Équations inéquations systèmes tronc commun : exercices corrigés

Seize exercices corrigés sur les équations, inéquations et systèmes du tronc commun, rangés comme une série d'exercices par type : inéquations du premier degré et paramètre, discriminant et factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme, équations bicarrées, systèmes résolus par la méthode du déterminant (Cramer), régionnement du plan et programmation linéaire. Un problème de synthèse type devoir surveillé, noté sur 20, termine la série en reliant ce chapitre aux polynômes.

Accès direct : exercice 1 pour commencer, exercice 12 sur le déterminant nul, problème type devoir surveillé. Niveaux : exercices 1, 3, 5 et 11 faciles ; 2, 6, 7, 9, 10, 12, 14 et 15 moyens ; 4, 8, 13 et 16 difficiles. Chaque corrigé nomme la méthode, vérifie les conditions (valeurs interdites, signe d'une nouvelle inconnue, déterminant non nul) et se termine par un contrôle quand il est utile.

Sommaire10 parties

Premier degré : inéquations et paramètre

Ces deux exercices révisent les tableaux de signes, puis la résolution d'une équation du premier degré dont un coefficient dépend d'un paramètre.

Exercice 1 : Inéquation produit et inéquation quotient

Facile

Résoudre dans

\mathbb R

$(3x-2)(4-x)\gt0$ ;
$\frac{2x-5}{x+3}\leq1$ .

Indication

Question 2 : ne pas multiplier par

x+3

, dont le signe change ; soustraire 1 et réduire au même dénominateur.

Voir le corrigé

Le facteur $3x-2$ s'annule en $\frac23$ et a le signe de 3 (positif) à droite ; le facteur $4-x$ s'annule en 4 et a le signe de $-1$ (négatif) à droite.
$x$ $-\infty$ $\frac23$ $4$ $+\infty$
$3x-2$ $-$ $0$ $+$ | $+$
$4-x$ $+$ | $+$ $0$ $-$
produit $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
Le produit est strictement positif entre les deux valeurs, bornes exclues : $S=\mathopen{]}\frac23\,;4\mathclose{[}$ . Contrôle avec $x=1$ : $1\times3=3\gt0$ .
Valeur interdite : $-3$ . Pour $x\neq-3$ : $\begin{aligned}&\frac{2x-5}{x+3}-1\\&=\frac{2x-5-(x+3)}{x+3}\\&=\frac{x-8}{x+3}.\end{aligned}$
L'inéquation équivaut à $\frac{x-8}{x+3}\leq0$ . Le numérateur s'annule en 8, le dénominateur en $-3$ , et tous deux sont positifs à droite de leur valeur.
$x$ $-\infty$ $-3$ $8$ $+\infty$
$x-8$ $-$ | $-$ $0$ $+$
$x+3$ $-$ $0$ $+$ | $+$
quotient $+$ || $-$ $0$ $+$
$S=\mathopen{]}-3\,;8]$ : 8 est inclus (le quotient y vaut 0), $-3$ est exclu (valeur interdite). Si l'on avait multiplié par $x+3$ sans précaution, on aurait obtenu $x\leq8$ , qui contient à tort $x=-4$ : pour cette valeur, $\frac{-13}{-1}=13\gt1$ .

Exercice 2 : Discuter une équation selon le paramètre m

Moyen

Soit

m

un réel. On considère l'équation d'inconnue

x

(m^2-4)\,x=m+2

Résoudre l'équation pour $m=2$ , puis pour $m=-2$ .
Résoudre l'équation pour $m\neq2$ et $m\neq-2$ , en simplifiant la solution.
Pour quelles valeurs de $m$ l'équation a-t-elle une unique solution strictement positive ?

Voir le corrigé

Pour $m=2$ : l'équation devient $0\times x=4$ , qui n'est vraie pour aucun réel : $S=\varnothing$ . Pour $m=-2$ : elle devient $0\times x=0$ , vraie pour tout réel : $S=\mathbb R$ .
Si $m\neq2$ et $m\neq-2$ , alors $m^2-4=(m-2)(m+2)\neq0$ et l'on peut diviser : $\begin{aligned}x&=\frac{m+2}{(m-2)(m+2)}\\&=\frac{1}{m-2}.\end{aligned}$
L'équation a l'unique solution $\frac{1}{m-2}$ . Contrôle pour $m=3$ : $5x=5$ donne $x=1=\frac{1}{3-2}$ .
Il faut d'abord une solution unique, donc $m\neq\pm2$ d'après la question 1. Ensuite $\frac{1}{m-2}\gt0\iff m-2\gt0\iff m\gt2$ . L'équation a une unique solution strictement positive exactement pour $m\in\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}$ .

Équations du second degré et factorisation

Le premier exercice entraîne au choix de la méthode, le second à la forme canonique et aux résolutions sans discriminant.

Exercice 3 : Choisir la méthode, puis factoriser

Facile

Résoudre dans

\mathbb R

les équations suivantes, sans discriminant quand ce n'est pas nécessaire.

$5x^2-8x=0$
$4x^2-81=0$
$2x^2-3x-20=0$
$3x^2-x+2=0$
Factoriser $2x^2-3x-20$ et $16x^2-8x+1$ .

