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Calcul vectoriel dans le plan tronc commun : 18 exercices corrigés

Type
Exercices corrigés
Exercices
18

Simplifier une somme avec la relation de Chasles, placer un point défini par une égalité vectorielle, démontrer un alignement, un parallélisme ou un milieu : cette série de 18 exercices corrigés couvre tout le chapitre « Calcul vectoriel dans le plan » du tronc commun scientifique et technologique, dans l'ordre du cours et résumé de calcul vectoriel.

Accès direct : Chasles, alignement et parallélisme, milieu d'un segment, questions flash, problème type devoir surveillé noté sur 20. Chaque corrigé nomme la règle utilisée et vérifie sa condition, comme sur une copie de devoir. Niveaux : 5 exercices faciles, 10 moyens et 3 difficiles, puis cinq questions flash et un devoir d'une heure qui associe les vecteurs et l'arithmétique dans ℕ, comme beaucoup de devoirs du premier semestre.

Sommaire8 parties

Égalité de vecteurs et relation de Chasles

Exercice 1 : Simplifier quatre sommes vectorielles

Facile
AA, BB, CC, DD, EE sont des points quelconques du plan. Écrire chaque vecteur sous la forme d'un seul vecteur (ou du vecteur nul).
  1. w⃗1=CB→+AC→\vec{w}_1=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}
  2. w⃗2=DE→−DB→+EA→\vec{w}_2=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA}
  3. w⃗3=EC→−ED→−BC→+BD→\vec{w}_3=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}
  4. w⃗4=3AB→−2CB→+2CA→\vec{w}_4=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}
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Méthode : remplacer −XY→-\overrightarrow{XY} par YX→\overrightarrow{YX}, réordonner pour que chaque extrémité soit l'origine du vecteur suivant, puis appliquer la relation de Chasles.
  1. La somme est commutative : w⃗1=AC→+CB→=AB→\vec{w}_1=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.
  2. −DB→=BD→-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}, donc w⃗2=BD→+DE→+EA→=BA→\vec{w}_2=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{BA}.
  3. On regroupe les vecteurs de même origine : EC→−ED→=DE→+EC→=DC→\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DC} et BD→−BC→=CB→+BD→=CD→\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}. Donc w⃗3=DC→+CD→=DD→=0⃗\vec{w}_3=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DD}=\vec{0}.
  4. −2CB→+2CA→=2(BC→+CA→)=2BA→=−2AB→-2\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}=2\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=2\overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AB}. Donc w⃗4=3AB→−2AB→=AB→\vec{w}_4=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}. Contrôle avec C=AC=A : 3AB→−2AB→+0⃗=AB→3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}.

Exercice 2 : Égalités vraies pour tous points

Moyen
  1. Montrer que, pour tous points AA, BB, CC, DD : AB→−DC→=AD→+CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.
  2. Montrer que, pour tous points MM, AA, BB, CC, DD : MA→−MB→+MC→−MD→=BA→+DC→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}. Le premier membre dépend-il de MM ?
  3. AA, BB, CC sont fixés. Montrer que le vecteur MA→+2MB→−3MC→\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} ne dépend pas du point MM, et l'exprimer en fonction de CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB}.
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  1. On étudie la différence des deux membres : AB→−DC→−AD→−CB→=AB→+CD→+DA→+BC→=AB→+BC→+CD→+DA→=AA→=0⃗.\begin{aligned}&\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\\&=\overrightarrow{AA}=\vec{0}.\end{aligned} La différence est nulle, l'égalité est vraie pour tous points.
  2. Une différence de deux vecteurs de même origine ne dépend pas de cette origine : MA→−MB→=BM→+MA→=BA→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA} et MC→−MD→=DM→+MC→=DC→\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{DC}. La somme vaut BA→+DC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}, qui ne contient pas MM : le premier membre ne dépend pas de MM.
  3. On introduit CC dans les deux premiers vecteurs avec Chasles : MA→=MC→+CA→\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA} et MB→=MC→+CB→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}. Alors MA→+2MB→−3MC→=(1+2−3)MC→+CA→+2CB→=CA→+2CB→.\begin{aligned}&\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\\&=(1+2-3)\overrightarrow{MC}\\&\quad+\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\\&=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}.\end{aligned} Le résultat ne contient plus MM. C'est la somme des coefficients, 1+2−3=01+2-3=0, qui fait disparaître MC→\overrightarrow{MC} : avec une somme non nulle, le vecteur dépendrait de MM.

Exercice 3 : Symétrique d’un sommet et parallélogramme

Moyen
ABCABC est un triangle et II le milieu de [AB][AB]. Le point DD est le symétrique de CC par rapport à II, et EE est le point tel que CE→=AB→\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}.
  1. Traduire les deux informations sur II par des égalités vectorielles.
  2. Montrer que AC→=DB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}. En déduire la nature du quadrilatère ACBDACBD.
  3. Montrer que BB est le milieu de [DE][DE].
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  1. II est le milieu de [AB][AB] : AI→=IB→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}. DD est le symétrique de CC par rapport à II, donc II est le milieu de [CD][CD] : CI→=ID→\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{ID}, ce qui s'écrit aussi IC→=DI→\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{DI}.
  2. Par Chasles, puis avec les deux égalités de la question 1 : AC→=AI→+IC→=IB→+DI→=DI→+IB→=DB→.\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\\&=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{DI}\\&=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DB}.\end{aligned} L'égalité AC→=DB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}, lue sur les points AA, CC, BB, DD, signifie que ACBDACBD est un parallélogramme. Il n'est pas aplati, car CC n'est pas sur la droite (AB)(AB). On retrouve la propriété du collège : un quadrilatère dont les diagonales [AB][AB] et [CD][CD] ont le même milieu est un parallélogramme.
  3. On montre que BD→+BE→=0⃗\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}=\vec{0}. D'après la question 2, BD→=−DB→=−AC→=CA→\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}. Ensuite BE→=BC→+CE→=BC→+AB→=AC→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}. Donc BD→+BE→=CA→+AC→=0⃗\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0} : BB est le milieu de [DE][DE].

