L'ordre dans IR tronc commun : 16 exercices corrigés

Comparer deux réels, démontrer une inégalité, encadrer une somme, un produit ou un quotient, résoudre une équation avec une valeur absolue, donner une valeur approchée avec la précision demandée : cette série applique tout le chapitre du tronc commun scientifique et technologique, dans l'ordre du cours et résumé de l'ordre dans ℝ. Les 16 exercices sont rangés par type, du plus direct au plus exigeant, et chaque corrigé est rédigé comme sur une copie de devoir : règle citée, condition vérifiée, conclusion.

Accès direct : premier exercice, encadrement d'une expression rationnelle, problème type devoir surveillé noté sur 20. Niveaux : 5 exercices faciles, 8 moyens et 3 difficiles, puis un devoir sur 20 (durée conseillée : 1 h). Cinq questions flash précèdent le devoir, qui mêle l'ordre et les ensembles de nombres comme un devoir de fin de chapitre.

Sommaire8 parties

Comparer deux réels

Exercice 1 : Comparer par la différence

Facile

Comparer les nombres suivants en étudiant le signe de leur différence.

$\dfrac{13}{17}$ et $\dfrac{15}{19}$ .
$(x+3)^2$ et $x(x+6)$ , pour tout réel $x$ .
$\dfrac{a}{a-1}$ et $\dfrac{a+1}{a}$ , pour tout réel $a\gt 1$ .

Voir le corrigé

Méthode : on calcule

A-B

, on la simplifie, puis on conclut avec

A\leq B\iff A-B\leq0

$\dfrac{13}{17}-\dfrac{15}{19}=\dfrac{13\times19-15\times17}{17\times19}=\dfrac{247-255}{323}=-\dfrac{8}{323}$ . Cette différence est strictement négative, donc $\dfrac{13}{17}\lt \dfrac{15}{19}$ .
$(x+3)^2-x(x+6)=x^2+6x+9-x^2-6x=9$ . La différence vaut 9 pour tout $x$ , elle est strictement positive : $(x+3)^2\gt x(x+6)$ pour tout réel $x$ .
Pour $a\gt 1$ , les dénominateurs $a-1$ et $a$ sont strictement positifs. On réduit au même dénominateur : $\begin{aligned}&\frac{a}{a-1}-\frac{a+1}{a}\\&=\frac{a^2-(a^2-1)}{a(a-1)}\\&=\frac{1}{a(a-1)}.\end{aligned}$ Le produit $a(a-1)$ est strictement positif, donc la différence aussi : $\dfrac{a}{a-1}\gt \dfrac{a+1}{a}$ . Contrôle avec $a=2$ : $2\gt \frac32$ .

Exercice 2 : Comparer par les carrés et les inverses

Moyen

Comparer $6\sqrt2$ et $5\sqrt3$ .
En déduire la comparaison de $\dfrac{1}{6\sqrt2}$ et $\dfrac{1}{5\sqrt3}$ , puis trouver un nombre décimal $d$ compris entre $6\sqrt2$ et $5\sqrt3$ .
Comparer $\sqrt3+\sqrt5$ et $\sqrt2+\sqrt7$ sans calculatrice.

Indication

Questions 1 et 2 : les nombres sont positifs, la méthode de comparaison par les carrés s'applique. Question 3 : après élévation au carré, retirer 8 aux deux nombres obtenus, puis comparer de nouveau des carrés.

Voir le corrigé

Les deux nombres sont positifs, on compare leurs carrés : $\big(6\sqrt2\big)^2=36\times2=72$ et $\big(5\sqrt3\big)^2=25\times3=75$ . Comme $72\lt 75$ et que, pour des réels positifs, l'ordre des carrés est celui des nombres, $6\sqrt2\lt 5\sqrt3$ .
Les deux nombres sont strictement positifs, donc de même signe : le passage aux inverses change l'ordre, $\dfrac{1}{6\sqrt2}\gt \dfrac{1}{5\sqrt3}$ . Pour $d$ , on cherche un décimal dont le carré est compris entre 72 et 75 : $8{,}5^2=72{,}25$ . Comme $72\lt 72{,}25\lt 75$ et que les trois nombres $6\sqrt2$ , $8{,}5$ et $5\sqrt3$ sont positifs, $6\sqrt2\lt 8{,}5\lt 5\sqrt3$ : $d=8{,}5$ convient.
Les deux sommes sont positives ; on compare leurs carrés : $\begin{aligned}\big(\sqrt3+\sqrt5\big)^2&=8+2\sqrt{15}\\\big(\sqrt2+\sqrt7\big)^2&=9+2\sqrt{14}.\end{aligned}$ En retirant 8, il reste à comparer $2\sqrt{15}$ et $1+2\sqrt{14}$ , deux nombres positifs. Leurs carrés valent $60$ et $1+4\sqrt{14}+56=57+4\sqrt{14}$ . Or $\sqrt{14}\gt \sqrt9=3$ , donc $4\sqrt{14}\gt 12\gt 3$ et $57+4\sqrt{14}\gt 60$ . Ainsi $2\sqrt{15}\lt 1+2\sqrt{14}$ , donc $\big(\sqrt3+\sqrt5\big)^2\lt \big(\sqrt2+\sqrt7\big)^2$ et, les sommes étant positives, $\sqrt3+\sqrt5\lt \sqrt2+\sqrt7$ . Contrôle : $3{,}968$ contre $4{,}060$ environ.

