Arithmétique dans N Exercices Corrigés

On cherche $k \in \mathbb{N}$ tel que $23 < 9k < 59$. $23/9 \approx 2.55$ et $59/9 \approx 6.55$. Donc $k \in \{3, 4, 5, 6\}$. Les multiples sont : $9 \times 3=27$, $9 \times 4=36$, $9 \times 5=45$, $9 \times 6=54$. Les multiples de 9 sont : $\{27, 36, 45, 54\}$.

Diviseurs de 48 : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$.

Somme des chiffres : $6 + 2 + a + 1 = 9 + a$.

1. Pour être divisible par 3, $9+a$ doit être un multiple de 3. $a \in \{0, 3, 6, 9\}$.
2. Pour être divisible par 9, $9+a$ doit être un multiple de 9. $a \in \{0, 9\}$.

Comme 4 et 3 sont des nombres premiers entre eux ($\text{PGCD}(4, 3) = 1$), un nombre multiple des deux est nécessairement multiple de leur produit $4 \times 3 = 12$. Cette propriété découle directement de la définition du PGCD.

Non, $111111$ n'est pas un nombre premier car :

• La somme de ses chiffres est $1 \times 6 = 6$, donc il est divisible par 3.
• Il est divisible par 11 (critère d'alternance).
• Il est divisible par 7 ($111111 = 7 \times 15873$).

En fait, $111111 = 111 \times 1001 = (3 \times 37) \times (7 \times 11 \times 13)$.

$1890 = 10 \times 189 = (2 \times 5) \times (3 \times 63) = 2 \times 5 \times 3 \times (9 \times 7)$.Décomposition finale : $$1890 = 2 \times 3^3 \times 5 \times 7$$.

$126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$. Donc $\sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.$4410 = 10 \times 441 = (2 \times 5) \times 21^2$. Donc $\sqrt{4410} = 21\sqrt{10}$.

Le produit $(2n+1)(2n+3)$ est le produit de deux nombres impairs, donc il est impair.$A = \text{Impair} + 7$ (Impair). La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair.Conclusion : $A$ est pair.

On calcule $\sqrt{401} \approx 20,02$. On teste tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 19.Tests de divisibilité : 401 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.Conclusion : Le nombre 401 est premier.

On cherche $\text{PGCD}(150, 180)$. Décompositions en facteurs premiers : $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.Le PGCD se calcule en prenant les facteurs communs avec leurs plus petites puissances : $\text{PGCD} = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$.Réponse : Le nombre maximum de groupes est 30.

En utilisant la relation $\text{PPCM}(x, y) = \frac{x \times y}{\text{PGCD}(x, y)}$ :

1. $\text{PPCM}(75, 325) = \frac{75 \times 325}{25} = \mathbf{975}$
2. $\text{PPCM}(330, 420) = \frac{330 \times 420}{30} = \mathbf{4620}$
3. $\text{PPCM}(214, 816) = \frac{214 \times 816}{2} = \mathbf{87312}$
4. $\text{PPCM}(575, 1275) = \frac{575 \times 1275}{25} = \mathbf{29325}$
5. $\text{PPCM}(132, 666) = \frac{132 \times 666}{6} = \mathbf{14652}$

Application de l'algorithme d'Euclide par divisions successives :

• $510 = 240 \times 2 + 30$
• $240 = 30 \times 8 + 0$

Le dernier reste non nul est 30. Donc $\text{PGCD}(510, 240) = 30$.

La relation fondamentale stipule que : $\text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b$.Donc : $\text{PPCM}(132, 666) = \frac{132 \times 666}{6} = \frac{87912}{6} = 14652$.

Décompositions : $720 = 2^4 \times 3^2 \times 5$ et $1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.Donc $\text{PGCD}(720, 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.Fraction irréductible : $\frac{720 \div 180}{1260 \div 180} = \frac{4}{7}$.

On cherche $\text{PGCD}(420, 560)$. Application de l'algorithme d'Euclide :

• $560 = 420 \times 1 + 140$
• $420 = 140 \times 3 + 0$

Le $\text{PGCD}(420, 560) = 140$.Réponse : La dimension maximale du carreau est 140 cm de côté.

On utilise l'identité remarquable $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.$$1000000001 = 10^9 + 1 = (10^3)^3 + 1^3$$En posant $a=1000$ et $b=1$, on obtient :$$(1000+1)(1000^2 - 1000 \times 1 + 1^2) = 1001 \times 999001$$Puisque $1000000001$ est le produit de deux nombres strictement supérieurs à 1, il n'est pas premier.

Utilisation de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :$$N = 3^{20} - 1 = (3^{10})^2 - 1^2 = (3^{10} - 1)(3^{10} + 1)$$Calculons les valeurs : $3^{10} = 59049$, donc $(3^{10} - 1) = 59048$ et $(3^{10} + 1) = 59050$.Puisque les deux facteurs sont strictement supérieurs à 1, $N$ n'est pas premier.

Si $n$ est impair, on peut l'écrire sous la forme $n = 2k+1$ où $k \in \mathbb{N}$.Calculons $n^2 - 1$ :$$n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)$$Puisque $k^2+k$ est un entier, $n^2 - 1$ est un multiple de 4. CQFD.

De l'Exercice 21, on sait que $n^2 - 1 = 4k(k+1)$ pour $n = 2k+1$.Observation clé : Le produit $k(k+1)$ est toujours pair, car c'est le produit de deux entiers consécutifs (l'un est nécessairement pair).On peut donc écrire $k(k+1) = 2m$, où $m \in \mathbb{N}$.Par substitution : $$n^2 - 1 = 4(2m) = 8m$$Puisque $m$ est un entier, $n^2 - 1$ est un multiple de 8. CQFD.

Soient $n$ et $n+1$ deux entiers consécutifs quelconques.Leur somme est : $S = n + (n+1) = 2n + 1$.Par définition, tout nombre de la forme $2k+1$ (avec $k \in \mathbb{N}$) est impair.Conclusion : La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire. CQFD.

Soit $P = n(n+1)(n+2)$ le produit de trois entiers consécutifs.Divisibilité par 2 : Dans toute suite de deux entiers consécutifs ($n$ et $n+1$), au moins un est pair. Donc $P$ contient un facteur pair, ce qui garantit la divisibilité par 2.Divisibilité par 3 : Dans toute suite de trois entiers consécutifs ($n$, $n+1$, $n+2$), exactement un des trois est un multiple de 3. Donc $P$ est divisible par 3.Conclusion : Puisque $\text{PGCD}(2, 3) = 1$, un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est nécessairement divisible par leur produit $2 \times 3 = 6$. CQFD.

Posons $A = 499999$. Observons que $999999 = 2 \times 500000 - 1 = 2(A+1) - 1 = 2A + 1$.Substituons dans l'expression de $E$ :$$E = A^2 + (2A + 1) = A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$$Or, $A + 1 = 499999 + 1 = 500000 = 5 \times 10^5$.Donc : $$E = (5 \times 10^5)^2 = 25 \times (10^5)^2 = 25 \times 10^{10}$$Puisque $10^{10} = 10^5 \times 10^5$, on peut écrire $E = 25 \times 10^5 \times 10^5$.Conclusion : $E$ est clairement un multiple de $10^5$. CQFD.