Produit d’un vecteur par un réel

Exercice 4 : Construire quatre points dans un triangle

Facile
ABCABC est un triangle.
  1. Placer le point DD tel que BD→=32BC→\overrightarrow{BD}=\frac32\overrightarrow{BC} et le point EE tel que AE→=−23AC→\overrightarrow{AE}=-\frac23\overrightarrow{AC}. Décrire la position de chacun.
  2. Construire le point FF tel que CF→=CA→+CB→\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}. Quelle est la nature du quadrilatère CAFBCAFB ?
  3. Construire le point GG tel que AG→=AB→−12AC→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}.
  4. Exprimer BF→\overrightarrow{BF} et BG→\overrightarrow{BG} en fonction de AC→\overrightarrow{AC}. En déduire que GG est le milieu de [BF][BF].
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  1. 32>0\frac32\gt 0 : DD est sur la demi-droite [BC)[BC), avec BD=32BCBD=\frac32BC, donc au-delà de CC. Plus précisément CD→=CB→+BD→=−BC→+32BC→=12BC→\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BC}+\frac32\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{BC} : CD=12BCCD=\frac12BC. Ensuite −23<0-\frac23\lt 0 : EE est sur la droite (AC)(AC), de l'autre côté de AA par rapport à CC, avec AE=23ACAE=\frac23AC.
  2. Les vecteurs CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} ont la même origine CC. D'après la règle du parallélogramme, leur somme est CF→\overrightarrow{CF}, où FF est le quatrième sommet du parallélogramme CAFBCAFB. On construit FF en reportant CB→\overrightarrow{CB} à partir de AA : AF→=CB→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CB}. En effet, CF→=CA→+AF→\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF} par Chasles, et cette somme vaut CA→+CB→\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} exactement quand AF→=CB→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CB}. L'égalité AF→=CB→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CB}, lue sur AA, FF, BB, CC, montre que AFBCAFBC, c'est-à-dire CAFBCAFB, est un parallélogramme. Il n'est pas aplati, car AA, BB, CC ne sont pas alignés.
  3. AG→=AB→+BG→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG} avec BG→=−12AC→\overrightarrow{BG}=-\frac12\overrightarrow{AC} : à partir de BB, on reporte la moitié de AC→\overrightarrow{AC} dans le sens contraire. C'est la construction d'un vecteur de la forme au⃗+bv⃗a\vec{u}+b\vec{v}, avec u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}, v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC}, a=1a=1 et b=−12b=-\frac12.
  4. AF→=CB→=CA→+AB→=AB→−AC→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}, donc BF→=BA→+AF→=−AB→+AB→−AC→=−AC→\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}. Par construction, BG→=−12AC→\overrightarrow{BG}=-\frac12\overrightarrow{AC}. Ainsi BG→=12BF→\overrightarrow{BG}=\frac12\overrightarrow{BF} : GG est le milieu de [BF][BF].
    Triangle ABC ; D sur la demi-droite [BC) au-delà de C, vecteur BD égal à 3/2 fois le vecteur BC ; E sur la droite (AC), de l'autre côté de A, vecteur AE égal à −2/3 fois le vecteur AC ; F quatrième sommet du parallélogramme CAFB ; G milieu de [BF], vecteur BG égal à −1/2 fois le vecteur AC
    DD dépasse CC, EE est de l'autre côté de AA ; CAFBCAFB est un parallélogramme et GG est le milieu de [BF][BF].

Exercice 5 : Réduire et résoudre des équations vectorielles

Facile
u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs du plan.
  1. Réduire a⃗=12(4u⃗−6v⃗)+3(v⃗−u⃗)\vec{a}=\frac12(4\vec{u}-6\vec{v})+3(\vec{v}-\vec{u}).
  2. Réduire b⃗=23(3u⃗−32v⃗)−14(8u⃗−4v⃗)\vec{b}=\frac23\left(3\vec{u}-\frac32\vec{v}\right)-\frac14(8\vec{u}-4\vec{v}).
  3. Déterminer le vecteur x⃗\vec{x} tel que 2x⃗−3u⃗=5x⃗+v⃗2\vec{x}-3\vec{u}=5\vec{x}+\vec{v}.
  4. Déterminer le vecteur y⃗\vec{y} tel que 4(y⃗−u⃗)=y⃗+2(v⃗−y⃗)4(\vec{y}-\vec{u})=\vec{y}+2(\vec{v}-\vec{y}).
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On applique les règles k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v} et (k+k′)u⃗=ku⃗+k′u⃗(k+k^{\prime})\vec{u}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}, comme pour une expression littérale.
  1. a⃗=2u⃗−3v⃗+3v⃗−3u⃗=−u⃗\vec{a}=2\vec{u}-3\vec{v}+3\vec{v}-3\vec{u}=-\vec{u}.
  2. b⃗=2u⃗−v⃗−2u⃗+v⃗=0⃗\vec{b}=2\vec{u}-\vec{v}-2\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}.
  3. On regroupe les termes en x⃗\vec{x} dans un membre : 2x⃗−5x⃗=v⃗+3u⃗2\vec{x}-5\vec{x}=\vec{v}+3\vec{u}, soit −3x⃗=3u⃗+v⃗-3\vec{x}=3\vec{u}+\vec{v}. En multipliant par −13-\frac13 : x⃗=−u⃗−13v⃗\vec{x}=-\vec{u}-\frac13\vec{v}. Vérification : 2x⃗−3u⃗=−5u⃗−23v⃗2\vec{x}-3\vec{u}=-5\vec{u}-\frac23\vec{v} et 5x⃗+v⃗=−5u⃗−53v⃗+v⃗=−5u⃗−23v⃗5\vec{x}+\vec{v}=-5\vec{u}-\frac53\vec{v}+\vec{v}=-5\vec{u}-\frac23\vec{v}.
  4. On développe : 4y⃗−4u⃗=y⃗+2v⃗−2y⃗=−y⃗+2v⃗4\vec{y}-4\vec{u}=\vec{y}+2\vec{v}-2\vec{y}=-\vec{y}+2\vec{v}. Donc 5y⃗=4u⃗+2v⃗5\vec{y}=4\vec{u}+2\vec{v} et y⃗=45u⃗+25v⃗\vec{y}=\frac45\vec{u}+\frac25\vec{v}.

