Calcul de Dérivées : Exercices Corrigés

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 5 \times 3x^2 - 2 \times 2x + 7 = 15x^2 - 4x + 7$

Solution de la question 2 :

$g'(x) = -4 \times 4x^3 + 8 \times 2x = -16x^3 + 16x$

Solution de la question 3 :

$h'(x) = \frac{1}{2} \times 5x^4 - 3 = \frac{5}{2}x^4 - 3$

Solution de la question 1 :

Domaine de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}^*$

$f(x) = 3x^{-1} + 2x$

$f'(x) = 3 \times (-1)x^{-2} + 2 = -\frac{3}{x^2} + 2$

Solution de la question 2 :

Domaine de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}^*$

$f(x) = 5x^{-2} - x^{-3}$

$f'(x) = 5 \times (-2)x^{-3} - (-3)x^{-4} = -\frac{10}{x^3} + \frac{3}{x^4}$

Solution de la question 3 :

Domaine de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}^*$

$f(x) = 7x^2 + 4x^{-4}$

$f'(x) = 14x + 4 \times (-4)x^{-5} = 14x - \frac{16}{x^5}$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 18x$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = 2x(2x^2 - 9x + 9) = 2x(2x - 3)(x - 3)$

Solution de la question 3 :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x(2x - 3)(x - 3) = 0$

Les solutions sont : $x = 0$, $x = \frac{3}{2}$ et $x = 3$

Solution de la question 1 :

Posons $u(x) = 3x + 2$ et $v(x) = x^2 - 5$

$u'(x) = 3$ et $v'(x) = 2x$

$f'(x) = 3(x^2 - 5) + (3x + 2)(2x)$

$f'(x) = 3x^2 - 15 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x - 15$

Solution de la question 2 :

Posons $u(x) = 2x^2 + 1$ et $v(x) = 4x - 7$

$u'(x) = 4x$ et $v'(x) = 4$

$g'(x) = 4x(4x - 7) + (2x^2 + 1)(4)$

$g'(x) = 16x^2 - 28x + 8x^2 + 4 = 24x^2 - 28x + 4$

Solution de la question 1 :

Domaine de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$

Posons $u(x) = x + 3$ et $v(x) = 2x - 1$

$u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2$

$f'(x) = \frac{1 \times (2x - 1) - (x + 3) \times 2}{(2x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x - 1 - 2x - 6}{(2x - 1)^2} = \frac{-7}{(2x - 1)^2}$

Solution de la question 2 :

Domaine de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$

Posons $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = x^2 - 4$

$u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 2x$

$g'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$

$g'(x) = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-10x}{(x^2 - 4)^2}$

Solution de la question 1 :

Posons $u(x) = x^2(3x - 1)$ et $v(x) = x + 2$

Calculons d'abord $u'(x)$ :

$u'(x) = 2x(3x - 1) + x^2 \times 3 = 6x^2 - 2x + 3x^2 = 9x^2 - 2x$

$v'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{(9x^2 - 2x)(x + 2) - x^2(3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2}$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = \frac{9x^3 + 18x^2 - 2x^2 - 4x - 3x^3 + x^2}{(x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{6x^3 + 17x^2 - 4x}{(x + 2)^2} = \frac{x(6x^2 + 17x - 4)}{(x + 2)^2}$

Solution de la question 3 :

Le dénominateur $(x + 2)^2$ est toujours strictement positif sur le domaine.

Le signe de $f'(x)$ dépend de $x(6x^2 + 17x - 4)$.

Résolvons $6x^2 + 17x - 4 = 0$ : $\Delta = 289 + 96 = 385$

Les racines sont $x_1 = \frac{-17 - \sqrt{385}}{12} \approx -2,05$ et $x_2 = \frac{-17 + \sqrt{385}}{12} \approx 0,22$

$f'(x) > 0$ sur $]-2; 0[ \cup ]x_2; +\infty[$ et $f'(x) < 0$ sur $]-\infty; x_1[ \cup ]0; x_2[$

Solution de la question 1 :

Posons $u(x) = 2x + 3$, alors $u'(x) = 2$

$f'(x) = 4 \times 2 \times (2x + 3)^3 = 8(2x + 3)^3$

Solution de la question 2 :

Posons $u(x) = 5 - 3x$, alors $u'(x) = -3$

$g'(x) = 6 \times (-3) \times (5 - 3x)^5 = -18(5 - 3x)^5$

Solution de la question 3 :

