Fonction exponentielle Première : cours et propriétés

La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ . On la note $\exp$ et on écrit $\exp(x)=e^x$ , avec $e=\exp(1)\approx2{,}718$ . Elle transforme les sommes en produits ( $e^{a+b}=e^a\times e^b$ ), elle est strictement positive et strictement croissante, et la dérivée de $t\mapsto e^{kt}$ est $t\mapsto k\,e^{kt}$ .

Exemple : $e^3\times e^{-1}=e^{3+(-1)}=e^2$ , et la fonction $f(t)=5e^{0{,}2t}$ a pour dérivée $f'(t)=5\times0{,}2\,e^{0{,}2t}=e^{0{,}2t}$ , qui est strictement positive : $f$ est croissante.

Vous saurez ensuite simplifier, résoudre, dériver et modéliser avec l'exponentielle. Prérequis : la dérivation en Première, en particulier la dérivée de $g(ax+b)$ , et les règles de calcul sur les puissances.

Sommaire11 parties

Définition de la fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que

f'=f\qquad\text{et}\qquad f(0)=1.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée $\exp$ . L'existence est admise ; l'unicité est démontrée en fin de page.

La définition dit deux choses : en tout point, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point ( $\exp'(x)=\exp(x)$ ), et la courbe passe par $(0\,;1)$ .

Exemple 1 : tangente en 0

$\exp(0)=1$ et $\exp'(0)=\exp(0)=1$ . La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a donc pour équation $y=1\times(x-0)+1$ , soit $y=x+1$ .

Par approximation affine, pour $h$ proche de 0 : $e^h\approx1+h$ . Par exemple $e^{0{,}01}\approx1{,}01$ (la calculatrice donne $1{,}01005\ldots$ ).

Propriétés algébriques de l’exponentielle

Relation fonctionnelle et conséquences

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier relatif $n$ :

\begin{aligned}\exp(a+b)&=\exp(a)\times\exp(b)\\ \exp(-a)&=\frac{1}{\exp(a)}\\ \exp(a-b)&=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}\\ \exp(na)&=\big(\exp(a)\big)^n\end{aligned}

En particulier, $\exp(a)\times\exp(-a)=\exp(0)=1$ : l'exponentielle ne s'annule jamais.

Ces règles se déduisent toutes de la première. Par exemple $\exp(a)\times\exp(-a)=\exp(a-a)=1$ donne la deuxième. La quatrième s'obtient en répétant la première : $\exp(2a)=\exp(a+a)=\exp(a)^2$ , $\exp(3a)=\exp(2a)\exp(a)=\exp(a)^3$ , et ainsi de suite pour $n\geq1$ . Pour $n=0$ , les deux membres valent 1. Pour $n$ négatif, $-n\geq1$ et $\exp(na)=\dfrac1{\exp(-na)}=\dfrac1{\exp(a)^{-n}}=\exp(a)^n$ .

Le nombre e et la notation exponentielle

Le nombre e

On note $e=\exp(1)$ . Une valeur approchée est $e\approx2{,}71828$ .

Avec $a=1$ , la dernière propriété donne $\exp(n)=\exp(1)^n=e^n$ pour tout entier $n$ . On prolonge cette écriture à tous les réels : on note $\exp(x)=e^x$ . Les règles de calcul ressemblent alors à celles des puissances :

Puissances	Exponentielle
$a^{m}\times a^{p}=a^{m+p}$	$e^x\times e^y=e^{x+y}$
$a^{-m}=\dfrac1{a^m}$	$e^{-x}=\dfrac1{e^x}$
$\dfrac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$	$\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$
$(a^m)^p=a^{mp}$	$(e^x)^n=e^{nx}$

On a aussi $e^0=1$ , $e^1=e$ et $\left(e^{x/2}\right)^2=e^x$ , donc $e^{1/2}=\sqrt e$ (car $e^{1/2}\gt 0$ ).

Exemple 2 : simplifier des expressions

Pour tout réel $x$ :

\begin{aligned}A&=e^{2x+1}\times e^{-x+3}\\&=e^{2x+1-x+3}=e^{x+4}\\ B&=\frac{(e^x)^3}{e^{x-2}}=\frac{e^{3x}}{e^{x-2}}\\&=e^{3x-(x-2)}=e^{2x+2}\\ C&=e^x\left(e^x+e^{-x}\right)\\&=e^{2x}+e^0=e^{2x}+1\\ D&=\left(e^x+e^{-x}\right)^2\\&=e^{2x}+2+e^{-2x}\end{aligned}

Pour $D$ , le double produit vaut $2\,e^x e^{-x}=2e^0=2$ .