Voir le corrigé

Pas de terme constant : on factorise par $x$ . $x(5x-8)=0$ , donc $x=0$ ou $x=\frac85$ (équation produit nul) : $S=\left\{0\,;\frac85\right\}$ .
Pas de terme en $x$ : $4x^2=81$ , soit $x^2=\frac{81}{4}$ , donc $x=\frac92$ ou $x=-\frac92$ : $S=\left\{-\frac92\,;\frac92\right\}$ . On peut aussi écrire $(2x-9)(2x+9)=0$ .
Aucune factorisation évidente : $\Delta=9+160=169=13^2\gt0$ , donc $x_1=\frac{3-13}{4}=-\frac52$ et $x_2=\frac{3+13}{4}=4$ : $S=\left\{-\frac52\,;4\right\}$ .
$\Delta=1-24=-23\lt0$ : $S=\varnothing$ .
D'après la question 3, $2x^2-3x-20=2\left(x+\frac52\right)(x-4)=(2x+5)(x-4)$ ; contrôle : $2x^2-8x+5x-20=2x^2-3x-20$ . Pour le second trinôme, $\Delta=64-64=0$ et $x_0=\frac{8}{32}=\frac14$ , donc $16x^2-8x+1=16\left(x-\frac14\right)^2=(4x-1)^2$ , une identité remarquable.

Exercice 4 : Forme canonique et résolutions sans discriminant

Difficile

On considère le trinôme

T(x)=4x^2-12x-7

Écrire $T(x)$ sous forme canonique.
En déduire, sans calculer le discriminant, les solutions de l'équation $T(x)=0$ , puis une factorisation de $T(x)$ .
Montrer que $T(x)\geq-16$ pour tout réel $x$ . Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $T(x)=-16$ ?
Résoudre sans discriminant l'équation $(2x-3)^2=9(x+1)^2$ .

Indication

Question 2 : isoler le carré. Question 4 : écrire

9(x+1)^2=\left(3(x+1)\right)^2

et utiliser

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

Voir le corrigé

On factorise 4 dans les termes en $x$ , puis on complète le carré : $\begin{aligned}&T(x)\\&=4\left(x^2-3x\right)-7\\&=4\left[\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right]-7\\&=4\left(x-\frac32\right)^2-16.\end{aligned}$
Contrôle avec les formules : $\alpha=\frac{12}{8}=\frac32$ , $\Delta=144+112=256$ et $\beta=-\frac{256}{16}=-16$ .
D'après la question 1 : $\begin{aligned}&T(x)=0\\&\iff4\left(x-\frac32\right)^2=16\\&\iff\left(x-\frac32\right)^2=4.\end{aligned}$
Donc $x-\frac32=2$ ou $x-\frac32=-2$ , soit $x=\frac72$ ou $x=-\frac12$ : $S=\left\{-\frac12\,;\frac72\right\}$ . Le coefficient de $x^2$ est 4, donc $T(x)=4\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac72\right)=(2x+1)(2x-7)$ . Contrôle : $(2x+1)(2x-7)=4x^2-14x+2x-7$ .
Un carré est positif ou nul, donc $4\left(x-\frac32\right)^2\geq0$ et $T(x)\geq-16$ pour tout réel $x$ . L'égalité $T(x)=-16$ a lieu si et seulement si $\left(x-\frac32\right)^2=0$ , c'est-à-dire pour $x=\frac32$ : $-16$ est la plus petite valeur de $T$ .
L'équation s'écrit $A^2-B^2=0$ avec $A=2x-3$ et $B=3x+3$ . Or $A-B=-x-6$ et $A+B=5x$ , donc elle équivaut à $(A-B)(A+B)=0$ , c'est-à-dire $(-x-6)\times5x=0$ . Équation produit nul : $x=-6$ ou $x=0$ , et $S=\{-6\,;0\}$ . Contrôle : pour $x=-6$ , $(-15)^2=225=9\times25$ ; pour $x=0$ , $(-3)^2=9=9\times1$ .

Somme et produit des racines

Les relations

x_1+x_2=-\frac ba

x_1x_2=\frac ca

servent ici sans calculer les racines, puis dans l'autre sens pour trouver des nombres ou un coefficient.

Exercice 5 : Calculer et conclure sans résoudre

Facile

On considère l'équation

3x^2-5x-4=0

Justifier qu'elle a deux racines $x_1$ et $x_2$ et donner leur somme et leur produit.
Sans calculer les racines, calculer $x_1^2+x_2^2$ , $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ et $x_1^2x_2+x_1x_2^2$ .
Les racines sont-elles de même signe ?
Sans les calculer, donner le nombre et le signe des racines de $x^2-9x+11=0$ , de $5x^2+12x+3=0$ et de $4x^2-3x+2=0$ .