Exercice 3 : Comparer avec l’expression conjuguée

Moyen

On pose

A=2-\sqrt3

B=\sqrt5-2

Montrer que $A=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ et $B=\dfrac{1}{\sqrt5+2}$ .
En déduire la comparaison de $A$ et $B$ .
Montrer que $B\lt \dfrac14\lt A$ .

Voir le corrigé

Avec l'identité $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ : $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1$ et $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1$ . Comme $2+\sqrt3\neq0$ et $\sqrt5+2\neq0$ , on peut diviser : $A=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ et $B=\dfrac{1}{\sqrt5+2}$ .
$5\gt 3$ donne $\sqrt5\gt \sqrt3$ , donc $\sqrt5+2\gt 2+\sqrt3\gt 0$ . Le passage aux inverses de deux nombres strictement positifs change l'ordre : $\dfrac{1}{\sqrt5+2}\lt \dfrac{1}{2+\sqrt3}$ , c'est-à-dire $B\lt A$ .
$\sqrt5\gt \sqrt4=2$ , donc $\sqrt5+2\gt 4$ et $B\lt \dfrac14$ . De même $\sqrt3\lt \sqrt4=2$ , donc $0\lt 2+\sqrt3\lt 4$ et $A\gt \dfrac14$ . Conclusion : $B\lt \dfrac14\lt A$ , ce que confirment $B\approx0{,}236$ et $A\approx0{,}268$ .

Ordre et opérations : vrai ou faux, démonstrations

Exercice 4 : Vrai ou faux sur les règles de l’ordre

Facile

Dire si chaque affirmation est vraie pour tous les réels concernés. Justifier une affirmation vraie par une règle, réfuter une affirmation fausse par un contre-exemple.

Si $a\lt b$ , alors $-4a\gt -4b$ .
Si $a\lt b$ , alors $a^2\lt b^2$ .
Si $a\lt b$ et $c\lt d$ , alors $a-c\lt b-d$ .
Si $0\lt a\lt b$ , alors $\dfrac1a\gt \dfrac1b$ .
Si $a\lt b\lt 0$ , alors $a^2\gt b^2$ .
Si $x\lt 3$ et $x\neq0$ , alors $\dfrac1x\gt \dfrac13$ .
Si $0\leq a\leq b$ et $0\leq c\leq d$ , alors $ac\leq bd$ .

Voir le corrigé

Vrai : multiplier par $-4\lt 0$ change le sens de l'inégalité.
Faux : $a=-3$ et $b=1$ vérifient $a\lt b$ , mais $a^2=9\gt 1=b^2$ . La règle des carrés exige des nombres positifs.
Faux : $a=0$ , $b=1$ , $c=0$ , $d=5$ donnent $a-c=0$ et $b-d=-4$ , et $0\lt -4$ est faux. On ne soustrait pas des inégalités membre à membre.
Vrai : $a$ et $b$ sont strictement positifs, donc de même signe, et le passage aux inverses change l'ordre. Directement : $\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac{b-a}{ab}\gt 0$ .
Vrai : en multipliant par $-1$ , $-a\gt -b\gt 0$ ; ce sont deux positifs, donc $(-a)^2\gt (-b)^2$ , soit $a^2\gt b^2$ .
Faux : $x=-1$ vérifie $x\lt 3$ , mais $\dfrac1x=-1\lt \dfrac13$ . La règle des inverses ne s'applique qu'à deux nombres de même signe ; elle est vraie seulement pour $0\lt x\lt 3$ .
Vrai : c'est la règle du produit d'inégalités entre réels positifs. On a $ac\leq bc$ (multiplication par $c\geq0$ ) et $bc\leq bd$ (multiplication par $b\geq0$ ), puis $ac\leq bd$ .

Exercice 5 : Démontrer quatre inégalités

Moyen

Montrer que pour tout réel $x$ , $x^2-6x+10\gt 0$ .
Montrer que pour tous réels $a\gt 0$ et $b\gt 0$ , $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\geq4$ . Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
Montrer que pour tous réels $a\geq0$ et $b\geq0$ , $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2+9}\leq|x|+3$ .

Indication

Question 1 : faire apparaître

(x-3)^2

. Question 3 : les deux membres sont positifs, comparer leurs carrés.

Voir le corrigé

$x^2-6x+10=(x^2-6x+9)+1=(x-3)^2+1$ . Un carré est positif, donc $x^2-6x+10\geq1\gt 0$ pour tout réel $x$ .
En développant : $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=1+\dfrac ab+\dfrac ba+1$ . On étudie la différence avec 4 : $\begin{aligned}\frac ab+\frac ba-2&=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\\&=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq0,\end{aligned}$ car $ab\gt 0$ . Donc $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)-4\geq0$ . L'égalité a lieu si et seulement si $(a-b)^2=0$ , c'est-à-dire $a=b$ .
Les deux membres sont positifs, ils sont rangés comme leurs carrés. $\big(\sqrt a+\sqrt b\big)^2-\big(\sqrt{a+b}\big)^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}\geq0$ . Donc $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ , avec égalité seulement si $ab=0$ .
On applique la question 3 avec $a=x^2\geq0$ et $b=9\geq0$ : $\sqrt{x^2+9}\leq\sqrt{x^2}+\sqrt9=|x|+3$ , car $\sqrt{x^2}=|x|$ pour tout réel $x$ . Écrire $\sqrt{x^2}=x$ serait faux pour $x\lt 0$ .

Encadrer une expression

Exercice 6 : Six encadrements à partir de deux

Facile

On sait que

1{,}5\leq x\leq4

2{,}5\leq y\leq5

. Encadrer :

$x+y$ ;
$x-y$ ;
$xy$ ;
$\dfrac xy$ ;
$x^2$ ;
$2y-x$ .