Exercice 6 : Points définis par une relation entre deux points

Moyen
AA et BB sont deux points tels que AB=5AB=5 cm.
  1. Montrer qu'il existe un unique point PP tel que 3PA→+2PB→=0⃗3\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}=\vec{0}, exprimer AP→\overrightarrow{AP} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et placer PP.
  2. Même question pour le point QQ tel que QA→−4QB→=0⃗\overrightarrow{QA}-4\overrightarrow{QB}=\vec{0}.
  3. Donner les abscisses de PP et de QQ dans le repère (A,B)(A,B) de la droite (AB)(AB).
  4. Existe-t-il un point RR tel que 2RA→−2RB→=0⃗2\overrightarrow{RA}-2\overrightarrow{RB}=\vec{0} ?
  5. Soient aa et bb deux réels avec a+b≠0a+b\neq0. Montrer qu'il existe un unique point MM tel que aMA→+bMB→=0⃗a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=\vec{0}, et que AM→=ba+bAB→\overrightarrow{AM}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}.
Indication
Écrire PB→=PA→+AB→\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB} pour ne garder qu'un seul vecteur inconnu, PA→\overrightarrow{PA}, puis isoler ce vecteur.
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  1. On introduit AA dans PB→\overrightarrow{PB} : 3PA→+2(PA→+AB→)=0⃗  ⟺  5PA→=−2AB→  ⟺  AP→=25AB→.\begin{aligned}&3\overrightarrow{PA}+2\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\\&\iff5\overrightarrow{PA}=-2\overrightarrow{AB}\\&\iff\overrightarrow{AP}=\frac25\overrightarrow{AB}.\end{aligned} Les équivalences montrent que la relation caractérise PP, et il existe un seul point PP tel que AP→\overrightarrow{AP} soit égal à un vecteur donné. PP est sur [AB][AB], à 25×5=2\frac25\times5=2 cm de AA, donc à 3 cm de BB : il est plus proche du point qui a le plus grand coefficient.
  2. QA→−4(QA→+AB→)=0⃗  ⟺  −3QA→=4AB→  ⟺  AQ→=43AB→\overrightarrow{QA}-4\left(\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\iff-3\overrightarrow{QA}=4\overrightarrow{AB}\iff\overrightarrow{AQ}=\frac43\overrightarrow{AB}. Le point QQ est unique ; il est sur la demi-droite [AB)[AB), au-delà de BB, avec AQ=203AQ=\frac{20}{3} cm et BQ=53BQ=\frac53 cm.
  3. AP→=25AB→\overrightarrow{AP}=\frac25\overrightarrow{AB} et AQ→=43AB→\overrightarrow{AQ}=\frac43\overrightarrow{AB} : dans le repère (A,B)(A,B), PP a pour abscisse 25\frac25 (point du segment [AB][AB]) et QQ l'abscisse 43\frac43 (au-delà de BB).
  4. 2RA→−2RB→=2(BR→+RA→)=2BA→2\overrightarrow{RA}-2\overrightarrow{RB}=2\left(\overrightarrow{BR}+\overrightarrow{RA}\right)=2\overrightarrow{BA}. Ce vecteur ne dépend pas de RR et il n'est pas nul, puisque A≠BA\neq B. Aucun point RR ne convient.
  5. aMA→+b(MA→+AB→)=0⃗  ⟺  (a+b)MA→=−bAB→a\overrightarrow{MA}+b\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\iff(a+b)\overrightarrow{MA}=-b\overrightarrow{AB}. Comme a+b≠0a+b\neq0, on peut multiplier par 1a+b\dfrac{1}{a+b} : AM→=ba+bAB→\overrightarrow{AM}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}, ce qui définit un unique point. Contrôle : a=3a=3, b=2b=2 donne 25\frac25 (question 1) ; a=1a=1, b=−4b=-4 donne −4−3=43\frac{-4}{-3}=\frac43 (question 2). La question 4 est le cas a+b=0a+b=0 exclu ici. On ne retient pas cette formule : on refait à chaque fois le calcul de la question 1.

Colinéarité : alignement et parallélisme

Exercice 7 : Vrai ou faux sur les vecteurs

Facile
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifier une affirmation vraie par une règle du cours, réfuter une affirmation fausse par un contre-exemple.
  1. Si AB=CDAB=CD, alors AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
  2. Si AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, alors ABCDABCD est un parallélogramme.
  3. Pour tous points AA, BB, CC : AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.
  4. Pour tout vecteur u⃗\vec{u} : ∥−2u⃗∥=2∥u⃗∥\|-2\vec{u}\|=2\|\vec{u}\|.
  5. Si AA, BB, CC sont distincts et AB→=−3AC→\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}, alors AA appartient au segment [BC][BC].
  6. Si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires, les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont confondues.
  7. Si AB→=2AC→\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}, alors CC est le milieu de [AB][AB].
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  1. Faux. Avec A≠BA\neq B, C=BC=B et D=AD=A : CD=BA=ABCD=BA=AB, mais CD→=BA→=−AB→≠AB→\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{AB}. L'égalité des longueurs ne dit rien du sens ni de la direction.
  2. Faux. Sur une droite graduée, A(0)A(0), B(1)B(1), C(3)C(3), D(4)D(4) vérifient AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, mais AB→≠DC→\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{DC} : ABCDABCD n'est pas un parallélogramme, même aplati. L'égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} caractérise le parallélogramme ABDCABDC.
  3. Faux. Avec C=AC=A et A≠BA\neq B, le premier membre vaut AB→\overrightarrow{AB} et le second BA→\overrightarrow{BA}. La formule correcte est AC→−AB→=BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}.
  4. Vrai : ∥ku⃗∥=∣k∣×∥u⃗∥\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\| et ∣−2∣=2|-2|=2.
  5. Vrai. AC→=−13AB→\overrightarrow{AC}=-\frac13\overrightarrow{AB} : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires avec l'origine commune AA, donc AA, BB, CC sont alignés. Le coefficient négatif place BB et CC de part et d'autre de AA, donc AA est entre BB et CC.
  6. Faux. Dans un parallélogramme ABCDABCD, AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, donc AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires, mais (AB)(AB) et (CD)(CD) sont deux droites parallèles distinctes.
  7. Vrai : AC→=12AB→\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{AB}, donc CC a pour abscisse 12\frac12 dans le repère (A,B)(A,B) : CC est sur [AB][AB] et AC=12ABAC=\frac12AB, c'est le milieu de [AB][AB].

Exercice 8 : Démontrer un alignement dans un triangle

Moyen
ABCABC est un triangle, EE le point tel que CE→=12AB→\overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{AB} et FF le point tel que AF→=2AC→\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}.
  1. Exprimer BE→\overrightarrow{BE} et BF→\overrightarrow{BF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. En déduire que BB, EE, FF sont alignés et préciser la position de EE.
  3. Retrouver ce résultat avec un théorème des milieux.
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  1. Par Chasles en passant par AA et CC : BE→=BA→+AC→+CE→=−AB→+AC→+12AB→=−12AB→+AC→,BF→=BA→+AF→=−AB→+2AC→.\begin{aligned}&\overrightarrow{BE}\\&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}\\&=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\&\quad+\frac12\overrightarrow{AB}\\&=-\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\\&\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}\\&=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}.\end{aligned}
  2. Les coefficients de BF→\overrightarrow{BF} sont le double de ceux de BE→\overrightarrow{BE} : BF→=2BE→\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BE}. Ces vecteurs sont colinéaires et ont l'origine BB en commun, donc BB, EE, FF sont alignés. De plus BE→=12BF→\overrightarrow{BE}=\frac12\overrightarrow{BF} : EE est le milieu de [BF][BF].
  3. Dans le triangle ABFABF, CC est le milieu de [AF][AF] puisque AF→=2AC→\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}, et la droite (CE)(CE) est parallèle à (AB)(AB) puisque CE→\overrightarrow{CE} est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB}. D'après le troisième théorème des milieux, cette droite coupe [BF][BF] en son milieu KK. La droite des milieux dans le triangle FABFAB donne CK→=12AB→=CE→\overrightarrow{CK}=\frac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}, donc K=EK=E.