Exemple 3 : démontrer une égalité

Montrons que, pour tout réel $x$ , $\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac1{1+e^{-x}}$ . On multiplie numérateur et dénominateur du membre de gauche par $e^{-x}$ , qui n'est pas nul :

\begin{aligned}\frac{e^x}{e^x+1}&=\frac{e^x\times e^{-x}}{(e^x+1)\times e^{-x}}\\&=\frac{1}{1+e^{-x}}.\end{aligned}

Signe, sens de variation et courbe

Positivité et stricte croissance

Pour tout réel $x$ , $e^x\gt 0$ . La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ .

La croissance vient de la définition : $\exp'(x)=\exp(x)\gt 0$ pour tout $x$ . La courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, passe par $(0\,;1)$ et $(1\,;e)$ , et monte de plus en plus vite : plus la courbe est haute, plus sa pente est grande.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$\exp'(x)$		$+$		$+$
$e^x$		$\nearrow$	$1$	$\nearrow$

Courbe de la fonction exponentielle — La fonction exponentielle reste positive, passe par le point (0,1) et sa croissance accélère.

Comparer, résoudre des équations et des inéquations

Comme $\exp$ est strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ :

\begin{aligned}e^a=e^b&\iff a=b\\ e^a\lt e^b&\iff a\lt b\end{aligned}

En particulier $e^x\gt 1\iff x\gt 0$ , et $e^x\lt 1\iff x\lt 0$ .

Condition d’utilisation

Ces équivalences comparent deux exponentielles. Une équation comme $e^x=3$ ne se résout pas ainsi en Première (il faudra le logarithme en Terminale) : on se contente d'un encadrement à la calculatrice. Une équation $e^{u}=k$ avec $k\leq0$ n'a jamais de solution.

Exemple 4 : équations

$e^{3x-1}=e^{x+5}\iff3x-1=x+5\iff x=3$ . $S=\{3\}$ .
$e^{x^2}=e^{4x-3}\iff x^2-4x+3=0$ . Racine évidente 1, produit des racines 3 : $S=\{1\,;3\}$ .
$e^{2x}=-1$ n'a aucune solution, puisque $e^{2x}\gt 0$ . $S=\varnothing$ .

Exemple 5 : inéquations

$e^{2x}\lt e^{1-x}\iff2x\lt 1-x\iff x\lt \frac13$ . $S=\mathopen{]}-\infty\,;\tfrac13\mathclose{[}$ .
$e^{x^2-x}\leq e^2\iff x^2-x-2\leq0$ . Les racines de $x^2-x-2$ sont $-1$ et $2$ , et ce trinôme est négatif entre ses racines : $S=[-1\,;2]$ .
$(x-3)e^x\gt 0\iff x-3\gt 0$ , car $e^x\gt 0$ ne change pas le signe. $S=\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$ .

Dérivée de exp(at) et de exp(ax + b)

Formule : dérivée de exp(ax + b)

Pour tous réels $a$ et $b$ , la fonction $x\mapsto e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb R$ et

\left(e^{ax+b}\right)'=a\,e^{ax+b}.

En particulier, la dérivée de $t\mapsto e^{at}$ est $t\mapsto a\,e^{at}$ .

C'est la formule de dérivation de $x\mapsto g(ax+b)$ appliquée à $g=\exp$ : $g'(ax+b)=e^{ax+b}$ , multiplié par $a$ . Elle vaut sur tout $\mathbb R$ , sans condition sur $a$ et $b$ ; pour $a=0$ , on retrouve la dérivée nulle d'une constante.

Exemple 6 : trois dérivées

$f(t)=3e^{-2t}$ : $f'(t)=3\times(-2)e^{-2t}=-6e^{-2t}$ .
$g(x)=x\,e^x$ (produit, $u=x$ , $v=e^x$ ) : $g'(x)=1\times e^x+x\,e^x=(x+1)e^x$ .
$h(x)=\dfrac{e^x}{x}$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ (quotient) : $h'(x)=\dfrac{e^x\times x-e^x\times1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$ .

