Valeur absolue Seconde : distance, intervalles et encadrements

La valeur absolue mesure une distance. Cette interprétation géométrique permet de résoudre des équations, de traduire un encadrement et de décrire une marge d'erreur sans apprendre une liste de règles isolées. En Seconde, l'idée centrale est de lire $|x-a|$ comme la distance entre les réels $x$ et $a$.

Les intervalles utilisés ici sont présentés dans le cours sur les nombres réels et la droite réelle. Une série progressive est disponible dans les exercices corrigés sur la valeur absolue en Seconde.

Lire une valeur absolue comme une distance

Une distance est toujours positive ou nulle. On a donc $|x-a|\ge0$, et $|x-a|=0$ exactement lorsque $x=a$.

• $|7-2|=5$ : les points d'abscisses $7$ et $2$ sont distants de $5$.
• $|-4-1|=|-5|=5$.
• $|x+3|=|x-(-3)|$ est la distance de $x$ à $-3$.

Résoudre une équation de la forme |x - a| = r

Si $r>0$, deux points se trouvent à la distance $r$ de $a$ : un à gauche et un à droite. Ainsi :

$$|x-a|=r \quad\Longleftrightarrow\quad x=a-r\ \text{ou}\ x=a+r.$$

Exemple avec un centre négatif

Résolvons $|x+2|=5$. Le centre est $-2$, car $x+2=x-(-2)$. Les deux solutions sont :

$$x=-2-5=-7 \quad\text{ou}\quad x=-2+5=3.$$

Si $r=0$, l'unique solution est $x=a$. Si $r<0$, il n'existe aucune solution puisque la valeur absolue ne peut pas être négative.

Passer d’une valeur absolue à un intervalle

Le signe $\le$ inclut les deux extrémités. Le signe $<$ les exclut. Cette différence se lit directement sur les crochets.

Par exemple, $|x-4|\le3$ signifie que $x$ reste à une distance au plus égale à $3$ de $4$. On obtient :

$$1\le x\le7, \qquad x\in[1;7].$$

Décrire les points situés à l’extérieur

L'inégalité $|x-a|\ge r$, avec $r>0$, décrit les points éloignés d'au moins $r$ du centre. Ils se trouvent à gauche de $a-r$ ou à droite de $a+r$ :

$$|x-a|\ge r \quad\Longleftrightarrow\quad x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r.$$

Ainsi, $|x-1|\ge4$ donne $x\le-3$ ou $x\ge5$, soit :

$$]-\infty;-3]\cup[5;+\infty[.$$

Repère visuel : « au plus » remplit la zone centrale, tandis que « au moins » conserve les deux zones extérieures.

Retrouver le centre et le rayon d’un intervalle

Tout intervalle fermé $[m;M]$ peut s'écrire sous la forme $|x-a|\le r$. Son centre est le milieu des bornes et son rayon est la moitié de sa longueur :

$$a=\frac{m+M}{2}, \qquad r=\frac{M-m}{2}.$$

Pour $[-5;9]$, on calcule $a=2$ et $r=7$. L'encadrement devient donc $|x-2|\le7$.

Traduire une précision ou une tolérance

Dire qu'une mesure $x$ est égale à $a$ à $r$ près signifie que l'erreur $|x-a|$ ne dépasse pas $r$. Les trois écritures suivantes décrivent alors la même contrainte :

$$|x-a|\le r, \qquad a-r\le x\le a+r, \qquad x\in[a-r;a+r].$$

Une pièce annoncée à $25$ mm avec une tolérance de $0{,}04$ mm est conforme lorsque :

$$|x-25|\le0{,}04,$$

c'est-à-dire pour $x\in[24{,}96;25{,}04]$.

Méthode pour éviter les erreurs de signe

1. Réécrire l'expression sous la forme $|x-a|$. Par exemple, $|x+6|=|x-(-6)|$.
2. Identifier le centre $a$ et la distance $r$.
3. Choisir la représentation adaptée : deux points, intervalle central ou deux zones extérieures.
4. Tester une borne et un point intérieur pour contrôler les crochets et le sens de l'inégalité.

Pour automatiser ces traductions sans perdre le sens géométrique, commencez par placer le centre sur une droite, puis vérifiez vos résultats avec les huit exercices corrigés de valeur absolue.