mesure algébrique est multipliée par le même $k$ .

Démonstration

Soient $\vec u$ un vecteur non nul de $(D)$ et $\vec v$ un vecteur non nul de $(\Delta)$ ; ils ne sont pas colinéaires. Par Chasles, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}+\vec w$ avec $\vec w=\overrightarrow{AA^{\prime}}+\overrightarrow{B^{\prime}B}$ colinéaire à $\vec v$ , et de même $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}+\vec z$ . Si $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}-k\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=k\vec w-\vec z$ . Le premier membre est colinéaire à $\vec u$ , le second à $\vec v$ : ce vecteur est nul, sinon $\vec u$ et $\vec v$ seraient colinéaires.

Conséquences : segment et milieu

L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A^{\prime}B^{\prime}]$ (réduit à un point si $(AB)\parallel(\Delta)$ ).
Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $I^{\prime}$ est le milieu de $[A^{\prime}B^{\prime}]$ : c'est le cas $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ .

Exemple 3 : transporter un milieu deux fois

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AC]$ et $K$ celui de $[BI]$ . On cherche l'image $K^{\prime}$ de $K$ par la projection $p$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$ .

$p(B)=B$ , $p(C)=C$ , et $p(A)=B$ , car $A$ est sur la direction $(AB)$ , qui coupe $(BC)$ en $B$ .
$p(I)$ est le milieu de $[p(A)p(C)]=[BC]$ : c'est le milieu $J$ de $[BC]$ .
$K^{\prime}$ est le milieu de $[p(B)p(I)]=[BJ]$ , donc $\overrightarrow{BK^{\prime}}=\dfrac14\overrightarrow{BC}$ .

Attention : une projection ne conserve pas les longueurs. Dans l'exemple 3,

[BI]

a pour image

[BJ]

, et

BI\neq BJ

en général ; seuls les coefficients de colinéarité (points d'une même droite, ou vecteurs parallèles) sont conservés.

Exemple 4 : transporter un coefficient dans un trapèze

$ABCD$ est un trapèze tel que $\overrightarrow{DC}=\dfrac34\overrightarrow{AB}$ . La parallèle à $(AC)$ passant par $D$ coupe $(AB)$ en $D^{\prime}$ . Avec la projection $p$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ : $p(A)=A$ , $p(B)=B$ , $p(D)=D^{\prime}$ , et $p(C)=A$ , car $C$ est sur la direction $(AC)$ . La relation se transporte : $\overrightarrow{D^{\prime}A}=\dfrac34\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{AD^{\prime}}=-\dfrac34\overrightarrow{AB}$ . : $D^{\prime}$ est du côté opposé à $B$ par rapport à $A$ .

Retrouver le coefficient sur trois points alignés

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points alignés avec $A\neq C$ , sur une droite non parallèle à $(\Delta)$ . Alors

\begin{aligned}&\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\\&\iff\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}.\end{aligned}

Pour le sens réciproque : $(AC)$ n'étant pas parallèle à $(\Delta)$ , on a $A^{\prime}\neq C^{\prime}$ . On écrit $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}$ ; la conservation donne $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=m\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ , et $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}\neq\vec0$ impose $m=k$ .

Exemple 5 : situer le point d’intersection des diagonales

Dans le trapèze de l'exemple 4, les diagonales se coupent en $O$ . On projette sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ : $p(A)=A$ et $p(O)=p(D)=B$ . La parallèle à $(BD)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $C_1$ , et $DBC_1C$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BC_1}=\overrightarrow{DC}=\dfrac34\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC_1}=\dfrac74\overrightarrow{AB}$ . Ainsi $\overrightarrow{p(A)p(O)}=\dfrac47\overrightarrow{p(A)p(C)}$ . Comme $(AC)$ coupe $(BD)$ , elle n'est pas parallèle à la direction, d'où $\overrightarrow{AO}=\dfrac47\overrightarrow{AC}$ .

Attention : si

(AC)

est parallèle à

(\Delta)

, les points

A

B

C

ont la même image. L'égalité

\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=k\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}

est alors vraie pour tout

k

(deux vecteurs nuls) et ne renseigne pas sur

\overrightarrow{AB}

Traduction vectorielle du théorème de Thalès

Avec des vecteurs, un seul réel $k$ remplace les rapports de longueurs, et son signe code la position des points : il n'est plus nécessaire de distinguer les configurations emboîtée et « papillon ».