Voir le corrigé

$\Delta=25+48=73\gt0$ : deux racines distinctes, avec $S=x_1+x_2=\frac53$ et $P=x_1x_2=-\frac43$ .
On exprime chaque quantité avec $S$ et $P$ : $\begin{aligned}&x_1^2+x_2^2=S^2-2P\\&\quad=\frac{25}{9}+\frac83=\frac{49}{9},\\&\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{S}{P}\\&\quad=\frac{5/3}{-4/3}=-\frac54,\\&x_1^2x_2+x_1x_2^2=PS\\&\quad=-\frac43\times\frac53=-\frac{20}{9}.\end{aligned}$
La deuxième expression a un sens car $P\neq0$ , donc aucune racine n'est nulle.
Non : $P=-\frac43\lt0$ , donc les racines sont de signes contraires. C'était prévisible, car $a=3$ et $c=-4$ sont de signes contraires.
On regarde d'abord $\Delta$ , puis $P$ et $S$ : si $P\gt0$ , les racines sont de même signe, et ce signe commun est celui de leur somme $S$ .
- $x^2-9x+11$ : $\Delta=81-44=37\gt0$ , $P=11\gt0$ et $S=9\gt0$ : deux racines strictement positives.
- $5x^2+12x+3$ : $\Delta=144-60=84\gt0$ , $P=\frac35\gt0$ et $S=-\frac{12}{5}\lt0$ : deux racines strictement négatives.
- $4x^2-3x+2$ : $\Delta=9-32=-23\lt0$ : aucune racine. Les signes de $S=\frac34$ et $P=\frac12$ ne veulent rien dire ici ; c'est pourquoi on commence toujours par $\Delta$ .

Exercice 6 : Un jardin, puis une racine connue

Moyen

Un jardin rectangulaire a un périmètre de 46 m et une aire de 120 m². Trouver ses dimensions.
On sait que $-\frac52$ est solution de l'équation $4x^2+bx-15=0$ . Sans calculer $b$ , trouver l'autre solution, puis en déduire $b$ .

Voir le corrigé

Notons $L$ et $\ell$ les dimensions en mètres. Le demi-périmètre donne $L+\ell=23$ et l'aire $L\ell=120$ . Deux nombres de somme 23 et de produit 120 sont les solutions de $X^2-23X+120=0$ : $\Delta=529-480=49$ , $X=\frac{23-7}{2}=8$ ou $X=\frac{23+7}{2}=15$ . Le jardin mesure 15 m sur 8 m. Contrôle : $2(15+8)=46$ et $15\times8=120$ .
Le produit des solutions vaut $\frac ca=-\frac{15}{4}$ . Si $x_1=-\frac52$ , alors $x_2=\frac{-15/4}{-5/2}=\frac{15}{4}\times\frac25=\frac32$ . La somme vaut $-\frac b4$ , donc $-\frac b4=-\frac52+\frac32=-1$ et $b=4$ . Contrôle : $4x^2+4x-15=(2x+5)(2x-3)$ , qui s'annule bien en $-\frac52$ et $\frac32$ .

Signe du trinôme et inéquations du second degré

Méthode commune : tout passer dans un membre, étudier le signe avec

\Delta

a

, puis lire les intervalles en soignant les crochets.

Exercice 7 : Quatre inéquations, quatre situations

Moyen

Résoudre dans

\mathbb R

$2x^2+5x-12\lt0$
$-x^2+4x-7\geq0$
$9x^2+30x+25\gt0$
$x(x+1)\leq20$

Voir le corrigé

$\Delta=25+96=121=11^2$ , racines $\frac{-5-11}{4}=-4$ et $\frac{-5+11}{4}=\frac32$ . Comme $a=2\gt0$ , le trinôme est négatif strictement entre les racines : $S=\mathopen{]}-4\,;\frac32\mathclose{[}$ .
$\Delta=16-28=-12\lt0$ et $a=-1\lt0$ : le trinôme est strictement négatif pour tout réel, il n'est jamais positif ou nul. $S=\varnothing$ . Contrôle par la forme canonique : $-x^2+4x-7=-(x-2)^2-3\leq-3$ .
$\Delta=900-900=0$ , racine double $-\frac{30}{18}=-\frac53$ , et $9x^2+30x+25=(3x+5)^2$ . Ce carré est strictement positif sauf en $-\frac53$ : $S=\mathbb R\setminus\left\{-\frac53\right\}$ .
On développe et on passe tout dans un membre : $x^2+x-20\leq0$ . $\Delta=1+80=81$ , racines $\frac{-1-9}{2}=-5$ et $\frac{-1+9}{2}=4$ . Comme $a=1\gt0$ , le trinôme est négatif ou nul entre les racines, bornes comprises : $S=[-5\,;4]$ . Contrôle avec $x=4$ : $4\times5=20\leq20$ .

Exercice 8 : Quotient de deux trinômes

Difficile

Résoudre dans

\mathbb R

l'inéquation

\frac{x^2-2x-15}{-2x^2+3x+2}\leq0

Indication

Chercher les racines du numérateur et du dénominateur, puis faire une ligne de signes pour chacun, sans oublier le signe de

a

du dénominateur.

Voir le corrigé

Numérateur

N(x)=x^2-2x-15

\Delta=4+60=64

, racines

\frac{2-8}{2}=-3

\frac{2+8}{2}=5

;

a=1\gt0

, donc

N

est positif à l'extérieur de

[-3\,;5]

Dénominateur

D(x)=-2x^2+3x+2

\Delta=9+16=25

, racines

\frac{-3+5}{-4}=-\frac12

\frac{-3-5}{-4}=2

;

a=-2\lt0

, donc

D

est positif entre

-\frac12

et 2, négatif à l'extérieur. Valeurs interdites :

-\frac12

et 2.

