Primitives Terminale : cours et méthodes

Chercher une primitive consiste à lire la dérivation en sens inverse. Le résultat n'est pas une fonction unique : toutes les primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

La méthode repose sur la reconnaissance de formes et sur un contrôle simple, dériver la réponse. Une condition initiale fixe ensuite la constante et sélectionne une seule primitive parmi toute la famille.

Table des Matières

Définir une primitive sur un intervalle

Primitive de f

Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si $F'(x)=f(x)$ pour tout x de I.

L'intervalle est essentiel. La fonction $1/x$ admet $\ln x$ comme primitive sur les réels positifs, et $\ln(-x)$ sur les réels négatifs. On ne traverse pas zéro, où la fonction initiale n'est pas définie.

Famille des primitives

Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Si F est une primitive, toutes les primitives sont les fonctions F+C, avec C réel.

Tableau des primitives usuelles

Fonction f	Une primitive F	Condition
$x^n$	$x^{n+1}/(n+1)$	$n\neq-1$
$1/x$	$\ln x$	$x\gt 0$
$e^x$	$e^x$	réels
$\cos x$	$\sin x$	réels
$\sin x$	$-\cos x$	réels

Les coefficients se traitent par linéarité : une primitive de $af+bg$ est $aF+bG$ . Le cas $x^{-1}$ est exceptionnel, car la formule des puissances demanderait une division par zéro. C'est précisément la dérivée du logarithme qui prend le relais.

Reconnaître une forme composée

Lecture inverse de la règle de chaîne

Si G est une primitive de g, alors une primitive de $u'(x)g(u(x))$ est $G(u(x))$ .

Pour $f(x)=2x e^{x^2}$ , on reconnaît $u=x^2$ et $u'=2x$ ; une primitive est $e^{x^2}$ . Si le facteur dérivé manque à une constante près, on l'ajuste. En revanche, une expression seulement ressemblante ne justifie pas une substitution artificielle.

u'e^u\longrightarrow e^u,\qquad \frac{u'}u\longrightarrow\ln|u|,\qquad u'u^n\longrightarrow\frac{u^{n+1}}{n+1}

Déterminer la constante avec une valeur imposée

Supposons que $F'(x)=3x^2-2$ et $F(1)=4$ . La famille est $F(x)=x^3-2x+C$ . En substituant $x=1$ , on obtient $1-2+C=4$ , donc $C=5$ . La fonction recherchée est $F(x)=x^3-2x+5$ .

Calculer d'abord toute la famille F+C.
Traduire la condition par une équation en C.
Résoudre cette équation sans modifier la partie variable.
Dériver la fonction finale et vérifier la valeur imposée.

Voir l’effet géométrique de la constante

Ajouter C translate verticalement la courbe d'une primitive sans modifier ses pentes. Toutes les courbes de la famille ont donc, à une même abscisse, des tangentes parallèles. La condition initiale impose qu'une courbe passe par un point donné.

Famille de primitives translatées — Les courbes ont la même dérivée et diffèrent uniquement par une translation verticale.

Contrôler et préparer l’intégration

Erreur fréquente : oublier la constante donne une primitive particulière alors que la question demande toutes les primitives.

Contrôle utile : dériver systématiquement la proposition finale. Le contrôle révèle immédiatement un signe faux sur sinus ou un coefficient manquant.

La lecture inverse s'appuie sur les règles de dérivation. Les primitives apparaissent naturellement dans les équations différentielles. Elles permettent ensuite le calcul exact dans le calcul intégral.

Les formes attendues et la notion de primitive suivent le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.