Théorème de Thalès, forme vectorielle

Soient $ABC$ un triangle, $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC)$ , avec $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ . Si $(MN)\parallel(BC)$ , alors à la fois

\begin{aligned}\overrightarrow{AN}&=k\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{MN}&=k\overrightarrow{BC}.\end{aligned}

Preuve. La projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ envoie $A$ sur $A$ , $B$ sur $C$ et $M$ sur $N$ ; la conservation du coefficient donne $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ . Puis $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=k\big(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\big)=k\overrightarrow{BC}$ .

Exemple 6 : un rapport négatif

Dans un triangle $ABC$ avec $AB=7$ cm, $AC=5{,}5$ cm et $BC=8$ cm, le point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM}=-\dfrac25\overrightarrow{AB}$ . La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$ . La forme vectorielle donne $\overrightarrow{AN}=-\dfrac25\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=-\dfrac25\overrightarrow{BC}$ : $N$ est du côté opposé à $C$ par rapport à $A$ , et les longueurs sont multipliées par $\dfrac25$ :

\begin{aligned}AM&=\tfrac25\times7=2{,}8\text{ cm}\\AN&=\tfrac25\times5{,}5=2{,}2\text{ cm}\\MN&=\tfrac25\times8=3{,}2\text{ cm}.\end{aligned}

Réciproque du théorème de Thalès, forme vectorielle

Soient $ABC$ un triangle, $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC)$ . S'il existe un réel $k\neq0$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ , alors $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$ et $(MN)\parallel(BC)$ .

Preuve : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$ . Au collège, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ donne $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=k^{\prime}\overrightarrow{AC}$ avec $|k|=|k^{\prime}|$ ; la condition « même ordre » dit que $k$ et $k^{\prime}$ ont le même signe, c'est-à-dire $k=k^{\prime}$ .

Attention : l'égalité des rapports de longueurs ne suffit pas. Avec

\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AN}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}

, on a

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12

, mais les points ne sont pas dans le même ordre et

(MN)

coupe

(BC)

Exemple 7 : prouver un parallélisme

Dans un triangle $ABC$ , $\overrightarrow{AM}=\dfrac37\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CN}=\dfrac47\overrightarrow{CA}$ . Par Chasles, $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\dfrac47\overrightarrow{AC}=\dfrac37\overrightarrow{AC}$ . Le même réel $\dfrac37$ apparaît dans les deux relations : d'après la réciproque, $(MN)\parallel(BC)$ et $\overrightarrow{MN}=\dfrac37\overrightarrow{BC}$ .

Projection et coordonnées dans un repère

Trois points non alignés $O$ , $A$ , $B$ définissent le repère $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ ; chaque axe sert de direction pour projeter sur l'autre.

Coordonnées d’un point lues par projection

Soit $M$ un point, $M_1$ son projeté sur $(OA)$ parallèlement à $(OB)$ et $M_2$ son projeté sur $(OB)$ parallèlement à $(OA)$ . Si $x$ est l'abscisse de $M_1$ sur l'axe $(O,\overrightarrow{OA})$ et $y$ celle de $M_2$ sur l'axe $(O,\overrightarrow{OB})$ , alors

\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB},

car $OM_1MM_2$ est un parallélogramme (aplati si $M$ est sur un axe). Le couple $(x\,;y)$ est le couple des coordonnées de $M$ .

Triangle OAB servant de repère (O, OA, OB) aux axes obliques. Le point N du segment [AB] tel que AN = 1/4 AB se projette en N₁ sur (OA) parallèlement à (OB) et en N₂ sur (OB) parallèlement à (OA) ; ON₁ = 3/4 OA, ON₂ = 1/4 OB, donc N(3/4 ; 1/4). — Les deux projections de $N$ sur les axes donnent ses coordonnées : $\overrightarrow{ON}=\dfrac34\overrightarrow{OA}+\dfrac14\overrightarrow{OB}$ .

Exemple 8 : coordonnées d’un point d’un côté

Dans le repère $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ , le point $N$ vérifie $\overrightarrow{AN}=\dfrac14\overrightarrow{AB}$ .

Projection sur $(OA)$ parallèlement à $(OB)$ : $A\mapsto A$ , $B\mapsto O$ , $N\mapsto N_1$ , donc $\overrightarrow{AN_1}=\dfrac14\overrightarrow{AO}$ et $\overrightarrow{ON_1}=\dfrac34\overrightarrow{OA}$ .
Projection sur $(OB)$ parallèlement à $(OA)$ : $A\mapsto O$ , $B\mapsto B$ , donc $\overrightarrow{ON_2}=\dfrac14\overrightarrow{OB}$ .

Ainsi $N\left(\dfrac34\,;\dfrac14\right)$ , ce que confirme $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\dfrac14\big(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\big)$ .