Dérivation et convexité Terminale : cours

La dérivée première décrit la pente ; la dérivée seconde décrit l'évolution de cette pente. Elle permet de distinguer une courbe qui se courbe vers le haut d'une courbe qui se courbe vers le bas, puis de repérer un changement de convexité.

Ce chapitre associe calcul, tableaux de signes et lecture graphique. Une annulation de la dérivée seconde fournit seulement un candidat pour un point d'inflexion : le changement de signe est l'information décisive.

Table des Matières

Dériver une fonction composée

Règle de chaîne

Si u est dérivable et v dérivable sur les valeurs prises par u, alors $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$ .

Pour $f(x)=e^{3x^2-1}$ , la fonction extérieure est l'exponentielle et la fonction intérieure vaut $3x^2-1$ . On obtient $f'(x)=6x e^{3x^2-1}$ . Nommer l'intérieur avant de dériver évite d'oublier le facteur $u'(x)$ , erreur fréquente avec l'exponentielle, le logarithme et les puissances composées.

Définir la convexité de plusieurs façons

Courbe convexe

Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est située sous ses cordes. Pour une fonction dérivable, cela équivaut à la croissance de sa dérivée et à la position de la courbe au-dessus de ses tangentes. Pour une fonction deux fois dérivable, cela équivaut à la positivité de la dérivée seconde.

f''(x)\geq0\text{ sur }I\Longrightarrow f\text{ convexe sur }I

Les équivalences doivent être utilisées sous les hypothèses indiquées. Pour une fonction concave, les inégalités et les positions sont inversées : la dérivée est décroissante, la dérivée seconde est négative et la courbe se situe sous ses tangentes.

Construire le tableau de convexité

Calculer $f'$ , puis $f''$ sur le domaine.
Résoudre $f''(x)=0$ et étudier son signe.
Traduire le signe positif par convexe et le signe négatif par concave.
Retenir comme abscisses d'inflexion seulement les valeurs où $f''$ change de signe.
Calculer l'ordonnée du point si ses coordonnées sont demandées.

Pour un produit ou un quotient, il est souvent inutile de développer complètement : une factorisation de $f''$ rend le tableau de signes plus sûr. Le domaine doit apparaître avant le tableau, notamment lorsqu'une fonction logarithme ou un dénominateur intervient.

Reconnaître un point d’inflexion

Changement de convexité

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité. Lorsque la dérivée seconde existe, son changement de signe fournit le critère pratique.

La condition $f''(a)=0$ n'est pas suffisante. Pour $f(x)=x^4$ , la dérivée seconde s'annule en 0 mais reste positive de part et d'autre ; la fonction demeure convexe. Pour $f(x)=x^3$ , elle passe de négative à positive et l'origine est un point d'inflexion.

Convexité, concavité et inflexion — La pente cesse de décroître puis augmente après le point d'inflexion.

Démontrer une inégalité par la tangente

Position par rapport aux tangentes

Si f est convexe et dérivable sur I, alors pour tout a et tout x de I, $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ .

Pour l'exponentielle, convexe sur les réels, la tangente en 0 a pour équation $y=1+x$ . On en déduit $e^x\geq1+x$ . Ce raisonnement est une preuve globale : il ne repose pas sur un dessin approximatif. Pour une fonction concave, la tangente fournit au contraire une majoration.

Contrôler calcul et interprétation

Erreur fréquente : conclure à un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule. Il faut établir le changement de convexité.

Contrôle utile : sur le graphique, suivre l'évolution des pentes des tangentes : croissantes pour une fonction convexe, décroissantes pour une fonction concave.

Les bases du calcul sont reprises dans la dérivation et les tangentes de Première. Une étude complète combine souvent convexité et les limites de fonctions. Ces outils seront appliqués dans l'étude du logarithme.

La dérivée composée et la convexité sont traitées dans le cadre de le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.