Voir le corrigé

On additionne deux encadrements de même sens : $1{,}5+2{,}5\leq x+y\leq4+5$ , soit $4\leq x+y\leq9$ .
On multiplie $2{,}5\leq y\leq5$ par $-1$ , ce qui change le sens : $-5\leq-y\leq-2{,}5$ . Puis $x-y=x+(-y)$ : $1{,}5-5\leq x-y\leq4-2{,}5$ , soit $-3{,}5\leq x-y\leq1{,}5$ .
Toutes les bornes sont positives, la règle du produit s'applique : $1{,}5\times2{,}5\leq xy\leq4\times5$ , soit $3{,}75\leq xy\leq20$ .
Les bornes de $y$ sont strictement positives : $\dfrac15\leq\dfrac1y\leq\dfrac{1}{2{,}5}$ , soit $0{,}2\leq\dfrac1y\leq0{,}4$ . Avec $x$ positif : $1{,}5\times0{,}2\leq\dfrac xy\leq4\times0{,}4$ , soit $0{,}3\leq\dfrac xy\leq1{,}6$ .
$x$ est positif, la règle des carrés s'applique : $2{,}25\leq x^2\leq16$ .
$5\leq2y\leq10$ et $-4\leq-x\leq-1{,}5$ , donc $1\leq2y-x\leq8{,}5$ . Les bornes sont atteintes : $y=2{,}5$ , $x=4$ donne 1 ; $y=5$ , $x=1{,}5$ donne $8{,}5$ .

Exercice 7 : Trouver l’erreur dans une copie

Moyen

On sait que

-2\leq x\leq1

3\leq y\leq4

. Un élève a écrit :

(a) $1\leq x^2\leq4$ ; (b) $-2-3\leq x-y\leq1-4$ , donc $-5\leq x-y\leq-3$ ; (c) $\dfrac13\leq\dfrac1y\leq\dfrac14$ ; (d) $-\dfrac23\leq\dfrac xy\leq\dfrac14$ .

Pour chacune des lignes (a), (b) et (d), trouver des valeurs de $x$ et $y$ autorisées qui la contredisent.
Expliquer ce qui ne va pas dans la ligne (c).
Écrire les quatre encadrements corrects.

Indication

L'intervalle de

x

contient 0. Pour

\dfrac xy

, traiter séparément

0\leq x\leq1

-2\leq x\leq0

Voir le corrigé

(a) $x=0$ est autorisé et donne $x^2=0\lt 1$ . (b) $x=-2$ , $y=4$ donnent $x-y=-6\lt -5$ . (d) $x=1$ , $y=3$ donnent $\dfrac xy=\dfrac13\gt \dfrac14$ .
Aucun réel ne vérifie $\dfrac13\leq t\leq\dfrac14$ , puisque $\dfrac13\gt \dfrac14$ : l'élève a gardé le sens en passant aux inverses, alors que pour deux positifs l'ordre change.
- (a) L'intervalle $[-2\,;1]$ contient 0, donc $x^2\geq0$ , avec 0 atteint. Le plus grand carré est $(-2)^2=4$ . Ainsi $0\leq x^2\leq4$ .
- (b) $-4\leq-y\leq-3$ (multiplication par $-1$ ), puis on additionne avec $-2\leq x\leq1$ : $-6\leq x-y\leq-2$ .
- (c) $3$ et $4$ sont strictement positifs : $\dfrac14\leq\dfrac1y\leq\dfrac13$ .
- (d) Si $0\leq x\leq1$ : règle du produit entre positifs, $0\leq\dfrac xy\leq1\times\dfrac13=\dfrac13$ . Si $-2\leq x\leq0$ : $0\leq-x\leq2$ , donc $0\leq\dfrac{-x}{y}\leq\dfrac23$ , soit $-\dfrac23\leq\dfrac xy\leq0$ . En réunissant les deux cas : $-\dfrac23\leq\dfrac xy\leq\dfrac13$ .

Les règles d'encadrement (différence par l'opposé, inverses et produits de positifs) ont toutes une condition de signe. Les trois erreurs (a), (b) et (d) se repèrent en testant les bornes et 0 : c'est le contrôle à faire sur tout encadrement dont l'une des variables change de signe.

Exercice 8 : Clôturer un terrain mesuré au demi-mètre

Moyen

Un terrain rectangulaire a été mesuré à

0{,}5

m près : sa longueur

L

et sa largeur

\ell

, en mètres, vérifient

24{,}5\leq L\leq25{,}5

15{,}5\leq\ell\leq16{,}5

Encadrer le périmètre $P$ du terrain.
La clôture coûte 35 DH le mètre. Encadrer son coût.
Encadrer l'aire $S$ du terrain.
Montrer que 400 est une valeur approchée de $S$ à 21 m² près. Peut-on garantir la précision 20 m² ?
Encadrer le rapport $\dfrac{L}{\ell}$ et en donner un encadrement décimal au centième.