Exemple 7 : variations d’un produit par exp(-x)

Soit $f(x)=(2x-1)e^{-x}$ sur $\mathbb R$ . Avec $u=2x-1$ , $u'=2$ , $v=e^{-x}$ , $v'=-e^{-x}$ :

\begin{aligned}f'(x)&=2e^{-x}-(2x-1)e^{-x}\\&=(3-2x)e^{-x}.\end{aligned}

Comme $e^{-x}\gt 0$ , $f'(x)$ a le signe de $3-2x$ : positif avant $\frac32$ , négatif après.

$x$	$-\infty$		$\frac32$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	$M$	$\searrow$

Le maximum vaut $M=f\left(\frac32\right)=2e^{-3/2}\approx0{,}446$ . Mettre $e^{-x}$ en facteur dès le début rend le signe immédiat.

Vérifier un calcul avec l’exponentielle

Simplification : tester l'égalité obtenue en $x=0$ (où $e^0=1$ ), puis en $x=1$ à la calculatrice.
Dérivée de $e^{kt}$ : en $t=0$ , elle doit valoir $k$ , la pente de la tangente en $(0\,;1)$ .
Signe : dans un produit $u(x)\,e^{\ldots}$ , seul le facteur $u(x)$ peut changer de signe.

Fonctions exp(kt) et exp(-kt)

Variations selon le signe de k

Soit $k\gt 0$ . La fonction $t\mapsto e^{kt}$ a pour dérivée $k\,e^{kt}\gt 0$ : elle est strictement croissante. La fonction $t\mapsto e^{-kt}$ a pour dérivée $-k\,e^{-kt}\lt 0$ : elle est strictement décroissante.

Toutes ces courbes passent par $(0\,;1)$ , et la tangente en ce point a pour coefficient directeur $k$ ou $-k$ . Plus $k$ est grand, plus la croissance (ou la décroissance) est rapide. La courbe de $t\mapsto e^{-kt}$ est symétrique de celle de $t\mapsto e^{kt}$ par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $e^{-k\times t}=e^{k\times(-t)}$ .

Courbes de t ↦ eᵏᵗ pour k = 1, 0,5, −0,5 et −1 : toutes passent par (0 ; 1), croissantes pour k positif, décroissantes pour k négatif — Courbes de $t\mapsto e^{kt}$ pour $k=1$ , $0{,}5$ , $-0{,}5$ et $-1$ . Elles passent toutes par $(0\,;1)$ ; celles de $k$ et $-k$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Lien avec les suites géométriques

La suite exp(na) est géométrique

Pour tout réel $a$ , la suite $(u_n)$ définie par $u_n=e^{na}$ est géométrique de raison $q=e^a$ et de premier terme $u_0=1$ . Plus généralement, si $f(t)=C\,e^{kt}$ , la suite $u_n=f(n)$ est géométrique de raison $e^k$ .

En effet $u_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^{na}\times e^{a}=u_n\times e^a$ . Si $a\gt 0$ , alors $e^a\gt 1$ et la suite est croissante ; si $a\lt 0$ , $0\lt e^a\lt 1$ et elle est décroissante. Les suites géométriques, étudiées dans le cours sur les suites arithmétiques et géométriques, sont donc la version « à temps entier » des fonctions $t\mapsto Ce^{kt}$ .

Exemple 8 : population observée chaque année

Une population est modélisée par $P(t)=2\,000\,e^{0{,}03t}$ , où $t$ est en années. Pour tout entier $n$ :

\begin{aligned}\frac{P(n+1)}{P(n)}&=\frac{2\,000\,e^{0{,}03n+0{,}03}}{2\,000\,e^{0{,}03n}}\\&=e^{0{,}03}\approx1{,}0305.\end{aligned}

Les valeurs annuelles forment une suite géométrique de raison $e^{0{,}03}$ : la population augmente d'environ $3{,}05\,\%$ par an. Après 10 ans, $P(10)=2\,000\,e^{0{,}3}\approx2\,700$ .

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

Une grandeur $f(t)=C\,e^{kt}$ vérifie $f'(t)=k\,C\,e^{kt}=k\,f(t)$ : sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur. C'est le cas d'une population sans contrainte, d'un médicament éliminé par l'organisme ou d'un noyau radioactif. Le coefficient $C=f(0)$ est la valeur initiale ; le signe de $k$ distingue croissance ( $k\gt 0$ ) et décroissance ( $k\lt 0$ ).