Exercice 9 : Parallèles ou non : comparer des coefficients

Moyen
u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non colinéaires. Des points AA, BB, CC, DD, EE, FF vérifient AB→=3u⃗−2v⃗\overrightarrow{AB}=3\vec{u}-2\vec{v}, CD→=−32u⃗+v⃗\overrightarrow{CD}=-\frac32\vec{u}+\vec{v} et EF→=2u⃗+43v⃗\overrightarrow{EF}=2\vec{u}+\frac43\vec{v}.
  1. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles parallèles ?
  2. Les droites (AB)(AB) et (EF)(EF) sont-elles parallèles ?
  3. Partie 2 (indépendante). PQRPQR est un triangle, MM le point tel que QM→=PR→\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{PR} et NN le point tel que PN→=2PQ→\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{PQ}. Montrer que MN→=RQ→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{RQ}. En déduire que (MN)∥(QR)(MN)\parallel(QR) et la nature de MNQRMNQR.
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  1. AB→≠0⃗\overrightarrow{AB}\neq\vec{0} (sinon 3u⃗=2v⃗3\vec{u}=2\vec{v}, et u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} seraient colinéaires), et CD→=−32u⃗+v⃗=−12AB→≠0⃗\overrightarrow{CD}=-\frac32\vec{u}+\vec{v}=-\frac12\overrightarrow{AB}\neq\vec{0} : les deux droites existent. Les vecteurs sont colinéaires, donc (AB)∥(CD)(AB)\parallel(CD).
  2. On revient à la définition de la colinéarité. Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont non nuls (un vecteur nul serait colinéaire à l'autre) et AB→≠0⃗\overrightarrow{AB}\neq\vec{0} d'après la question 1 ; de même EF→≠0⃗\overrightarrow{EF}\neq\vec{0}. Il suffit donc de montrer qu'aucun réel kk ne vérifie EF→=kAB→\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{AB}. Supposons 2u⃗+43v⃗=3ku⃗−2kv⃗2\vec{u}+\frac43\vec{v}=3k\vec{u}-2k\vec{v}, c'est-à-dire (2−3k)u⃗=−(43+2k)v⃗(2-3k)\vec{u}=-\left(\frac43+2k\right)\vec{v}. Si 2−3k≠02-3k\neq0, on divise par ce réel : u⃗\vec{u} serait le produit de v⃗\vec{v} par un réel, donc colinéaire à v⃗\vec{v}, ce qui est exclu. Donc k=23k=\frac23, et l'égalité devient 0⃗=−83v⃗\vec{0}=-\frac83\vec{v}, impossible puisque v⃗≠0⃗\vec{v}\neq\vec{0}. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et EF→\overrightarrow{EF} ne sont pas colinéaires : (AB)(AB) et (EF)(EF) ne sont pas parallèles.
  3. Par Chasles en passant par QQ et PP : MN→=MQ→+QP→+PN→=−PR→−PQ→+2PQ→=PQ→−PR→=RQ→.\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PN}\\&=-\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}+2\overrightarrow{PQ}\\&=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{RQ}.\end{aligned} (la dernière égalité est RP→+PQ→=RQ→\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RQ}). Les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et QR→\overrightarrow{QR} sont colinéaires, donc (MN)∥(QR)(MN)\parallel(QR). L'égalité MN→=RQ→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{RQ}, lue sur MM, NN, QQ, RR, montre que MNQRMNQR est un parallélogramme. Il n'est pas aplati : QN→=PQ→\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{PQ} n'est pas colinéaire à QR→\overrightarrow{QR}, donc NN n'est pas sur (QR)(QR).

Exercice 10 : Trouver les erreurs d’une copie

Moyen
ABCDABCD est un parallélogramme, EE le milieu de [AB][AB] et FF le point tel que AF→=AB→−AD→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}. À la question « les points DD, EE, FF sont-ils alignés ? », un élève a écrit :
(a) DE→=DA→+AE→=AD→+12AB→\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB}. (b) DF→=DA→+AF→=AD→+AB→−AD→=AB→\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}. (c) Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc DD, EE, FF ne sont pas alignés. (d) De plus, EB→=12AB→=12DC→\overrightarrow{EB}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\overrightarrow{DC}, donc EE, BB, DD, CC sont alignés.
  1. Trouver l'erreur commune aux lignes (a) et (b), puis corriger DE→\overrightarrow{DE} et DF→\overrightarrow{DF}.
  2. Répondre correctement à la question posée et préciser la position de EE.
  3. Que prouve réellement l'égalité de la ligne (d) ?
Voir le corrigé
  1. L'élève a remplacé DA→\overrightarrow{DA} par AD→\overrightarrow{AD}, alors que DA→=−AD→\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}. Corrigé : DE→=−AD→+12AB→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB} et DF→=−AD→+AB→−AD→=AB→−2AD→\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}.
  2. 2DE→=AB→−2AD→=DF→2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DF}. Les vecteurs DE→\overrightarrow{DE} et DF→\overrightarrow{DF} sont colinéaires et ont l'origine DD en commun : DD, EE, FF sont alignés, contrairement à la conclusion (c). Comme DE→=12DF→\overrightarrow{DE}=\frac12\overrightarrow{DF}, EE est le milieu de [DF][DF].
  3. EB→\overrightarrow{EB} et DC→\overrightarrow{DC} sont colinéaires mais n'ont pas de point commun : on obtient seulement (EB)∥(DC)(EB)\parallel(DC), c'est-à-dire (AB)∥(DC)(AB)\parallel(DC), ce que l'on savait déjà. Les quatre points ne sont pas alignés, puisque DD n'est pas sur (AB)(AB).
Une erreur de signe dans Chasles change la conclusion. Pour la repérer, il suffit de relire chaque égalité avec la règle YX→=−XY→\overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY} avant de comparer les coefficients.