$x$	$-\infty$		$-3$		$-\frac12$		$2$		$5$		$+\infty$
$N$		$+$	$0$	$-$	\|	$-$	\|	$-$	$0$	$+$
$D$		$-$	\|	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	\|	$-$
$\frac ND$		$-$	$0$	$+$	\|\|	$-$	\|\|	$+$	$0$	$-$

Le quotient est négatif ou nul pour

x\leq-3

, pour

-\frac12\lt x\lt2

et pour

x\geq5

\begin{aligned}S=\;&\mathopen{]}-\infty\,;-3]\cup\left]-\frac12\,;2\right[\\&\cup[5\,;+\infty\mathclose{[}.\end{aligned}

Contrôle avec

x=0

\frac{-15}{2}\leq0

, et 0 est bien dans

\left]-\frac12\,;2\right[

Exercice 9 : Trouver l’erreur dans deux copies

Moyen

Deux élèves rendent les résolutions suivantes.

Copie de Karim : «

3x^2\leq10x

. Je divise par

x

3x\leq10

, donc

x\leq\frac{10}{3}

S=\mathopen{]}-\infty\,;\frac{10}{3}]

. »

Copie de Nadia : «

x^2\gt7

, donc

x\gt\sqrt7

S=\mathopen{]}\sqrt7\,;+\infty\mathclose{[}

. »

Montrer avec une valeur bien choisie que chaque ensemble de solutions est faux.
Indiquer la ligne fausse de chaque copie et expliquer l'erreur.
Rédiger une résolution correcte de chaque inéquation.

Voir le corrigé

Karim : $x=-1$ appartient à son ensemble, mais $3\times(-1)^2=3$ n'est pas inférieur ou égal à $10\times(-1)=-10$ . Nadia : $x=-3$ vérifie $x^2=9\gt7$ , mais n'appartient pas à son ensemble.
Karim divise par $x$ sans connaître son signe : diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité, et diviser par 0 est impossible. Nadia « prend la racine » d'une inégalité : $x^2\gt7$ ne donne pas $x\gt\sqrt7$ , car les nombres négatifs ont aussi des carrés supérieurs à 7.
Karim : $3x^2-10x\leq0\iff x(3x-10)\leq0$ . Le trinôme $3x^2-10x$ a pour racines 0 et $\frac{10}{3}$ et $a=3\gt0$ : il est négatif ou nul entre ses racines. $S=\left[0\,;\frac{10}{3}\right]$ .
Nadia : $x^2-7\gt0\iff(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)\gt0$ . Ce trinôme a pour racines $-\sqrt7$ et $\sqrt7$ , et il est positif à l'extérieur des racines : $S=\mathopen{]}-\infty\,;-\sqrt7\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\sqrt7\,;+\infty\mathclose{[}$ .

Équations qui se ramènent au second degré

Un changement d'inconnue ramène au second degré ; la difficulté est de revenir à

x

en respectant les conditions.

Exercice 10 : Bicarrée, fractions et racine carrée

Moyen

Résoudre dans

\mathbb R

$2x^4-7x^2-4=0$
$\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x+1}=3$
$x-3\sqrt x-4=0$

Indication

Question 3 : poser

X=\sqrt x

, qui impose

x\geq0

X\geq0

, et remarquer que

x=X^2

Voir le corrigé

On pose $X=x^2$ , avec $X\geq0$ : $2X^2-7X-4=0$ , $\Delta=49+32=81$ , $X=\frac{7-9}{4}=-\frac12$ ou $X=\frac{7+9}{4}=4$ . La valeur $-\frac12$ est rejetée (un carré n'est pas négatif) ; $x^2=4$ donne $x=\pm2$ . $S=\{-2\,;2\}$ . Contrôle : $2\times16-7\times4-4=0$ .
Valeurs interdites : 1 et $-1$ . Pour les autres réels, on multiplie par $(x-1)(x+1)\neq0$ : $\begin{aligned}&x(x+1)+2(x-1)\\&\quad=3(x^2-1)\\&x^2+3x-2=3x^2-3\\&2x^2-3x-1=0.\end{aligned}$
$\Delta=9+8=17\gt0$ : $x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\approx-0{,}28$ ou $x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\approx1{,}78$ . Aucune n'est une valeur interdite : $S=\left\{\frac{3-\sqrt{17}}{4}\,;\frac{3+\sqrt{17}}{4}\right\}$ .
L'équation n'a de sens que pour $x\geq0$ . On pose $X=\sqrt x\geq0$ , donc $x=X^2$ : $X^2-3X-4=0$ . Ici $a-b+c=1+3-4=0$ , donc $-1$ est racine et l'autre vaut $-\frac ca=4$ . La racine $-1$ est rejetée car $X\geq0$ ; $\sqrt x=4$ donne $x=16$ . Contrôle : $16-3\times4-4=0$ . $S=\{16\}$ .

Systèmes de deux équations à deux inconnues

On note

\Delta

\Delta_x

\Delta_y

les déterminants de la méthode de Cramer ; quand

\Delta=0

, on applique le théorème du système dont le déterminant est nul. L'ordre des exercices : un calcul direct, les cas où

\Delta=0

, un paramètre, puis une mise en équation.