Voir le corrigé

$P=2(L+\ell)$ . En additionnant : $40\leq L+\ell\leq42$ , puis en multipliant par $2\gt 0$ : $80\leq P\leq84$ (en mètres).
Le coût vaut $35P$ ; multiplier par $35\gt 0$ conserve le sens : $2\,800\leq35P\leq2\,940$ . La clôture coûte entre 2 800 DH et 2 940 DH.
Toutes les bornes sont positives : $24{,}5\times15{,}5\leq S\leq25{,}5\times16{,}5$ , soit $379{,}75\leq S\leq420{,}75$ (en m²).
En retranchant 400 aux trois membres : $-20{,}25\leq S-400\leq20{,}75$ , donc $|S-400|\leq20{,}75\leq21$ : 400 est une valeur approchée de $S$ à 21 m² près. La précision 20 m² n'est pas garantie : avec $L=25{,}5$ et $\ell=16{,}5$ , mesures compatibles avec les données, $S=420{,}75$ et $|S-400|=20{,}75\gt 20$ . Une incertitude de $0{,}5$ m sur chaque côté devient une incertitude d'environ 20 m² sur l'aire.
Les bornes de $\ell$ sont strictement positives : $\dfrac{1}{16{,}5}\leq\dfrac1\ell\leq\dfrac{1}{15{,}5}$ . Avec $L$ positif : $\dfrac{24{,}5}{16{,}5}\leq\dfrac L\ell\leq\dfrac{25{,}5}{15{,}5}$ , soit $\dfrac{49}{33}\leq\dfrac L\ell\leq\dfrac{51}{31}$ . Comme $\dfrac{49}{33}=1{,}4848\ldots$ et $\dfrac{51}{31}=1{,}6451\ldots$ , on a $1{,}48\leq\dfrac L\ell\leq1{,}65$ .

Exercice 9 : Encadrer un quotient où x apparaît deux fois

Difficile

Soit

x\in[2\,;3]

A=\dfrac{x-1}{x+2}

Encadrer $x-1$ et $\dfrac{1}{x+2}$ , puis en déduire un premier encadrement de $A$ et son amplitude.
Vérifier que $A=1-\dfrac{3}{x+2}$ .
En déduire un second encadrement de $A$ et son amplitude. Les bornes sont-elles atteintes ?
Pour quelles valeurs de $x$ les bornes du premier encadrement seraient-elles atteintes ? Conclure.
Donner une valeur approchée de $A$ à $0{,}075$ près.

Voir le corrigé

$1\leq x-1\leq2$ et $4\leq x+2\leq5$ . Les bornes $4$ et $5$ sont strictement positives : $\dfrac15\leq\dfrac{1}{x+2}\leq\dfrac14$ . Tous les nombres étant positifs, la règle du produit donne $\dfrac15\leq A\leq\dfrac24=\dfrac12$ , d'amplitude $\dfrac12-\dfrac15=\dfrac{3}{10}$ .
$1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x+2-3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}=A$ , le dénominateur $x+2$ étant non nul sur $[2\,;3]$ .
De $\dfrac15\leq\dfrac{1}{x+2}\leq\dfrac14$ on tire $\dfrac35\leq\dfrac{3}{x+2}\leq\dfrac34$ , puis $-\dfrac34\leq-\dfrac{3}{x+2}\leq-\dfrac35$ et, en ajoutant 1 : $\frac14\leq A\leq\frac25.$ L'amplitude vaut $\dfrac25-\dfrac14=\dfrac{3}{20}$ , la moitié de la précédente. Les bornes sont atteintes : pour $x=2$ , $A=\dfrac14$ ; pour $x=3$ , $A=\dfrac25$ .
La borne $\dfrac12=2\times\dfrac14$ demanderait $x-1=2$ , soit $x=3$ , et en même temps $x+2=4$ , soit $x=2$ : c'est impossible. De même, $\dfrac15=1\times\dfrac15$ demanderait $x=2$ et $x=3$ à la fois. Aucune des deux bornes n'est atteinte : comme $x$ apparaît deux fois, on a utilisé les bornes de chaque facteur indépendamment, ce qui fait perdre de la précision. Dans la seconde écriture, $x$ n'apparaît qu'une fois et les bornes sont exactes.
Le centre de $\left[\dfrac14\,;\dfrac25\right]$ est $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac14+\dfrac25\right)=\dfrac{13}{40}=0{,}325$ et son rayon $\dfrac12\times\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{40}=0{,}075$ . Donc $|A-0{,}325|\leq0{,}075$ : $0{,}325$ est une valeur approchée de $A$ à $0{,}075$ près.

Valeur absolue : calculer, résoudre, interpréter

Exercice 10 : Écrire sans valeur absolue

Facile

Écrire sans barres : $|\sqrt{10}-\pi|$ et $|\sqrt{15}-4|$ .
Calculer $|1-2\sqrt3|+|2\sqrt3-4|$ .
Pour $x\in[-1\,;4]$ , simplifier $B=|x+1|-|x-4|$ , puis résoudre $B=0$ et interpréter la solution en termes de distances.

Voir le corrigé

Méthode : on étudie le signe de l'expression entre les barres ; si elle est positive on enlève les barres, sinon on prend son opposé.

On sait que $\pi\lt 3{,}15$ , et $3{,}15^2=9{,}9225\lt 10$ , donc $3{,}15\lt \sqrt{10}$ (carrés de positifs). Ainsi $\sqrt{10}-\pi\gt 0$ et $|\sqrt{10}-\pi|=\sqrt{10}-\pi$ . Ensuite $15\lt 16$ donne $\sqrt{15}\lt 4$ , donc $|\sqrt{15}-4|=4-\sqrt{15}$ .
$2\sqrt3=\sqrt{12}$ . Comme $1\lt 12\lt 16$ , on a $1\lt \sqrt{12}\lt 4$ . Donc $1-2\sqrt3\lt 0$ et $2\sqrt3-4\lt 0$ : $\begin{aligned}&|1-2\sqrt3|+|2\sqrt3-4|\\&=(2\sqrt3-1)+(4-2\sqrt3)\\&=3.\end{aligned}$
Pour $-1\leq x\leq4$ : $x+1\geq0$ et $x-4\leq0$ , donc $B=(x+1)-(4-x)=2x-3$ . $B=0$ donne $x=\dfrac32$ , qui appartient bien à $[-1\,;4]$ . $|x+1|$ est la distance de $x$ à $-1$ et $|x-4|$ la distance de $x$ à 4 : $B=0$ signifie que $x$ est à égale distance de $-1$ et de 4, et $\dfrac32$ est bien le milieu de $-1$ et 4.