Exercice 11 : Décomposer dans un parallélogramme, puis aligner

Moyen
ABCDABCD est un parallélogramme. On place EE tel que BE→=12AB→\overrightarrow{BE}=\frac12\overrightarrow{AB} et FF tel que BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\frac13\overrightarrow{BC}.
  1. Exprimer AE→\overrightarrow{AE} et AF→\overrightarrow{AF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
  2. En déduire DE→\overrightarrow{DE} et DF→\overrightarrow{DF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
  3. Montrer que DD, FF, EE sont alignés et préciser la position de FF sur le segment [DE][DE].
Indication
Dans un parallélogramme ABCDABCD, BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}. Tous les vecteurs s'écrivent alors sous la forme aAB→+bAD→a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}, selon la méthode pour exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs.
Voir le corrigé
  1. AE→=AB→+BE→=32AB→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\frac32\overrightarrow{AB}. Comme BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} : AF→=AB→+BF→=AB→+13AD→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}.
  2. DE→=DA→+AE→=32AB→−AD→\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} et DF→=DA→+AF→=AB→−23AD→\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-\frac23\overrightarrow{AD}.
  3. On compare les coefficients : 32=32×1\frac32=\frac32\times1 et −1=32×(−23)-1=\frac32\times\left(-\frac23\right). Donc DE→=32DF→\overrightarrow{DE}=\frac32\overrightarrow{DF} : les vecteurs sont colinéaires avec l'origine commune DD, et DD, FF, EE sont alignés. De plus DF→=23DE→\overrightarrow{DF}=\frac23\overrightarrow{DE}, avec 0≤23≤10\leq\frac23\leq1 : FF est sur [DE][DE], aux deux tiers en partant de DD.
    Parallélogramme ABCD ; E sur la demi-droite [AB) au-delà de B, vecteur BE égal à 1/2 fois le vecteur AB ; F sur [BC], vecteur BF égal à 1/3 du vecteur BC ; le segment orange [DE] passe par F, vecteur DF égal à 2/3 du vecteur DE
    La droite (DE)(DE) coupe [BC][BC] en FF : DF→=23DE→\overrightarrow{DF}=\frac23\overrightarrow{DE}.

Milieu d’un segment

Exercice 12 : Trois milieux sur un segment

Facile
[AB][AB] est un segment de longueur 8 cm et II son milieu. MM est le point tel que AM→=34AB→\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{AB} et NN le point tel que NA→+NB→=IB→\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{IB}.
  1. Montrer que MM est le milieu de [IB][IB].
  2. Montrer que NI→=12IB→\overrightarrow{NI}=\frac12\overrightarrow{IB}, puis que NN est le milieu de [AI][AI].
  3. Montrer que II est le milieu de [NM][NM] et calculer NMNM.
Voir le corrigé
  1. IM→=IA→+AM→=−12AB→+34AB→=14AB→\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AB}=\frac14\overrightarrow{AB} et MB→=MA→+AB→=−34AB→+AB→=14AB→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=-\frac34\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\frac14\overrightarrow{AB}. Donc IM→=MB→\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MB} : MM est le milieu de [IB][IB], à 6 cm de AA.
  2. II est le milieu de [AB][AB], donc, d'après la propriété caractéristique avec le point NN, NA→+NB→=2NI→\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\overrightarrow{NI}. L'hypothèse devient 2NI→=IB→2\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{IB}, soit NI→=12IB→=14AB→\overrightarrow{NI}=\frac12\overrightarrow{IB}=\frac14\overrightarrow{AB}. Alors AN→=AI→+IN→=12AB→−14AB→=14AB→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IN}=\frac12\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AB}=\frac14\overrightarrow{AB}, et NI→=14AB→\overrightarrow{NI}=\frac14\overrightarrow{AB} aussi : AN→=NI→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NI}, donc NN est le milieu de [AI][AI], à 2 cm de AA.
  3. IN→+IM→=−14AB→+14AB→=0⃗\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IM}=-\frac14\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AB}=\vec{0} : II est le milieu de [NM][NM]. Et NM→=NI→+IM→=12AB→\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IM}=\frac12\overrightarrow{AB}, donc NM=4NM=4 cm : sur la droite, NN, II, MM sont à 2, 4 et 6 cm de AA.

Exercice 13 : Milieux des diagonales d’un quadrilatère

Moyen
ABCDABCD est un quadrilatère, II le milieu de [AC][AC] et JJ le milieu de [BD][BD].
  1. Montrer que 2IJ→=IB→+ID→2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}.
  2. En déduire que 2IJ→=AB→+CD→2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}.
  3. Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si I=JI=J.
  4. On suppose que DC→=13AB→\overrightarrow{DC}=\frac13\overrightarrow{AB} (ABCDABCD est un trapèze). Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et en déduire la position de la droite (IJ)(IJ).
Voir le corrigé
  1. JJ est le milieu de [BD][BD]. La propriété caractéristique du milieu, appliquée avec le point II, donne IB→+ID→=2IJ→\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IJ}.
  2. On introduit AA et CC : IB→+ID→=IA→+AB→+IC→+CD→=(IA→+IC→)+AB→+CD→\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}. Comme II est le milieu de [AC][AC], IA→+IC→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}. Donc 2IJ→=AB→+CD→2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}.
  3. On enchaîne des équivalences : ABCDABCD est un parallélogramme   ⟺  AB→=DC→  ⟺  AB→+CD→=0⃗  ⟺  IJ→=0⃗  ⟺  I=J\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}\iff\overrightarrow{IJ}=\vec{0}\iff I=J. On retrouve que les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu, et la réciproque.
  4. CD→=−13AB→\overrightarrow{CD}=-\frac13\overrightarrow{AB}, donc 2IJ→=23AB→2\overrightarrow{IJ}=\frac23\overrightarrow{AB} et IJ→=13AB→\overrightarrow{IJ}=\frac13\overrightarrow{AB}. Ici I≠JI\neq J et IJ→\overrightarrow{IJ} est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} : la droite (IJ)(IJ) est parallèle aux bases (AB)(AB) et (DC)(DC), et IJ=13ABIJ=\frac13AB.

Exercice 14 : Droite des milieux dans un trapèze

Moyen
ABCDABCD est un trapèze de bases [AB][AB] et [DC][DC] : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont colinéaires et de même sens. II et JJ sont les milieux de [AD][AD] et de [BC][BC].
  1. Écrire IJ→\overrightarrow{IJ} de deux façons avec la relation de Chasles, l'une passant par AA et BB, l'autre par DD et CC.
  2. En déduire que IJ→=12(AB→+DC→)\overrightarrow{IJ}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).
  3. On donne AB=9AB=9 cm et DC=5DC=5 cm. Montrer que (IJ)∥(AB)(IJ)\parallel(AB) et calculer IJIJ.
  4. Que devient la formule de la question 2 lorsque D=CD=C ?
Voir le corrigé
  1. IJ→=IA→+AB→+BJ→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ} et IJ→=ID→+DC→+CJ→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}.
  2. On additionne les deux égalités : 2IJ→=(IA→+ID→)+AB→+DC→+(BJ→+CJ→).\begin{aligned}2\overrightarrow{IJ}&=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}\right)\\&\quad+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\\&\quad+\left(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ}\right).\end{aligned} II est le milieu de [AD][AD], donc IA→+ID→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\vec{0} ; JJ est le milieu de [BC][BC], donc JB→+JC→=0⃗\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\vec{0}, et son opposé BJ→+CJ→\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ} est nul aussi. Il reste IJ→=12(AB→+DC→)\overrightarrow{IJ}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).
  3. DC→\overrightarrow{DC} a la direction et le sens de AB→\overrightarrow{AB}, et DC=59ABDC=\frac59AB, donc DC→=59AB→\overrightarrow{DC}=\frac59\overrightarrow{AB}. Alors IJ→=12×149AB→=79AB→\overrightarrow{IJ}=\frac12\times\frac{14}{9}\overrightarrow{AB}=\frac79\overrightarrow{AB} : (IJ)∥(AB)(IJ)\parallel(AB) et IJ=79×9=7IJ=\frac79\times9=7 cm, la moyenne des deux bases.
  4. Si D=CD=C, le trapèze devient le triangle ABCABC, II est le milieu de [AC][AC] et DC→=0⃗\overrightarrow{DC}=\vec{0} : IJ→=12AB→\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{AB}. C'est la droite des milieux dans le triangle ABCABC.