Domaine de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{7}\right\}$

Posons $u(x) = 7x + 1$, alors $u'(x) = 7$

$h'(x) = -2 \times 7 \times (7x + 1)^{-3} = \frac{-14}{(7x + 1)^3}$

Solution de la question 1 :

Domaine de dérivabilité : $3x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{7}{3}$, soit $\left]-\frac{7}{3}; +\infty\right[$

Posons $u(x) = 3x + 7$, alors $u'(x) = 3$

$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 7}}$

Solution de la question 2 :

Domaine de dérivabilité : $x^2 - 9 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 9$, soit $]-\infty; -3[ \cup ]3; +\infty[$

Posons $u(x) = x^2 - 9$, alors $u'(x) = 2x$

$g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}}$

Solution de la question 3 :

Domaine de dérivabilité : $\left]-\frac{1}{4}; +\infty\right[$

Il s'agit d'un produit : $h(x) = 2x \times \sqrt{4x + 1}$

$h'(x) = 2\sqrt{4x + 1} + 2x \times \frac{4}{2\sqrt{4x + 1}}$

$h'(x) = 2\sqrt{4x + 1} + \frac{4x}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{2(4x + 1) + 4x}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{12x + 2}{\sqrt{4x + 1}}$

Solution de la question 1 :

Méthode 1 : $f(x) = \sqrt{(2x - 1)^3} = (2x - 1)^{3/2}$

$f'(x) = \frac{3}{2} \times 2 \times (2x - 1)^{1/2} = 3\sqrt{2x - 1}$

Méthode 2 : Posons $v(x) = (2x - 1)^3$, alors $v'(x) = 3 \times 2 \times (2x - 1)^2 = 6(2x - 1)^2$

$f'(x) = \frac{6(2x - 1)^2}{2\sqrt{(2x - 1)^3}} = \frac{3(2x - 1)^2}{(2x - 1)^{3/2}} = 3\sqrt{2x - 1}$

Solution de la question 2 :

Domaine de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

Posons $u(x) = \frac{3x + 2}{x - 1}$

$u'(x) = \frac{3(x - 1) - (3x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{3x - 3 - 3x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}$

$g'(x) = 4 \times \frac{-5}{(x - 1)^2} \times \left(\frac{3x + 2}{x - 1}\right)^3 = \frac{-20(3x + 2)^3}{(x - 1)^5}$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 3e^{3x + 5}$

Solution de la question 2 :

$g'(x) = -2e^{-2x}$

Solution de la question 3 :

$h'(x) = 4 \times 7e^{7x - 1} = 28e^{7x - 1}$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = e^x(1 + x)$

Solution de la question 2 :

$g'(x) = 4x \times e^{4x} + (2x^2 - 3) \times 4e^{4x}$

$g'(x) = e^{4x}(4x + 8x^2 - 12) = e^{4x}(8x^2 + 4x - 12)$

Solution de la question 3 :

$h'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x - 1) \times (-1)e^{-x}$

$h'(x) = e^{-x}(2x + 1 - x^2 - x + 1) = e^{-x}(-x^2 + x + 2)$

Solution de la question 1 :

Posons $u(x) = e^{2x}$ et $v(x) = x^2 + 1$

$u'(x) = 2e^{2x}$ et $v'(x) = 2x$

$f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 + 1) - e^{2x} \times 2x}{(x^2 + 1)^2}$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = \frac{e^{2x}(2x^2 + 2 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^{2x}(2x^2 - 2x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$

Solution de la question 3 :

Étudions le signe de $x^2 - x + 1$ :

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, donc ce trinôme est toujours strictement positif.

Puisque $e^{2x} > 0$ et $(x^2 + 1)^2 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 1 :

Domaine de dérivabilité : $3x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{5}{3}$, soit $\left]-\frac{5}{3}; +\infty\right[$

$f'(x) = \frac{3}{3x + 5}$

Solution de la question 2 :

Domaine de dérivabilité : $x^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 0$, soit $\mathbb{R}^*$

$g'(x) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$

Solution de la question 3 :

Domaine de dérivabilité : $4 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2$, soit $]-\infty; 2[$

$h'(x) = \frac{-2}{4 - 2x} = \frac{-1}{2 - x}$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$

Solution de la question 2 :

$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$

Solution de la question 3 :

$h'(x) = 2x \times \ln(2x + 1) + x^2 \times \frac{2}{2x + 1}$

$h'(x) = 2x\ln(2x + 1) + \frac{2x^2}{2x + 1}$

Solution de la question 1 :

Posons $u(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

$u'(x) = \frac{1 \times (x - 1) - (x + 1) \times 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac{-2}{(x - 1)^2}}{\frac{x + 1}{x - 1}}$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} \times \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{-2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{-2}{x^2 - 1}$

Solution de la question 3 :

Sur $]1; +\infty[$, on a $x > 1$, donc $x^2 - 1 > 0$.