Exercice 11 : Cinq équations avec des valeurs absolues

Moyen

Résoudre dans

\mathbb R

$|x-2{,}5|=4$ ;
$|x+1|=-2$ ;
$|x-4|=|x+9|$ ;
$|2x-1|=|x+5|$ ;
$|x+3|=2|x-3|$ , puis interpréter en termes de distances.

Indication

|u|=|v|

équivaut à

u=v

u=-v

. Pour la question 5, écrire

2|x-3|=|2x-6|

Voir le corrigé

Les réels à distance 4 de $2{,}5$ : $x=2{,}5-4=-1{,}5$ ou $x=2{,}5+4=6{,}5$ . $S=\{-1{,}5\,;6{,}5\}$ .
Une valeur absolue est toujours positive, elle ne peut pas valoir $-2$ : $S=\varnothing$ .
$x$ est à la même distance de 4 et de $-9$ , c'est le milieu : $x=\dfrac{4+(-9)}{2}=-2{,}5$ . Contrôle : $|-6{,}5|=|6{,}5|$ . $S=\{-2{,}5\}$ .
$|2x-1|=|x+5|\iff2x-1=x+5$ ou $2x-1=-(x+5)$ . Première équation : $x=6$ . Seconde : $3x=-4$ , $x=-\dfrac43$ . Contrôles : $|11|=|11|$ et $\left|-\dfrac{11}{3}\right|=\left|\dfrac{11}{3}\right|$ . $S=\left\{-\dfrac43\,;6\right\}$ .
$2|x-3|=|2x-6|$ , donc l'équation s'écrit $|x+3|=|2x-6|$ , soit $x+3=2x-6$ ou $x+3=-(2x-6)$ . La première donne $x=9$ , la seconde $3x=3$ , $x=1$ . Contrôles : $|12|=2\times|6|$ et $|4|=2\times|-2|$ . $S=\{1\,;9\}$ . Ce sont les réels dont la distance à $-3$ est le double de la distance à 3.

Exercice 12 : Inéquations et distances

Moyen

Résoudre $|x-0{,}8|\lt 1{,}2$ .
Résoudre $|x+6|\geq3{,}5$ .
Traduire par une valeur absolue, puis par un intervalle : « $x$ est à une distance au plus égale à $0{,}25$ de $-1$ ».
Résoudre $2\leq|x+1|\leq5$ .

Voir le corrigé

Centre $0{,}8$ , rayon $1{,}2$ , inégalité stricte : $0{,}8-1{,}2\lt x\lt 0{,}8+1{,}2$ , soit $x\in\mathopen{]}-0{,}4\,;2\mathclose{[}$ .
$|x+6|=|x-(-6)|$ : les réels à distance au moins $3{,}5$ de $-6$ . Donc $x\leq-9{,}5$ ou $x\geq-2{,}5$ : $S=\mathopen{]}-\infty\,;-9{,}5]\cup[-2{,}5\,;+\infty\mathclose{[}$ . Test : le centre $-6$ n'est pas solution, puisque $|0|=0\lt 3{,}5$ .
$|x-(-1)|\leq0{,}25$ , soit $|x+1|\leq0{,}25$ , soit $x\in[-1{,}25\,;-0{,}75]$ .
La double condition est une intersection. $|x+1|\leq5\iff x\in[-6\,;4]$ , et $|x+1|\geq2\iff x\in\mathopen{]}-\infty\,;-3]\cup[1\,;+\infty\mathclose{[}$ . L'intersection est $S=[-6\,;-3]\cup[1\,;4].$ Ce sont les réels dont la distance à $-1$ est comprise entre 2 et 5 : deux segments symétriques par rapport à $-1$ .

Exercice 13 : Une expression à écrire selon les valeurs de x

Difficile

Pour tout réel

x

, on pose

C(x)=|2x-6|-|x+2|

Étudier le signe de $2x-6$ et de $x+2$ selon les valeurs de $x$ .
Écrire $C(x)$ sans valeur absolue sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ , sur $[-2\,;3\mathclose{[}$ et sur $[3\,;+\infty\mathclose{[}$ .
Résoudre $C(x)=0$ .
Résoudre $C(x)=10$ .

Indication

Sur chaque intervalle, une solution trouvée n'est acceptée que si elle appartient à cet intervalle.