Exemple 9 : élimination d’un médicament

La quantité de médicament dans le sang, en mg, est $Q(t)=20e^{-0{,}1t}$ , où $t$ est en heures.

Valeur initiale : $Q(0)=20$ mg.
$Q'(t)=20\times(-0{,}1)e^{-0{,}1t}=-2e^{-0{,}1t}\lt 0$ : la quantité diminue. On a aussi $Q'(t)=-0{,}1\,Q(t)$ .
D'une heure à la suivante, $\dfrac{Q(t+1)}{Q(t)}=e^{-0{,}1}\approx0{,}9048$ : la quantité baisse d'environ $9{,}5\,\%$ par heure.
Quand passe-t-on sous 5 mg ? $Q(t)\lt 5\iff e^{-0{,}1t}\lt 0{,}25$ . Un tableau de valeurs à la calculatrice donne $Q(13)\approx5{,}45$ et $Q(14)\approx4{,}93$ , puis $Q(13{,}8)\approx5{,}03$ et $Q(13{,}9)\approx4{,}98$ . Le seuil est franchi entre $13{,}8$ h et $13{,}9$ h.

Exemple 10 : temps de doublement

Une culture de bactéries compte $N(t)=500\,e^{0{,}7t}$ individus après $t$ heures. Comme $e^{0{,}7}\approx2{,}014$ , $N(t+1)\approx2{,}014\,N(t)$ : la population double à peu près toutes les heures. Après 5 heures, $N(5)=500e^{3{,}5}\approx16\,558$ , proche de $500\times2^5=16\,000$ .

Algorithmes : méthode d’Euler et approximation de e

Méthode d’Euler pour construire l’exponentielle

L'approximation affine $f(x+h)\approx f(x)+h\,f'(x)$ , avec $f'=f$ , donne $f(x+h)\approx(1+h)f(x)$ . En partant de $f(0)=1$ et en avançant avec un pas $h$ , on obtient des valeurs approchées

\begin{aligned}&y_0=1,\quad y_{k+1}=(1+h)\,y_k,\\&\text{donc}\quad y_k=(1+h)^k\approx e^{kh}.\end{aligned}

Les $y_k$ forment une suite géométrique de raison $1+h$ . En Python :

def euler(h, xmax):
    x, y = 0, 1
    points = [(x, y)]
    while x < xmax - 1e-9:
        y = y + h * y      # f(x+h) ≈ f(x) + h f'(x), avec f' = f
        x = x + h
        points.append((round(x, 6), y))
    return points

print(euler(0.1, 1)[-1])    # (1.0, 2.5937424601)
print(euler(0.01, 1)[-1])   # (1.0, 2.704813829421526)

Avec $h=0{,}1$ , on obtient $e\approx1{,}1^{10}\approx2{,}594$ ; avec $h=0{,}01$ , $e\approx1{,}01^{100}\approx2{,}705$ . Plus le pas est petit, plus la valeur approchée est proche de $e\approx2{,}718$ . La marge 1e-9 évite un pas de trop dû aux arrondis des flottants.

Approximation de e par (1 + 1/n) puissance n

Avec $h=\frac1n$ , il faut $n$ pas pour atteindre $x=1$ , et la méthode d'Euler donne exactement $\left(1+\frac1n\right)^n$ . Ces nombres se rapprochent de $e$ quand $n$ grandit :

$n$	$\left(1+\frac1n\right)^n$
$1$	$2$
$10$	$2{,}5937\ldots$
$100$	$2{,}7048\ldots$
$1\,000$	$2{,}7169\ldots$
$10^6$	$2{,}71828\ldots$

for n in [1, 10, 100, 1000, 10**6]:
    print(n, (1 + 1/n)**n)

La convergence est lente : l'erreur est de l'ordre de $\frac{e}{2n}$ , soit environ $0{,}0014$ pour $n=1\,000$ .

Erreurs fréquentes avec l’exponentielle

Transformer une somme d’exposants en somme d’exponentielles

Ligne fausse : $e^{x+2}=e^x+e^2$ . La relation fonctionnelle donne un produit : $e^{x+2}=e^x\times e^2$ . Test avec $x=0$ : $e^{2}\approx7{,}39$ , alors que $e^0+e^2\approx8{,}39$ .