Exercice 11 : Méthode du déterminant, puis un système qui s’y ramène

Facile

Résoudre par la méthode du déterminant $\begin{cases}5x-2y=9\\3x+4y=8\end{cases}$
En déduire les solutions du système $\begin{cases}\frac5x-\frac2y=9\\\frac3x+\frac4y=8\end{cases}$

Voir le corrigé

$\Delta=\begin{vmatrix}5&-2\\3&4\end{vmatrix}=20+6=26\neq0$ : le système a une unique solution. $\begin{aligned}\Delta_x&=\begin{vmatrix}9&-2\\8&4\end{vmatrix}\\&=36+16=52,\\\Delta_y&=\begin{vmatrix}5&9\\3&8\end{vmatrix}\\&=40-27=13.\end{aligned}$
Donc $x=\frac{52}{26}=2$ et $y=\frac{13}{26}=\frac12$ : $S=\left\{\left(2\,;\frac12\right)\right\}$ . Contrôle : $10-1=9$ et $6+2=8$ .
Les inconnues doivent être non nulles. On pose $X=\frac1x$ et $Y=\frac1y$ : le système devient $5X-2Y=9$ , $3X+4Y=8$ , celui de la question 1. Donc $X=2$ et $Y=\frac12$ , d'où $x=\frac12$ et $y=2$ . $S=\left\{\left(\frac12\,;2\right)\right\}$ . Contrôle : $10-1=9$ et $6+2=8$ .

Exercice 12 : Déterminant nul et position de deux droites

Moyen

Pour chaque système, calculer

\Delta

, conclure sur l'ensemble des solutions et interpréter avec les deux droites associées.

$\begin{cases}4x-6y=3\\-2x+3y=1\end{cases}$
$\begin{cases}\frac x2+\frac y3=1\\3x+2y=6\end{cases}$
$\begin{cases}2x+5y=1\\3x-4y=13\end{cases}$
Déterminer le réel $k$ pour lequel le système $\begin{cases}kx+6y=4\\2x+3y=5\end{cases}$ n'a aucune solution.

Voir le corrigé

$\Delta=4\times3-(-2)\times(-6)=12-12=0$ et $\Delta_x=3\times3-1\times(-6)=15\neq0$ : aucune solution. Les deux droites ont des coefficients proportionnels (la première équation est la seconde multipliée par $-2$ pour le membre de gauche) mais pas les seconds membres ( $-2\times1\neq3$ ) : elles sont strictement parallèles.
$\Delta=\frac12\times2-3\times\frac13=0$ , $\Delta_x=1\times2-6\times\frac13=0$ et $\Delta_y=\frac12\times6-3\times1=0$ . Les équations sont équivalentes : la seconde est la première multipliée par 6. Les droites sont confondues et les solutions sont les couples $\left(x\,;3-\frac32x\right)$ , $x\in\mathbb R$ .
$\Delta=2\times(-4)-3\times5=-23\neq0$ , $\Delta_x=1\times(-4)-13\times5=-69$ , $\Delta_y=2\times13-3\times1=23$ . Donc $x=3$ , $y=-1$ : les droites sont sécantes au point $(3\,;-1)$ . Contrôle : $6-5=1$ et $9+4=13$ .
Il faut $\Delta=3k-12=0$ , soit $k=4$ . Pour $k=4$ , $\Delta_x=4\times3-5\times6=-18\neq0$ : le système n'a alors aucune solution. Pour $k\neq4$ , $\Delta\neq0$ et il y a une solution. La réponse est donc $k=4$ (droites strictement parallèles).

Exercice 13 : Système avec un paramètre

Difficile

Pour

m

réel, on considère le système

(\mathcal S_m)\ :\ \begin{cases}mx+2y=m+2\\2x+my=4\end{cases}

Calculer $\Delta$ , $\Delta_x$ et $\Delta_y$ en fonction de $m$ , sous forme factorisée.
Résoudre $(\mathcal S_m)$ lorsque $m\neq2$ et $m\neq-2$ .
Résoudre $(\mathcal S_2)$ et $(\mathcal S_{-2})$ , et interpréter géométriquement.

Voir le corrigé

Avec $a=m$ , $b=2$ , $c=m+2$ , $a^{\prime}=2$ , $b^{\prime}=m$ , $c^{\prime}=4$ : $\begin{aligned}\Delta&=m^2-4\\&=(m-2)(m+2),\\\Delta_x&=(m+2)m-4\times2\\&=m^2+2m-8\\&=(m-2)(m+4),\\\Delta_y&=4m-2(m+2)\\&=2(m-2).\end{aligned}$
Pour factoriser $m^2+2m-8$ , on cherche deux nombres de somme $-2$ et de produit $-8$ : 2 et $-4$ , d'où les racines 2 et $-4$ .
Si $m\neq\pm2$ , $\Delta\neq0$ et le théorème de Cramer donne l'unique solution $\begin{aligned}x&=\frac{(m-2)(m+4)}{(m-2)(m+2)}\\&=\frac{m+4}{m+2},\\y&=\frac{2(m-2)}{(m-2)(m+2)}\\&=\frac{2}{m+2}.\end{aligned}$
Contrôle pour $m=0$ : le système devient $2y=2$ , $2x=4$ , soit $(2\,;1)$ , et les formules donnent $\frac42=2$ et $\frac22=1$ .
Pour $m=2$ : $\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$ . Le système s'écrit $2x+2y=4$ deux fois : une infinité de solutions, les couples $(x\,;2-x)$ . Les deux droites sont confondues.
Pour $m=-2$ : $\Delta=0$ et $\Delta_x=(-4)\times2=-8\neq0$ . Le système $-2x+2y=0$ , $2x-2y=4$ n'a aucune solution : la première donne $x-y=0$ , la seconde $x-y=2$ . Les droites sont strictement parallèles.