Voir le corrigé

$2x-6$ s'annule en 3 et $x+2$ en $-2$ ; ce sont des expressions affines de coefficient positif.
$x$ $-\infty$ $-2$ $3$ $+\infty$
$2x-6$ $-$ $-$ $0$ $+$
$x+2$ $-$ $0$ $+$ $+$
- Si $x\lt -2$ : $C(x)=(6-2x)-(-x-2)=8-x$ .
- Si $-2\leq x\lt 3$ : $C(x)=(6-2x)-(x+2)=4-3x$ .
- Si $x\geq3$ : $C(x)=(2x-6)-(x+2)=x-8$ .
Contrôle avec $x=0$ : $|-6|-|2|=4$ et $4-3\times0=4$ .
Sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ : $8-x=0$ donne $x=8$ , qui n'est pas dans l'intervalle, rejeté. Sur $[-2\,;3\mathclose{[}$ : $4-3x=0$ donne $x=\dfrac43$ , accepté. Sur $[3\,;+\infty\mathclose{[}$ : $x-8=0$ donne $x=8$ , accepté. $S=\left\{\dfrac43\,;8\right\}$ . Contrôle : $C(8)=|10|-|10|=0$ .
Sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ : $8-x=10$ donne $x=-2$ , qui n'appartient pas à cet intervalle ouvert en $-2$ , rejeté ici. Sur $[-2\,;3\mathclose{[}$ : $4-3x=10$ donne $x=-2$ , accepté. Sur $[3\,;+\infty\mathclose{[}$ : $x-8=10$ donne $x=18$ , accepté. $S=\{-2\,;18\}$ . Contrôles : $C(-2)=|-10|-|0|=10$ et $C(18)=30-20=10$ . La valeur $-2$ n'est comptée qu'une fois, dans l'intervalle qui la contient.

Intervalles et valeurs approchées

Exercice 14 : Intervalles, centre et rayon

Facile

Écrire à l'aide d'intervalles : $-2\lt x\leq7$ ; $x\geq-3$ et $x\lt \dfrac12$ ; $x\lt 0$ ou $x\geq4$ .
Soient $I=[-6\,;1\mathclose{[}$ et $J=\mathopen{]}-2\,;5]$ . Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$ .
Donner le centre, le rayon et l'amplitude de $K=[-3{,}2\,;1{,}4]$ , puis écrire $x\in K$ avec une valeur absolue.
Déterminer l'intervalle ouvert de centre $2{,}5$ et d'amplitude 7.

Voir le corrigé

$x\in\mathopen{]}-2\,;7]$ ; $x\in\left[-3\,;\dfrac12\right[$ (le « et » donne une intersection) ; $x\in\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}\cup[4\,;+\infty\mathclose{[}$ (le « ou » donne une réunion).
Les réels communs vérifient $-6\leq x\lt 1$ et $-2\lt x\leq5$ , soit $-2\lt x\lt 1$ : $I\cap J=\mathopen{]}-2\,;1\mathclose{[}$ . Les intervalles se chevauchent, donc $I\cup J=[-6\,;5]$ ; le réel 1, exclu de $I$ , appartient à $J$ .
Centre $c=\dfrac{-3{,}2+1{,}4}{2}=-0{,}9$ , rayon $r=\dfrac{1{,}4-(-3{,}2)}{2}=2{,}3$ , amplitude $4{,}6$ . Donc $x\in K\iff|x+0{,}9|\leq2{,}3$ . Contrôle : $-0{,}9-2{,}3=-3{,}2$ et $-0{,}9+2{,}3=1{,}4$ .
Le rayon est la moitié de l'amplitude, $3{,}5$ . L'intervalle est $\mathopen{]}2{,}5-3{,}5\,;2{,}5+3{,}5\mathclose{[}=\mathopen{]}-1\,;6\mathclose{[}$ , c'est-à-dire l'ensemble des $x$ tels que $|x-2{,}5|\lt 3{,}5$ .

Exercice 15 : Approximations décimales par défaut et par excès

Moyen

On considère

q=\dfrac{23}{9}

Donner les approximations décimales de $q$ à $10^{-2}$ près par défaut et par excès, puis l'arrondi de $q$ au centième.
Même question pour $-q$ à $10^{-1}$ près.
Montrer que $2{,}555$ est une valeur approchée de $q$ à $10^{-3}$ près. Est-elle par défaut ou par excès ?
$2{,}6$ est-il une valeur approchée de $q$ à $0{,}05$ près ?

Voir le corrigé

La division de 23 par 9 donne

q=2{,}555\ldots

, le chiffre 5 se répétant indéfiniment.

$2{,}55\leq q\lt 2{,}56$ : approximation par défaut $2{,}55$ , par excès $2{,}56$ . Le chiffre des millièmes est 5 et il est suivi d'autres 5, donc $q\gt 2{,}555$ , milieu des deux bornes : l'arrondi au centième est $2{,}56$ .
On a $2{,}5\lt q\lt 2{,}6$ ; en multipliant par $-1$ , le sens change : $-2{,}6\lt -q\lt -2{,}5$ , donc $-2{,}6\leq-q\lt -2{,}5$ . Par défaut : $-2{,}6$ ; par excès : $-2{,}5$ . Comme $-q\approx-2{,}556$ est plus proche de $-2{,}6$ , l'arrondi au dixième est $-2{,}6$ .
$q-2{,}555=\dfrac{23}{9}-\dfrac{511}{200}=\dfrac{4\,600-4\,599}{1\,800}=\dfrac{1}{1\,800}$ . Donc $0\lt q-2{,}555\leq10^{-3}$ : $2{,}555$ est une valeur approchée de $q$ à $10^{-3}$ près, par défaut puisque $2{,}555\lt q$ .
$2{,}6-q=\dfrac{117}{45}-\dfrac{115}{45}=\dfrac{2}{45}\approx0{,}044\leq0{,}05$ . Oui, $2{,}6$ est une valeur approchée de $q$ à $0{,}05$ près, par excès.