Exercice 15 : Deux ensembles de points

Difficile
ABCABC est un triangle et II le milieu de [BC][BC].
  1. Justifier que, pour tout point MM, MB→+MC→=2MI→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} et MB→−MC→=CB→\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}.
  2. Déterminer l'ensemble (Δ)(\Delta) des points MM tels que MB→+MC→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} soit colinéaire à AB→\overrightarrow{AB}.
  3. Déterminer l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points MM tels que ∥MB→+MC→∥=∥MB→−MC→∥\|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|.
  4. On suppose le triangle ABCABC rectangle en AA. Montrer que AA appartient à (Γ)(\Gamma).
Indication
La propriété caractéristique du milieu remplace la somme de deux vecteurs par un seul vecteur 2MI→2\overrightarrow{MI} : la condition ne porte plus que sur MM et II.
Voir le corrigé
  1. II est le milieu de [BC][BC] : la propriété caractéristique donne MB→+MC→=2MI→\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} pour tout MM. Ensuite MB→−MC→=CM→+MB→=CB→\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}.
  2. La condition s'écrit : 2MI→2\overrightarrow{MI} est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB}, c'est-à-dire IM→=kAB→\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{AB} pour un réel kk. Pour M=IM=I, c'est vrai avec k=0k=0. Pour M≠IM\neq I, cela signifie (IM)∥(AB)(IM)\parallel(AB). L'ensemble (Δ)(\Delta) est donc la droite passant par II et parallèle à (AB)(AB).
  3. D'après la question 1, la condition s'écrit ∥2MI→∥=∥CB→∥\|2\overrightarrow{MI}\|=\|\overrightarrow{CB}\|, soit 2MI=BC2MI=BC, ou encore MI=12BCMI=\frac12BC. L'ensemble (Γ)(\Gamma) est le cercle de centre II et de rayon 12BC\frac12BC, c'est-à-dire le cercle de diamètre [BC][BC]. Contrôle : BB et CC appartiennent à (Γ)(\Gamma), puisque IB=IC=12BCIB=IC=\frac12BC.
  4. Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets (propriété du collège) : IA=IB=12BCIA=IB=\frac12BC. Donc A∈(Γ)A\in(\Gamma). On le vérifie aussi avec les vecteurs : ∥AB→+AC→∥=2AI=BC=∥AB→−AC→∥\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|=2AI=BC=\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\|.

Problèmes : déplacements, intersection et médiane

Exercice 16 : La tournée d’un livreur à Fès

Moyen
Dans un quartier de Fès, deux grandes avenues se croisent. On note u⃗\vec{u} un déplacement de 1 km le long de la première et v⃗\vec{v} un déplacement de 1 km le long de la seconde ; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Un livreur à scooter part de l'agence OO et effectue quatre trajets en ligne droite :
OA→=3u⃗\overrightarrow{OA}=3\vec{u}, AB→=2v⃗\overrightarrow{AB}=2\vec{v}, BC→=−u⃗+v⃗\overrightarrow{BC}=-\vec{u}+\vec{v}, CD→=−12u⃗−32v⃗\overrightarrow{CD}=-\frac12\vec{u}-\frac32\vec{v}.
  1. Exprimer OB→\overrightarrow{OB}, OC→\overrightarrow{OC} et OD→\overrightarrow{OD} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
  2. Quel déplacement ramène directement le livreur de DD à l'agence ?
  3. Un restaurant RR est situé de sorte que OR→=u⃗+v⃗\overrightarrow{OR}=\vec{u}+\vec{v}. Montrer que OO, RR, DD sont alignés. Le livreur passe-t-il devant le restaurant s'il rentre en ligne droite ?
  4. Un client habite au milieu MM de [AC][AC]. Exprimer OM→\overrightarrow{OM} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
Voir le corrigé
  1. La relation de Chasles additionne les trajets successifs : OB→=OA→+AB→=3u⃗+2v⃗\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=3\vec{u}+2\vec{v}, OC→=OB→+BC→=2u⃗+3v⃗\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{u}+3\vec{v}, OD→=OC→+CD→=32u⃗+32v⃗\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\frac32\vec{u}+\frac32\vec{v}.
  2. Le retour direct est DO→=−OD→=−32u⃗−32v⃗\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OD}=-\frac32\vec{u}-\frac32\vec{v}. Vérification : la somme des cinq trajets OA→+AB→+BC→+CD→+DO→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO} vaut OO→=0⃗\overrightarrow{OO}=\vec{0}.
  3. OD→=32(u⃗+v⃗)=32OR→\overrightarrow{OD}=\frac32\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\frac32\overrightarrow{OR} : les vecteurs OD→\overrightarrow{OD} et OR→\overrightarrow{OR} sont colinéaires avec l'origine commune OO, donc OO, RR, DD sont alignés. De plus OR→=23OD→\overrightarrow{OR}=\frac23\overrightarrow{OD} avec 0≤23≤10\leq\frac23\leq1 : RR est sur le segment [OD][OD]. En rentrant en ligne droite, le livreur passe devant le restaurant, aux deux tiers du chemin en partant de l'agence.
  4. MM est le milieu de [AC][AC] ; la propriété caractéristique avec le point OO donne OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}. Donc OM→=12(3u⃗+2u⃗+3v⃗)=52u⃗+32v⃗\overrightarrow{OM}=\frac12\left(3\vec{u}+2\vec{u}+3\vec{v}\right)=\frac52\vec{u}+\frac32\vec{v}.