Exercice 14 : Les tarifs d’un riad à Marrakech

Moyen

Un riad propose des chambres doubles et des suites, chacune à un prix fixe par nuit. Un premier groupe paie 1 960 DH pour 3 nuits en chambre double et 2 nuits en suite ; un second paie 2 240 DH pour 2 nuits en chambre double et 3 nuits en suite.

Mettre le problème en système et calculer le prix d'une nuit dans chaque type de chambre.
Une famille réserve 4 nuits en chambre double et veut ajouter des nuits en suite sans dépasser un budget de 3 000 DH. Combien de nuits en suite peut-elle réserver au plus ?
Un troisième groupe a payé 3 080 DH pour 9 nuits au total. Combien de nuits a-t-il passées dans chaque type de chambre ?

Voir le corrigé

Soit $x$ le prix d'une nuit en chambre double et $y$ celui d'une nuit en suite, en dirhams : $\begin{cases}3x+2y=1960\\2x+3y=2240\end{cases}$
$\Delta=9-4=5$ , $\Delta_x=1960\times3-2240\times2=1400$ , $\Delta_y=3\times2240-2\times1960=2800$ . Donc $x=\frac{1400}{5}=280$ et $y=\frac{2800}{5}=560$ : 280 DH la nuit en chambre double, 560 DH la nuit en suite. Contrôle : $840+1120=1960$ et $560+1680=2240$ .
Avec $n$ nuits en suite, le coût est $4\times280+560n=1120+560n$ . On veut $1120+560n\leq3000$ , soit $n\leq\frac{1880}{560}=\frac{47}{14}\approx3{,}36$ . Comme $n$ est un entier, la famille peut réserver au plus 3 nuits en suite (pour 2 800 DH ; 4 nuits coûteraient 3 360 DH).
Soit $p$ le nombre de nuits en chambre double et $q$ en suite : $p+q=9$ et $280p+560q=3080$ . En divisant la seconde équation par 280 : $p+2q=11$ . En soustrayant la première : $q=2$ , puis $p=7$ . Le groupe a passé 7 nuits en chambre double et 2 en suite. Contrôle : $1960+1120=3080$ .

Régionnement du plan et programmation linéaire

Convention choisie ici, à annoncer sur une copie : on hachure la partie du plan qui ne convient pas, et la région des solutions reste claire. Chaque frontière se trace avec deux points et chaque côté se choisit avec la règle du point test. L'exercice 16 applique le régionnement à un problème de programmation linéaire.

Exercice 15 : Un triangle défini par trois inéquations

Moyen

Dans un repère orthonormé, on considère le système

\begin{cases}x-y+1\geq0\\x+y-5\leq0\\y\geq1\end{cases}

Tracer les droites $D_1\ :\ x-y+1=0$ , $D_2\ :\ x+y-5=0$ et $D_3\ :\ y=1$ .
Représenter l'ensemble des points $M(x\,;y)$ dont les coordonnées vérifient le système.
Calculer les coordonnées des sommets de la région obtenue.
Les points $M(3\,;1{,}5)$ et $N(1\,;2{,}5)$ appartiennent-ils à la région ?
Calculer l'aire de la région, en unités d'aire.

Voir le corrigé

$D_1$ passe par $(-1\,;0)$ et $(0\,;1)$ ; $D_2$ passe par $(5\,;0)$ et $(0\,;5)$ ; $D_3$ est la droite horizontale qui passe par $(0\,;1)$ .
Points tests :
- en $O$ , $0-0+1=1\geq0$ est vrai : on garde le côté de $D_1$ qui contient $O$ , droite comprise ;
- en $O$ , $0+0-5=-5\leq0$ est vrai : on garde le côté de $D_2$ qui contient $O$ ;
- $y\geq1$ : on garde les points situés sur $D_3$ ou au-dessus.
On hachure les trois parties exclues ; la région restante est un triangle, bords compris.

Région solution : le triangle $ABC$ , bords compris ; $M$ est dedans, $N$ dehors.
$A=D_1\cap D_3$ : $y=1$ et $x-1+1=0$ , donc $A(0\,;1)$ . $B=D_2\cap D_3$ : $y=1$ et $x+1-5=0$ , donc $B(4\,;1)$ . $C=D_1\cap D_2$ : on résout $\begin{cases}x-y=-1\\x+y=5\end{cases}$ ; $\Delta=1+1=2$ , $\Delta_x=-1+5=4$ , $\Delta_y=5+1=6$ , donc $C(2\,;3)$ .
Pour $M(3\,;1{,}5)$ : $3-1{,}5+1=2{,}5\geq0$ , $3+1{,}5-5=-0{,}5\leq0$ et $1{,}5\geq1$ : les trois inéquations sont vérifiées, $M$ est dans la région. Pour $N(1\,;2{,}5)$ : $1-2{,}5+1=-0{,}5\lt0$ , la première inéquation n'est pas vérifiée, $N$ n'est pas dans la région.
La base $[AB]$ est horizontale de longueur $4-0=4$ et la hauteur issue de $C$ vaut $3-1=2$ . L'aire est $\frac{4\times2}{2}=4$ unités d'aire.