Exercice 16 : Précision d’un résultat calculé

Difficile

On donne

3{,}741\lt \sqrt{14}\lt 3{,}742

et on pose

A=\dfrac{1}{\sqrt{14}-3}

Encadrer $\sqrt{14}-3$ , puis en déduire un premier encadrement de $A$ et son amplitude (bornes arrondies vers l'extérieur à $10^{-5}$ ).
Montrer que $A=\dfrac{\sqrt{14}+3}{5}$ .
En déduire un second encadrement de $A$ et son amplitude.
Donner l'approximation décimale de $A$ à $10^{-3}$ près par défaut. Lequel des deux encadrements permet de l'affirmer ?

Indication

Question 2 : multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée

\sqrt{14}+3

Voir le corrigé

En retranchant 3 : $0{,}741\lt \sqrt{14}-3\lt 0{,}742$ . Les bornes sont strictement positives, donc en passant aux inverses $\dfrac{1}{0{,}742}\lt A\lt \dfrac{1}{0{,}741}$ . Or $\dfrac{1}{0{,}742}=1{,}347708\ldots$ et $\dfrac{1}{0{,}741}=1{,}349527\ldots$ , d'où $1{,}34770\lt A\lt 1{,}34953$ , d'amplitude environ $0{,}0018$ .
$(\sqrt{14}-3)(\sqrt{14}+3)=14-9=5$ , donc $A=\dfrac{\sqrt{14}+3}{(\sqrt{14}-3)(\sqrt{14}+3)}=\dfrac{\sqrt{14}+3}{5}$ .
En ajoutant 3 : $6{,}741\lt \sqrt{14}+3\lt 6{,}742$ , puis en divisant par $5\gt 0$ : $1{,}3482\lt A\lt 1{,}3484,$ d'amplitude $0{,}0002$ , environ neuf fois plus petite. Diviser par 5 réduit l'incertitude sur $\sqrt{14}$ , alors que passer à l'inverse d'un nombre proche de $0{,}74$ l'amplifie.
Le second encadrement donne $1{,}348\lt 1{,}3482\lt A\lt 1{,}3484\lt 1{,}349$ , donc l'approximation décimale de $A$ à $10^{-3}$ près par défaut est $1{,}348$ . Le premier ne permet pas de conclure : l'intervalle $\mathopen{]}1{,}34770\,;1{,}34953\mathclose{[}$ contient $1{,}348$ , et $A$ pourrait a priori être inférieur à $1{,}348$ (approximation $1{,}347$ ) ou supérieur (approximation $1{,}348$ ou $1{,}349$ ).

Questions flash avant le devoir

Sans calculatrice, une seule bonne réponse par question.

Question 1 : Multiplier par un négatif

Flash

x\lt y

, alors :

$-3x\lt -3y$
$-3x\gt -3y$
$x-3\gt y-3$
$3-x\lt 3-y$

Voir le corrigé

Réponse B : multiplier par

-3\lt 0

change le sens. Ajouter

-3

le conserve (C est fausse), et

3-x\gt 3-y

puisque

-x\gt -y

(D est fausse).

Question 2 : Encadrer un inverse

Flash

4\leq a\leq5

, alors

\dfrac1a

appartient à :

$[4\,;5]$
$\left[\dfrac15\,;\dfrac14\right]$
$[-5\,;-4]$
$\left[\dfrac14\,;5\right]$

Voir le corrigé

Réponse B. Les bornes 4 et 5 sont strictement positives : en passant aux inverses, l'ordre change, donc

\dfrac15\leq\dfrac1a\leq\dfrac14

. La réponse C confond inverse et opposé.

Question 3 : Valeur absolue et intervalle

Flash

|x+2|\leq4

équivaut à :

$x\in[-2\,;6]$
$x\in[-6\,;2]$
$x\leq2$
$x\in\mathopen{]}-6\,;2\mathclose{[}$

Voir le corrigé

Réponse B.

|x+2|=|x-(-2)|

: centre

-2

, rayon 4, inégalité large, donc

[-2-4\,;-2+4]=[-6\,;2]

. A se trompe de centre ; D exclut à tort les bornes.

Question 4 : Centre et rayon

Flash

L'intervalle

[-1\,;7]

a pour centre et pour rayon :

3 et 4
4 et 3
3 et 8
4 et 8

Voir le corrigé

Réponse A : centre

\frac{-1+7}{2}=3

, rayon

\frac{7-(-1)}{2}=4

. Le nombre 8 est l'amplitude, le double du rayon.

Question 5 : Approximation d’un négatif

Flash

L'approximation décimale par défaut à

10^{-1}

près de

-1{,}27

est :

$-1{,}2$
$-1{,}3$
$-1{,}27$
$-1{,}25$

Voir le corrigé

Réponse B :

-1{,}3\leq-1{,}27\lt -1{,}2

. « Par défaut » désigne la borne inférieure, qui pour un négatif est la plus éloignée de 0. La réponse A est l'approximation par excès.

Problème de synthèse type devoir surveillé

Problème : deux nombres construits avec racine de 6

Type devoir

Durée conseillée : 1 h. Barème sur 20 points. Calculatrice non autorisée. On admet que

\sqrt6

est irrationnel.