Par conséquent, $f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1} < 0$ pour tout $x \in ]1; +\infty[$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur son domaine de définition.

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 5$

$f^{\prime\prime}(x) = 24x^2 - 18x$

Solution de la question 2 :

$f(x) = x^{-2}$

$f'(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3}$

$f^{\prime\prime}(x) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$

Solution de la question 3 :

$f'(x) = 3e^{3x}$

$f^{\prime\prime}(x) = 9e^{3x}$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 3$

Pour $x < 1$ : $f'(x) > 0$ (les deux facteurs sont négatifs)

Pour $1 < x < 3$ : $f'(x) < 0$

Pour $x > 3$ : $f'(x) > 0$ (les deux facteurs sont positifs)

Solution de la question 3 : Solution de la question 4 :

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$ : maximum local en $x = 1$

$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$ : minimum local en $x = 3$

Solution de la question 1 :

$f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-1)e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

Puisque $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$.

$f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ et $f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1$

Solution de la question 2 :

$f^{\prime\prime}(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1 + x - 1) = e^{-x}(x - 2)$

Le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ est celui de $x - 2$.

$f^{\prime\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x < 2$ et $f^{\prime\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Solution de la question 3 : Solution de la question 4 :

$f^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$

$f(2) = 2e^{-2}$

La courbe admet un point d'inflexion en $\left(2, 2e^{-2}\right)$.

La concavité change en ce point : concave vers le bas pour $x < 2$, concave vers le haut pour $x > 2$.

Solution de la question 1 :

$f(2) = 8 - 4 + 1 = 5$

$f'(x) = 3x^2 - 2$

$f'(2) = 3 \times 4 - 2 = 10$

Solution de la question 2 :

$y = 10(x - 2) + 5 = 10x - 20 + 5 = 10x - 15$

L'équation de la tangente est : $y = 10x - 15$

Solution de la question 1 :

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = x - 2$ pour $x \neq 1$

Solution de la question 2 :

$f'(x) = 1$ pour tout $x \neq 1$

Solution de la question 3 :

Puisque $f'(x) = 1 \neq 0$ pour tout $x$ du domaine, il n'existe aucun point où la tangente est horizontale.

La fonction simplifiée est en fait une fonction affine (avec un trou en $x = 1$), donc toutes les tangentes ont le même coefficient directeur égal à 1.

Solution de la question 1 :

$f(4) = 2$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f'(4) = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$

L'approximation affine est : $f(x) \approx 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1$

Solution de la question 2 :

$\sqrt{4{,}1} \approx \frac{1}{4} \times 4{,}1 + 1 = 1{,}025 + 1 = 2{,}025$

Solution de la question 3 :

Valeur exacte : $\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}024846$

Erreur absolue : $|2{,}025 - 2{,}024846| \approx 0{,}000154$

Erreur relative : $\frac{0{,}000154}{2{,}024846} \times 100 \approx 0{,}0076\%$

L'approximation est donc très précise au voisinage de 4.

Solution de la question 1 :

Périmètre : $2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x$

Aire : $A(x) = xy = x(20 - x) = 20x - x^2$

Solution de la question 2 :

Pour que le rectangle existe : $x > 0$ et $y > 0$

$y > 0 \Leftrightarrow 20 - x > 0 \Leftrightarrow x < 20$

Domaine : $]0; 20[$

Solution de la question 3 :

$A'(x) = 20 - 2x$

$A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$

Pour $x < 10$ : $A'(x) > 0$ (fonction croissante)

Pour $x > 10$ : $A'(x) < 0$ (fonction décroissante)

L'aire est maximale pour $x = 10$ mètres.

Solution de la question 4 :

Si $x = 10$, alors $y = 20 - 10 = 10$

Le rectangle d'aire maximale est un carré de côté 10 mètres.

Aire maximale : $A(10) = 100$ m²