Exercice 16 : Programmation linéaire dans une coopérative

Difficile

Une coopérative d'Essaouira prépare deux sortes de coffrets. Chaque coffret, quelle que soit sa sorte, contient un flacon d'huile d'argan, et la coopérative dispose de 10 flacons. Un coffret A demande 2 heures d'emballage, un coffret B 1 heure, et l'équipe dispose de 14 heures. Un coffret A rapporte un gain de 30 DH, un coffret B un gain de 20 DH. On note

x

y

les nombres de coffrets A et B préparés.

Justifier que $x$ et $y$ vérifient $x\geq0$ , $y\geq0$ , $x+y\leq10$ et $2x+y\leq14$ .
Représenter la région des couples possibles et calculer ses sommets.
Calculer le gain $G=30x+20y$ en chacun des sommets.
Vérifier que $30x+20y=10(x+y)+10(2x+y)$ . En déduire que le gain ne dépasse jamais 240 DH, puis conclure.

Voir le corrigé

Les nombres de coffrets sont positifs ou nuls. Chaque coffret utilise un flacon : $x+y\leq10$ . Les heures d'emballage donnent $2x+1\times y\leq14$ .
Droites frontières : $x+y=10$ par $(10\,;0)$ et $(0\,;10)$ ; $2x+y=14$ par $(7\,;0)$ et $(0\,;14)$ . Le point test $O$ vérifie les deux inégalités, donc on garde le côté de $O$ . Sommets : $O(0\,;0)$ ; $(7\,;0)$ sur l'axe des abscisses (la contrainte $2x+y\leq14$ y est la plus forte, car $7\lt10$ ) ; $(0\,;10)$ sur l'axe des ordonnées ( $10\lt14$ ) ; et l'intersection des deux droites : en soustrayant $x+y=10$ de $2x+y=14$ , on obtient $x=4$ , puis $y=6$ .

Les coffrets possibles et la droite de bénéfice 240 DH, qui ne touche la région qu'en $(4\,;6)$ .
$G(0\,;0)=0$ , $G(7\,;0)=210$ , $G(4\,;6)=120+120=240$ et $G(0\,;10)=200$ dirhams.
$10(x+y)+10(2x+y)=10x+10y+20x+10y=30x+20y$ . Pour un couple possible, $x+y\leq10$ et $2x+y\leq14$ , donc $G\leq10\times10+10\times14=240$ . Le maximum 240 DH est atteint en $(4\,;6)$ : il faut préparer 4 coffrets A et 6 coffrets B. L'égalité $G=240$ exige $x+y=10$ et $2x+y=14$ à la fois, donc ce choix est le seul optimal.

Questions flash : vérifier les réflexes avant le devoir

Quatre questions sans calculatrice, une seule bonne réponse chacune, pour vérifier les réflexes du chapitre avant le devoir : nombre de solutions, somme et produit, déterminant, point test.

Question 1 : Nombre de solutions

QCM

Dans

\mathbb R

, l'équation

7x^2-3x+1=0

admet :

deux solutions distinctes
une seule solution
aucune solution
une infinité de solutions

Voir le corrigé

Réponse C.

\Delta=(-3)^2-4\times7\times1=9-28=-19\lt0

, donc l'équation n'a aucune solution réelle. Une équation du second degré n'a jamais une infinité de solutions : elle en a au plus deux.

Question 2 : Somme et produit

QCM

L'équation

2x^2-9x+4=0

a deux racines

x_1

x_2

. Leur somme

S

et leur produit

P

valent :

$S=\frac92$ et $P=2$
$S=-\frac92$ et $P=2$
$S=\frac92$ et $P=4$
$S=-\frac92$ et $P=-2$

Voir le corrigé

Réponse A.

S=-\frac ba=-\frac{-9}{2}=\frac92

P=\frac ca=\frac42=2

. Contrôle : les racines sont 4 et

\frac12

(

\Delta=81-32=49

), de somme

\frac92

et de produit 2. La réponse B oublie le signe moins de

-\frac ba

, la réponse C oublie de diviser

c

par

a

Question 3 : Le déterminant de x

QCM

Pour le système

\begin{cases}4x-y=2\\x+3y=7\end{cases}

, le déterminant

\Delta_x

de la méthode de Cramer est :

$\begin{vmatrix}2&-1\\7&3\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}4&2\\1&7\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}-1&2\\3&7\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}4&-1\\1&3\end{vmatrix}$

Voir le corrigé

Réponse A. On part de

\Delta

(réponse D) et l'on remplace la colonne des coefficients de

x

(4\,;1)

, par celle des seconds membres

(2\,;7)

. La réponse B est

\Delta_y

. Ici

\Delta=12+1=13

\Delta_x=6+7=13

\Delta_y=28-2=26

, d'où la solution

(1\,;2)

; contrôle :

4-2=2

1+6=7

Question 4 : Un point de la région

QCM

Lequel de ces points vérifie l'inéquation

2x-3y+6\gt0

$(0\,;3)$
$(-3\,;0)$
$(1\,;2)$
$(-2\,;1)$

Voir le corrigé

Réponse C :

2-6+6=2\gt0

. Pour les autres :

0-9+6=-3

-6-0+6=0

(le point est sur la droite, exclu car l'inégalité est stricte) et

-4-3+6=-1

Problème de synthèse type devoir surveillé

Ce sujet d'entraînement combine les polynômes, chapitre qui précède habituellement celui-ci, et les équations, comme un devoir surveillé du premier semestre. La partie A demande les méthodes des exercices corrigés sur les polynômes : racine évidente, identification ou tableau de Horner. Il n'est pas tiré d'un devoir officiel. Durée conseillée : 1 h 30, calculatrice non nécessaire.