Exercice 17 : Localiser le point d’intersection de deux droites

Difficile
ABCABC est un triangle, II le milieu de [AC][AC] et EE le point tel que BE→=14BC→\overrightarrow{BE}=\frac14\overrightarrow{BC}. On définit le point KK par AK→=35AB→+15AC→\overrightarrow{AK}=\frac35\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{AC}.
  1. Exprimer AE→\overrightarrow{AE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis montrer que AA, KK, EE sont alignés.
  2. Exprimer BI→\overrightarrow{BI} et BK→\overrightarrow{BK} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis montrer que BB, KK, II sont alignés.
  3. En déduire que KK est le point d'intersection des droites (AE)(AE) et (BI)(BI), et préciser sa position sur les segments [AE][AE] et [BI][BI].
Indication
Question 3 : deux droites distinctes ont au plus un point commun. Il reste à justifier que (AE)(AE) et (BI)(BI) ne sont pas confondues.
Voir le corrigé
  1. BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}, donc AE→=AB→+14BC→=34AB→+14AC→.\begin{aligned}\overrightarrow{AE}&=\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{BC}\\&=\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}.\end{aligned} Or 45×34=35\frac45\times\frac34=\frac35 et 45×14=15\frac45\times\frac14=\frac15 : AK→=45AE→\overrightarrow{AK}=\frac45\overrightarrow{AE}. Les vecteurs sont colinéaires avec l'origine commune AA, donc AA, KK, EE sont alignés.
  2. BI→=BA→+AI→=−AB→+12AC→\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC} et BK→=BA→+AK→=−25AB→+15AC→\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\frac25\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{AC}. On constate que BK→=25BI→\overrightarrow{BK}=\frac25\overrightarrow{BI} : BB, KK, II sont alignés.
  3. KK appartient aux deux droites. Elles sont distinctes : si AA était sur (BI)(BI), les points AA, BB, II seraient alignés, et CC, qui vérifie AC→=2AI→\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}, serait sur (AB)(AB), ce qui est faux dans un triangle. Deux droites distinctes ayant le point KK en commun sont sécantes en KK. Positions : AK→=45AE→\overrightarrow{AK}=\frac45\overrightarrow{AE}, donc KK est sur [AE][AE] aux quatre cinquièmes en partant de AA ; BK→=25BI→\overrightarrow{BK}=\frac25\overrightarrow{BI}, donc KK est sur [BI][BI] aux deux cinquièmes en partant de BB.

Exercice 18 : Une relation à trois points et une médiane

Difficile
ABCABC est un triangle et II le milieu de [AB][AB]. Pour tout point MM, on pose w⃗=MA→+MB→−2MC→\vec{w}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}.
  1. Montrer que w⃗\vec{w} ne dépend pas de MM et que w⃗=2CI→\vec{w}=2\overrightarrow{CI}.
  2. Soit EE le point tel que CE→=w⃗\overrightarrow{CE}=\vec{w}. Montrer que II est le milieu de [CE][CE] et donner la nature du quadrilatère ACBEACBE.
  3. Soit FF le point tel que FA→+FB→+2FC→=0⃗\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+2\overrightarrow{FC}=\vec{0}. Montrer que FF est le milieu de [IC][IC].
  4. Montrer que les points CC, FF, II, EE sont alignés et que CE→=4CF→\overrightarrow{CE}=4\overrightarrow{CF}.
Voir le corrigé
  1. II est le milieu de [AB][AB], donc MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}. Alors w⃗=2MI→−2MC→=2(CM→+MI→)=2CI→\vec{w}=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MI}\right)=2\overrightarrow{CI}, qui ne dépend pas de MM.
  2. CE→=2CI→\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CI} est la troisième caractérisation du milieu : II est le milieu de [CE][CE]. Les diagonales [AB][AB] et [CE][CE] du quadrilatère ACBEACBE ont donc le même milieu II : ACBEACBE est un parallélogramme, non aplati car CC n'est pas sur (AB)(AB).
  3. Avec le point FF, la propriété caractéristique donne FA→+FB→=2FI→\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FI}. La relation devient 2FI→+2FC→=0⃗2\overrightarrow{FI}+2\overrightarrow{FC}=\vec{0}, soit FI→+FC→=0⃗\overrightarrow{FI}+\overrightarrow{FC}=\vec{0} : FF est le milieu de [IC][IC].
  4. CF→=12CI→\overrightarrow{CF}=\frac12\overrightarrow{CI} et CE→=2CI→\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CI} : les vecteurs CF→\overrightarrow{CF}, CI→\overrightarrow{CI}, CE→\overrightarrow{CE} sont colinéaires à CI→\overrightarrow{CI} et ont l'origine CC en commun. Les points CC, FF, II, EE sont donc sur la droite (CI)(CI), la médiane issue de CC. Enfin CE→=2CI→=4×12CI→=4CF→\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CI}=4\times\frac12\overrightarrow{CI}=4\overrightarrow{CF}.

Questions flash avant le devoir

Sans calculatrice, une seule bonne réponse par question. Les points cités sont quelconques sauf mention contraire.

Question 1 : Chasles dans le désordre

Flash
BC→+AB→\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB} est égal à :
  1. CA→\overrightarrow{CA}
  2. AC→\overrightarrow{AC}
  3. BA→+BC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}
  4. aucun vecteur nommé : la somme ne se simplifie pas
Voir le corrigé
Réponse B. On réordonne : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. L'ordre d'écriture d'une somme ne compte pas ; seul l'enchaînement des points compte. A est le vecteur opposé.

Question 2 : Lire un parallélogramme

Flash
On sait que EF→=HG→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}. Quel quadrilatère est un parallélogramme ?
  1. EFHGEFHG
  2. EHFGEHFG
  3. EFGHEFGH
  4. EGFHEGFH
Voir le corrigé
Réponse C. AB→=DC→  ⟺  ABCD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD parallélogramme ; ici AA, BB, CC, DD sont remplacés par EE, FF, GG, HH. Les côtés [EF][EF] et [HG][HG] sont opposés et parcourus dans le même sens.

Question 3 : Norme d’un multiple

Flash
∥u⃗∥=4\|\vec{u}\|=4. La norme de −52u⃗-\frac52\vec{u} vaut :
  1. −10-10
  2. 1010
  3. 6,56{,}5
  4. 1,51{,}5
Voir le corrigé
Réponse B : ∣−52∣×4=10\left|-\frac52\right|\times4=10. Une norme est une longueur, jamais négative ; C et D additionnent ou soustraient au lieu de multiplier.

