Logarithme népérien Terminale : cours complet

Le logarithme népérien répond à une question inverse de l'exponentielle : quel exposant faut-il donner à e pour obtenir un réel positif donné ? Cette origine explique son domaine, ses propriétés algébriques et le lien symétrique entre les deux courbes.

La vigilance porte sur les conditions d'existence. Une transformation avec ln n'a de sens que pour des arguments strictement positifs ; ces contraintes doivent être posées avant de résoudre une équation ou une inéquation.

Table des Matières

Construire ln comme fonction réciproque

Définition du logarithme népérien

Pour tout réel x strictement positif, $\ln x$ est l'unique réel y tel que $e^y=x$ . Ainsi $\ln(e^y)=y$ pour tout réel y et $e^{\ln x}=x$ pour $x\gt 0$ .

On en déduit $\ln1=0$ et $\ln e=1$ . La fonction ln est définie uniquement sur $]0,+\infty[$ , strictement croissante, négative entre 0 et 1, puis positive au-delà de 1. Sa courbe est l'image de celle de l'exponentielle par la symétrie d'axe $y=x$ .

Transformer produits, quotients et puissances

Propriétés algébriques

Pour $a\gt 0$ , $b\gt 0$ et tout entier n, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$ .

Ces égalités transforment une multiplication en addition. Elles ne s'étendent pas à une somme : en général, $\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ . Avant de séparer un quotient, les deux arguments doivent être positifs ; une expression globale positive ne garantit pas que ses facteurs le soient séparément.

\ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x\ (x\gt 0)

Dérivée, variations et courbe

Dérivée du logarithme

La fonction ln est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $(\ln x)'=1/x$ . Plus généralement, $(\ln u)'=u'/u$ là où u est strictement positive.

Comme $1/x\gt 0$ sur le domaine, ln est strictement croissante. Sa dérivée seconde $-1/x^2$ est négative : la fonction est concave et sa courbe reste sous ses tangentes. La tangente en 1 a pour équation $y=x-1$ , d'où l'inégalité $\ln x\leq x-1$ pour tout x positif.

Exponentielle et logarithme, fonctions réciproques — Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite y égale x.

Résoudre une équation logarithmique

Déterminer les conditions qui rendent chaque logarithme défini.
Utiliser les propriétés algébriques seulement sous ces conditions.
Exploiter l'injectivité de ln ou appliquer l'exponentielle.
Résoudre l'équation obtenue.
Conserver uniquement les solutions compatibles avec le domaine initial.

Pour $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$ , le domaine impose $x\gt 1$ . On obtient $\ln(x^2-1)=\ln8$ , donc $x^2=9$ . Les candidats sont 3 et -3, mais seul 3 appartient au domaine. La vérification finale n'est pas facultative.

Inéquations, limites et croissances comparées

Comme ln est strictement croissante, $\ln u\leq\ln v$ équivaut à $u\leq v$ lorsque u et v sont positifs. On a $\ln x\to-\infty$ quand $x\to0^+$ et $\ln x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ . Malgré cette croissance, toute puissance positive de x domine ln à l'infini : $\ln x/x^\alpha\to0$ .

Une limite de référence à savoir transformer

La limite $x\ln x\to0$ quand $x\to0^+$ intervient dans des études de fonctions. Elle ne signifie pas que ln reste bornée : le facteur x tend vers zéro assez rapidement pour dominer la divergence logarithmique.

Contrôles avant de conclure

Erreur fréquente : écrire ln d'un nombre négatif ou nul au cours d'une résolution. Le domaine doit être conservé à chaque étape.

Contrôle utile : après résolution, substituer chaque candidat dans les arguments initiaux et vérifier leur stricte positivité.

La construction réciproque s'appuie sur la fonction exponentielle. Le comportement asymptotique complète les limites et croissances comparées. La primitive de $1/x$ sera réinvestie dans le calcul intégral.

Les propriétés exigibles de ln sont définies par le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.