Problème : polynôme de degré 3, inéquation et système

Type devoir

Partie A. On considère le polynôme

P(x)=3x^3-4x^2-17x+6

Vérifier que 3 est une racine de $P$ . (1 point)
Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que, pour tout réel $x$ , $P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)$ . (3 points)
Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $P(x)=0$ . (3 points)
Dresser le tableau de signes de $P(x)$ et résoudre l'inéquation $P(x)\leq0$ . (4 points)
En déduire les solutions de l'équation $3x^6-4x^4-17x^2+6=0$ . (2 points)

Partie B.

Résoudre par la méthode du déterminant le système $\begin{cases}3x-2y=8\\4x+y=7\end{cases}$ (3 points)
En déduire les couples $(x\,;y)$ de réels tels que $3x^2-2y=8$ et $4x^2+y=7$ . (2 points)
Interpréter le résultat de la question 6 pour les droites $D\ :\ 3x-2y=8$ et $D^{\prime}\ :\ 4x+y=7$ , puis dire si l'origine $O$ vérifie à la fois $3x-2y\leq8$ et $4x+y\leq7$ . (2 points)

Total : 20 points.

Indication

Question 5 : remarquer que

3x^6-4x^4-17x^2+6=P(x^2)

. Question 7 : poser

X=x^2

Voir le corrigé

$P(3)=3\times27-4\times9-17\times3+6=81-36-51+6=0$ : 3 est racine de $P$ , donc $P(x)$ est divisible par $x-3$ .
On développe : $(x-3)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c$ . Par identification des coefficients avec $P$ : $a=3$ ; $b-3a=-4$ , donc $b=5$ ; $-3c=6$ , donc $c=-2$ ; contrôle sur le coefficient de $x$ : $c-3b=-2-15=-17$ . Ainsi $P(x)=(x-3)(3x^2+5x-2)$ . Le tableau de Horner donne les mêmes coefficients : $3$ , puis $3\times3-4=5$ , puis $5\times3-17=-2$ , et le reste $-2\times3+6=0$ .
$P(x)=0\iff x-3=0$ ou $3x^2+5x-2=0$ . Pour le trinôme, $\Delta=25+24=49$ , racines $\frac{-5-7}{6}=-2$ et $\frac{-5+7}{6}=\frac13$ . $S=\left\{-2\,;\frac13\,;3\right\}$ et $P(x)=(x-3)(x+2)(3x-1)$ .
Le trinôme $T(x)=3x^2+5x-2$ est positif à l'extérieur de ses racines ( $a=3\gt0$ ) ; $x-3$ est positif pour $x\gt3$ .
$x$ $-\infty$ $-2$ $\frac13$ $3$ $+\infty$
$x-3$ $-$ | $-$ | $-$ $0$ $+$
$T(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ | $+$
$P(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$P(x)\leq0\iff x\in\mathopen{]}-\infty\,;-2]\cup\left[\frac13\,;3\right]$ . Contrôle : $P(0)=6\gt0$ et 0 est bien entre $-2$ et $\frac13$ , où $P$ est positif.
$3x^6-4x^4-17x^2+6=P(x^2)$ . Donc l'équation équivaut à $x^2\in\left\{-2\,;\frac13\,;3\right\}$ . Le cas $x^2=-2$ est impossible ; $x^2=\frac13$ donne $x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}$ ; $x^2=3$ donne $x=\pm\sqrt3$ . $S=\left\{-\sqrt3\,;-\frac{\sqrt3}{3}\,;\frac{\sqrt3}{3}\,;\sqrt3\right\}$ .
$\Delta=3\times1-4\times(-2)=11\neq0$ , $\Delta_x=8\times1-7\times(-2)=22$ , $\Delta_y=3\times7-4\times8=-11$ . Donc $x=2$ et $y=-1$ : $S=\{(2\,;-1)\}$ . Contrôle : $6+2=8$ et $8-1=7$ .
Avec $X=x^2$ , le système devient $3X-2y=8$ , $4X+y=7$ , donc $X=2$ et $y=-1$ d'après la question 6. Alors $x^2=2$ , soit $x=\sqrt2$ ou $x=-\sqrt2$ . Les solutions sont $(\sqrt2\,;-1)$ et $(-\sqrt2\,;-1)$ .
Le déterminant du système vaut $11\neq0$ : les droites $D$ et $D^{\prime}$ sont sécantes, et leur point d'intersection est $(2\,;-1)$ . Pour $O(0\,;0)$ : $0\leq8$ et $0\leq7$ sont vrais, donc $O$ appartient aux deux demi-plans fermés, de frontières $D$ et $D^{\prime}$ , définis par ces inéquations.

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$x$	$-\infty$		$\frac23$		$4$		$+\infty$
$3x-2$		$-$	$0$	$+$	\|	$+$
$4-x$		$+$	\|	$+$	$0$	$-$
produit		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$x$	$-\infty$		$-2$		$\frac13$		$3$		$+\infty$
$x-3$		$-$	\|	$-$	\|	$-$	$0$	$+$
$T(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	\|	$+$
$P(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$