On pose

a=\sqrt6-2

b=\sqrt6+2

(2 points) Calculer $a+b$ et $ab$ . Donner le plus petit ensemble parmi $\mathbb N$ , $\mathbb Z$ , $\mathbb D$ , $\mathbb Q$ et $\mathbb R$ qui contient $ab$ .
(2 points) Démontrer que $a$ et $a+b$ sont irrationnels.
(3 points) En comparant des carrés, montrer que $2{,}4\lt \sqrt6\lt 2{,}5$ . En déduire un encadrement de $a$ et un encadrement de $b$ .
(3 points) Justifier que $a=\dfrac2b$ . En déduire que $\dfrac49\lt a\lt \dfrac{5}{11}$ , puis comparer l'amplitude de cet encadrement à celle de la question 3.
(3 points) Montrer que $a^2\lt a\lt \sqrt a$ .
(2 points) Écrire sans valeur absolue $E=|\sqrt6-2{,}5|+|2-\sqrt6|$ , puis donner le plus petit ensemble de nombres contenant $E$ .
(5 points) On note $I=[a\,;b]$ .
1. Donner le centre, le rayon et l'amplitude de $I$ , puis traduire $x\in I$ par une valeur absolue.
2. Comparer $\sqrt6$ avec $2{,}44$ et $2{,}45$ . En déduire les approximations décimales par défaut de $a$ et de $b$ à $10^{-2}$ près.
3. Les réels $0{,}45$ et $4{,}45$ appartiennent-ils à $I$ ?

Indication

Question 2 : raisonner par l'absurde en isolant

\sqrt6

. Question 5 :

0\lt a\lt 1

; étudier le signe de

a-a^2=a(1-a)

Voir le corrigé

$a+b=2\sqrt6$ et, avec $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ , $ab=6-4=2$ . Le nombre $ab=2$ est un entier naturel : plus petit ensemble $\mathbb N$ .
Supposons $a$ rationnel. Alors $\sqrt6=a+2$ serait la somme de deux rationnels, donc rationnel : contradiction avec l'irrationalité admise de $\sqrt6$ . Donc $a$ est irrationnel. De même, si $a+b=2\sqrt6$ était rationnel, égal à $r$ , alors $\sqrt6=\dfrac r2$ serait rationnel, ce qui est faux : $a+b$ est irrationnel, et son plus petit ensemble est $\mathbb R$ .
$2{,}4^2=5{,}76\lt 6\lt 6{,}25=2{,}5^2$ . Les nombres $2{,}4$ , $\sqrt6$ et $2{,}5$ sont positifs, ils sont rangés comme leurs carrés : $2{,}4\lt \sqrt6\lt 2{,}5$ . En retranchant 2 : $0{,}4\lt a\lt 0{,}5$ ; en ajoutant 2 : $4{,}4\lt b\lt 4{,}5$ . L'encadrement de $a$ a pour amplitude $0{,}1$ .
D'après la question 1, $ab=2$ et $b\neq0$ , donc $a=\dfrac2b$ . Les bornes $4{,}4$ et $4{,}5$ sont strictement positives : $\dfrac{1}{4{,}5}\lt \dfrac1b\lt \dfrac{1}{4{,}4}$ , puis, en multipliant par $2\gt 0$ , $\dfrac{2}{4{,}5}\lt a\lt \dfrac{2}{4{,}4}$ , soit $\dfrac49\lt a\lt \dfrac{5}{11}$ . Amplitude : $\dfrac{5}{11}-\dfrac49=\dfrac{45-44}{99}=\dfrac{1}{99}\approx0{,}0101$ , environ dix fois plus petite que $0{,}1$ .
D'après la question 3, $0\lt a\lt 1$ . Alors $a-a^2=a(1-a)$ est le produit de deux nombres strictement positifs, donc $a^2\lt a$ . Ensuite $0\lt a\lt 1$ donne $0\lt \sqrt a\lt 1$ (racines de positifs), et $\sqrt a-a=\sqrt a\,(1-\sqrt a)\gt 0$ , donc $a\lt \sqrt a$ . Conclusion : $a^2\lt a\lt \sqrt a$ .
D'après la question 3, $\sqrt6-2{,}5\lt 0$ et $2-\sqrt6\lt 0$ . Donc $E=(2{,}5-\sqrt6)+(\sqrt6-2)=0{,}5$ . Le nombre $E=\dfrac12=\dfrac{5}{10}$ est décimal non entier : plus petit ensemble $\mathbb D$ .
1. Centre $\dfrac{a+b}{2}=\sqrt6$ , rayon $\dfrac{b-a}{2}=\dfrac42=2$ , amplitude 4. Donc $x\in I\iff|x-\sqrt6|\leq2$ .
2. $2{,}44^2=5{,}9536\lt 6\lt 6{,}0025=2{,}45^2$ , donc $2{,}44\lt \sqrt6\lt 2{,}45$ (nombres positifs). Ainsi $0{,}44\lt a\lt 0{,}45$ et $4{,}44\lt b\lt 4{,}45$ : les approximations décimales par défaut à $10^{-2}$ près sont $0{,}44$ pour $a$ et $4{,}44$ pour $b$ .
3. D'après b), $a\lt 0{,}45\lt b$ , donc $0{,}45\in I$ . En revanche $b\lt 4{,}45$ , donc $4{,}45\notin I$ . Contrôle avec la valeur absolue : $|4{,}45-\sqrt6|=4{,}45-\sqrt6\gt 4{,}45-2{,}45=2$ .

Barème indicatif : 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 5 = 20 points. Dans la question 7 c), répondre « oui » sans avoir comparé

\sqrt6

2{,}45

ne rapporte rien : l'encadrement de la question 4 ne suffit pas à placer

0{,}45

par rapport à

a

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$x$	$-\infty$		$-2$		$3$		$+\infty$
$2x-6$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x+2$		$-$	$0$	$+$		$+$