Calcul intégral Terminale : cours et méthodes

L'intégrale réunit une lecture géométrique et un calcul exact. Pour une fonction continue positive, elle mesure l'aire sous la courbe ; les primitives permettent ensuite de calculer cette aire sans la découper en une infinité de rectangles.

Lorsque la fonction change de signe, l'intégrale devient une aire algébrique. Les zones sous l'axe comptent négativement, ce qui oblige à distinguer valeur de l'intégrale et aire géométrique totale.

Table des Matières

Définir l’intégrale à partir de l’aire

Intégrale d’une fonction positive

Si f est continue et positive sur $[a,b]$ , $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ , $x=b$ .

Les méthodes des rectangles encadrent ou approchent cette aire. En augmentant le nombre de subdivisions, les sommes se rapprochent d'une valeur limite. Cette construction explique la notation et le lien avec les algorithmes, même si les calculs exacts utilisent ensuite une primitive.

Calculer avec une primitive

Théorème fondamental

Si f est continue sur $[a,b]$ et F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

La constante d'une primitive disparaît dans la différence. L'ordre des bornes compte : inverser a et b change le signe. Pour contrôler un résultat avec une fonction positive et a inférieur à b, l'intégrale doit être positive.

Propriétés de linéarité et relation de Chasles

Propriété	Écriture
Linéarité	$\int(af+bg)=a\int f+b\int g$
Chasles	$\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$
Ordre	$\int_b^a f=-\int_a^b f$
Positivité	$f\geq0\Rightarrow\int_a^b f\geq0$

La comparaison se transmet à l'intégrale : si $f\leq g$ sur [a,b], alors l'intégrale de f est inférieure ou égale à celle de g. Cette propriété permet d'encadrer une valeur sans connaître de primitive explicite.

Distinguer intégrale et aire

Si f est négative sur un intervalle, son intégrale y est négative. Pour calculer l'aire entre la courbe et l'axe, on intègre $|f|$ ou on découpe aux zéros de f puis on change le signe des contributions négatives. Entre deux courbes, on détermine d'abord laquelle est au-dessus, puis on intègre la différence « fonction supérieure moins fonction inférieure ».

Aire algébrique et changement de signe — La zone au-dessus de l'axe contribue positivement, celle du dessous négativement.

Une intégrale nulle avec une aire non nulle

Pour $f(x)=x-1$ sur [0,2], une primitive est $F(x)=x^2/2-x$ . L'intégrale vaut $F(2)-F(0)=0$ . Pourtant la courbe délimite deux triangles d'aire $1/2$ chacun. Le signe change en 1 : l'aire totale vaut $-\int_0^1(x-1)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx=1/2+1/2=1$ . Ce calcul distingue la compensation algébrique de la mesure géométrique.

Valeur moyenne et intégration par parties

Valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur $[a,b]$ , avec $a\lt b$ , est $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .

Elle correspond à la hauteur d'un rectangle ayant la même aire algébrique. Pour calculer certaines intégrales de produits, l'intégration par parties utilise :

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Le choix de u et v' doit simplifier la nouvelle intégrale. La formule fait partie des contenus du programme ; elle doit être appliquée en indiquant que les fonctions utilisées sont dérivables sur l'intervalle.

Approximation numérique et contrôles

Rectangles, milieux et trapèzes

Un programme peut partager [a,b] en n intervalles et additionner des aires approchées. Le pas vaut $(b-a)/n$ . La méthode du point milieu est souvent plus précise que les rectangles gauches à nombre de subdivisions égal, mais aucun résultat numérique ne doit être présenté comme exact sans estimation ou contexte.

Erreur fréquente : confondre aire géométrique et intégrale lorsque la fonction change de signe.

Contrôle utile : dériver la primitive, contrôler le signe attendu et comparer l'ordre de grandeur avec un rectangle simple.

Le calcul exact repose sur les primitives. Les primitives trigonométriques sont issues de les fonctions sinus et cosinus. Les sommes de rectangles sont programmées dans les approximations en Python.

L'aire, la valeur moyenne et l'intégration par parties suivent le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.