Question 4 : Écrire un milieu

Flash
II est le milieu de [AB][AB]. Quelle égalité est vraie ?
  1. BA→=2IA→\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{IA}
  2. AI→=BI→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}
  3. AB→=2BI→\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BI}
  4. IA→=IB→\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}
Voir le corrigé
Réponse A : IA→=12BA→\overrightarrow{IA}=\frac12\overrightarrow{BA}, puisque II est le milieu de [BA][BA]. En B et D, les vecteurs sont opposés et non égaux ; en C, 2BI→=BA→=−AB→2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

Question 5 : Ce que prouve une colinéarité

Flash
On sait que A≠BA\neq B, C≠DC\neq D et AB→=−3CD→\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}. On peut conclure que :
  1. AA, BB, CC, DD sont alignés
  2. les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles
  3. ABCDABCD est un parallélogramme
  4. AB=−3CDAB=-3CD
Voir le corrigé
Réponse B. Les vecteurs sont colinéaires sans point commun : seul le parallélisme est sûr, les droites pouvant être distinctes (A est donc faux en général). D est impossible, une longueur étant positive : AB=3CDAB=3CD. C exigerait AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Problème de synthèse type devoir surveillé

Problème : nombres entiers et vecteurs dans un parallélogramme

Type devoir
Durée conseillée : 1 h. Barème sur 20 points. Calculatrice non autorisée.
Partie A : arithmétique dans ℕ (8 points)
  1. (2 points) Décomposer 252 et 360 en produit de facteurs premiers. En déduire leur PGCD et leur PPCM.
  2. (1 point) Écrire la fraction 252360\dfrac{252}{360} sous forme irréductible.
  3. (2 points) Montrer que, si nn est un entier naturel impair, alors n2+3n^2+3 est un multiple de 4.
  4. (3 points) aa est un chiffre et NN le nombre de trois chiffres 3a5‾\overline{3a5}. Déterminer aa pour que NN soit divisible par 9, puis toutes les valeurs de aa pour lesquelles NN est divisible par 15.
Partie B : calcul vectoriel (12 points)
ABCDABCD est un parallélogramme, II le milieu de [AD][AD] et LL le milieu de [AB][AB]. On définit FF par 2FA→+FB→=0⃗2\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0} et GG par AG→=13AC→\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AC}.
  1. (2 points) Montrer que AF→=13AB→\overrightarrow{AF}=\frac13\overrightarrow{AB}, puis faire une figure.
  2. (2 points) Exprimer BI→\overrightarrow{BI} et BG→\overrightarrow{BG} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
  3. (3 points) Montrer que BB, GG, II sont alignés et préciser la position de GG sur [BI][BI].
  4. (2 points) Montrer que (FG)∥(AD)(FG)\parallel(AD) et que FG=13ADFG=\frac13AD.
  5. (3 points) Montrer que DD, GG, LL sont alignés. Que peut-on dire des droites (AC)(AC), (BI)(BI) et (DL)(DL) ?
Indication
Question 4 : critères de divisibilité par 9, par 3 et par 5, et 15=3×515=3\times5. Partie B : écrire tous les vecteurs sous la forme aAB→+bAD→a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}, avec AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
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  1. 252=22×32×7252=2^2\times3^2\times7 et 360=23×32×5360=2^3\times3^2\times5. Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant : 22×32=362^2\times3^2=36. Le PPCM est le produit de tous les facteurs avec le plus grand exposant : 23×32×5×7=2 5202^3\times3^2\times5\times7=2\,520. Contrôle : 36×2 520=90 720=252×36036\times2\,520=90\,720=252\times360.
  2. 252360=36×736×10=710\dfrac{252}{360}=\dfrac{36\times7}{36\times10}=\dfrac{7}{10}, fraction irréductible puisque 7 et 10 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
  3. Si nn est impair, il existe un entier naturel kk tel que n=2k+1n=2k+1. Alors n2+3=4k2+4k+1+3=4(k2+k+1)n^2+3=4k^2+4k+1+3=4\left(k^2+k+1\right), et k2+k+1k^2+k+1 est un entier naturel : n2+3n^2+3 est un multiple de 4.
  4. La somme des chiffres de NN vaut 3+a+5=8+a3+a+5=8+a, avec 8≤8+a≤178\leq8+a\leq17. NN est divisible par 9 si et seulement si 8+a8+a l'est, donc 8+a=98+a=9 et a=1a=1 : N=315=9×35N=315=9\times35. Ensuite, 3 et 5 sont premiers entre eux, donc NN est divisible par 15 si et seulement s'il est divisible par 3 et par 5. Son chiffre des unités est 5, il est toujours divisible par 5. Il est divisible par 3 si et seulement si 8+a∈{9 ;12 ;15}8+a\in\{9\,;12\,;15\}, soit a∈{1 ;4 ;7}a\in\{1\,;4\,;7\}. Les nombres obtenus sont 315=15×21315=15\times21, 345=15×23345=15\times23 et 375=15×25375=15\times25.
  5. On introduit AA dans FB→\overrightarrow{FB} : 2FA→+FA→+AB→=0⃗2\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}, donc 3FA→=−AB→3\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AB} et AF→=13AB→\overrightarrow{AF}=\frac13\overrightarrow{AB} : FF est sur [AB][AB], au tiers en partant de AA.
    Parallélogramme ABCD ; I milieu de [AD], L milieu de [AB], F sur [AB] avec le vecteur AF égal à 1/3 du vecteur AB, G sur la diagonale [AC] avec le vecteur AG égal à 1/3 du vecteur AC ; les droites (BI) et (DL) en orange passent par G, et le segment [FG] est parallèle à (AD)
    Les droites (AC)(AC), (BI)(BI) et (DL)(DL) passent par GG ; FG→=13AD→\overrightarrow{FG}=\frac13\overrightarrow{AD}.
  6. BI→=BA→+AI→=−AB→+12AD→\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}. Avec AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} (règle du parallélogramme) : BG→=BA→+AG→=−AB→+13AB→+13AD→=−23AB→+13AD→\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}=-\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}.
  7. 23×(−1)=−23\frac23\times(-1)=-\frac23 et 23×12=13\frac23\times\frac12=\frac13, donc BG→=23BI→\overrightarrow{BG}=\frac23\overrightarrow{BI}. Les vecteurs sont colinéaires avec l'origine commune BB : BB, GG, II sont alignés, et GG est sur [BI][BI], aux deux tiers en partant de BB.
  8. FG→=FA→+AG→=−13AB→+13AB→+13AD→=13AD→\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AG}=-\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}=\frac13\overrightarrow{AD}. Les vecteurs sont colinéaires, donc (FG)∥(AD)(FG)\parallel(AD), et FG=13ADFG=\frac13AD. Les droites sont distinctes car FF, point de [AB][AB] différent de AA, n'est pas sur (AD)(AD).
  9. DL→=DA→+AL→=12AB→−AD→\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} et DG→=DA→+AG→=13AB→−23AD→\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB}-\frac23\overrightarrow{AD}. Donc DG→=23DL→\overrightarrow{DG}=\frac23\overrightarrow{DL} : DD, GG, LL sont alignés. Le point GG est sur (AC)(AC) par définition, sur (BI)(BI) d'après la question 7 et sur (DL)(DL) : les trois droites sont concourantes en GG.
Barème indicatif : partie A, 2 + 1 + 2 + 3 = 8 points ; partie B, 2 + 2 + 3 + 2 + 3 = 12 points ; total 20. Dans le triangle ABDABD, les droites (BI)(BI), (DL)(DL) et (AC)(AC), qui passe par le milieu de [BD][BD], sont les trois médianes : on retrouve la propriété du collège selon laquelle les médianes d'un triangle sont concourantes.

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