Confondre le carré de exp(x) et exp(x au carré)

Ligne fausse : $(e^x)^2=e^{x^2}$ . On a $(e^x)^2=e^x\times e^x=e^{2x}$ . Test avec $x=1$ : $(e^1)^2=e^2\approx7{,}39$ , mais $e^{1^2}=e\approx2{,}72$ .

Dériver exp(3x) comme une puissance

Lignes fausses : $(e^{3x})'=e^{3x}$ , ou $(e^{3x})'=3x\,e^{3x-1}$ . La règle $(x^n)'=nx^{n-1}$ concerne un exposant constant ; ici l'exposant varie. La bonne dérivée est $3e^{3x}$ . Contrôle en 0 : la tangente à $t\mapsto e^{kt}$ en 0 a pour pente $k$ , donc 3 ici.

Croire que exp(-x) est négatif

Ligne fausse : « $e^{-2}\lt 0$ ». Le signe moins est dans l'exposant : $e^{-2}=\dfrac1{e^2}\approx0{,}135\gt 0$ . Une exponentielle est toujours strictement positive.

Tirer une conclusion fausse de la positivité

Ligne fausse : « $e^{2x+1}\gt 0$ , donc $2x+1\gt 0$ , donc $x\gt -\frac12$ . » La positivité ne dit rien sur l'exposant : $e^{2x+1}\gt 0$ est vraie pour tout $x$ , donc $S=\mathbb R$ . Pour comparer des exposants, il faut deux exponentielles : $e^a\lt e^b\iff a\lt b$ .

Pour aller plus loin : démonstrations des propriétés

Ces démonstrations utilisent un résultat du chapitre sur les variations, admis ici : une fonction dont la dérivée est nulle sur $\mathbb R$ est constante.

Démonstration : l’exponentielle ne s’annule jamais

Soit $g(x)=\exp(x)\exp(-x)$ . La dérivée de $x\mapsto\exp(-x)$ est $x\mapsto-\exp(-x)$ (forme $g(ax+b)$ avec $a=-1$ ). Par la formule du produit :

\begin{aligned}g'(x)&=\exp(x)\exp(-x)\\&\quad+\exp(x)\times\big(-\exp(-x)\big)\\&=0.\end{aligned}

Donc $g$ est constante, égale à $g(0)=\exp(0)^2=1$ . Ainsi $\exp(x)\exp(-x)=1$ pour tout $x$ , et $\exp(x)$ n'est jamais nul.

Démonstration : unicité de la fonction exponentielle

Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'=f$ et $f(0)=1$ . Posons $\varphi(x)=f(x)\exp(-x)$ . Alors

\begin{aligned}\varphi'(x)&=f'(x)\exp(-x)\\&\quad-f(x)\exp(-x)\\&=0,\end{aligned}

car $f'(x)=f(x)$ . Donc $\varphi$ est constante, égale à $\varphi(0)=1$ . Ainsi $f(x)=\dfrac1{\exp(-x)}=\exp(x)$ pour tout $x$ : $f$ est la fonction exponentielle.

Démonstration : la relation fonctionnelle

Fixons un réel $b$ et posons $k(x)=\exp(x+b)\exp(-x)$ . La dérivée de $x\mapsto\exp(x+b)$ est $x\mapsto\exp(x+b)$ , donc

\begin{aligned}k'(x)&=\exp(x+b)\exp(-x)\\&\quad-\exp(x+b)\exp(-x)\\&=0.\end{aligned}

$k$ est constante, égale à $k(0)=\exp(b)$ . Donc $\exp(x+b)=\dfrac{\exp(b)}{\exp(-x)}=\exp(b)\exp(x)$ . Avec $x=a$ , on obtient la relation.

Démonstration : positivité et stricte croissance

Pour tout réel $x$ , $\exp(x)=\exp\left(\frac x2+\frac x2\right)=\exp\left(\frac x2\right)^2\geq0$ . Comme $\exp(x)\neq0$ , on a $\exp(x)\gt 0$ . Enfin $\exp'=\exp\gt 0$ sur $\mathbb R$ , donc $\exp$ est strictement croissante.

Pour vous entraîner sur chacun de ces points, voyez les exercices corrigés sur la fonction exponentielle en Première.