Fonctions carré et cube Seconde : cours

Les fonctions carré et cube en Seconde sont deux fonctions de référence aux comportements très différents. Le carré efface le signe et possède un minimum en 0 ; le cube conserve l'ordre et traverse l'origine.

Les étudier ensemble évite une généralisation abusive. Une comparaison de carrés dépend du signe des nombres, tandis qu'une comparaison de cubes suit toujours l'ordre initial.

Table des Matières

Définir les fonctions carré et cube sur R

Deux fonctions de référence sur $\mathbb{R}$

La fonction carré associe $x$ à $x^2$ ; elle est paire et sa courbe est une parabole. La fonction cube associe $x$ à $x^3$ ; elle est impaire et sa courbe possède une symétrie centrale par rapport à l'origine.

Lire parabole et courbe cubique

La parabole du carré possède un axe de symétrie vertical et un sommet à l'origine. La courbe du cube traverse l'origine en changeant de signe. Les points $(-1;1)$ , $(0;0)$ , $(1;1)$ pour le carré et $(-1;-1)$ , $(0;0)$ , $(1;1)$ pour le cube servent de repères.

Courbes des fonctions carré et cube — La fonction carré est paire et reste positive, tandis que la fonction cube est impaire et conserve le signe.

Comparer les variations du carré et du cube

Carré et cube ne varient pas de la même façon

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ puis croissante sur $[0;+\infty[$ . La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb R$ . Pour comparer des carrés, il faut donc tenir compte des valeurs absolues ; pour les cubes, l'ordre est conservé.

(-x)^2=x^2,\qquad (-x)^3=-x^3.

Comparer des images sans calculatrice

Identifier la fonction de référence et l'intervalle où se trouvent les nombres.
Pour le carré, comparer les valeurs absolues si les signes diffèrent.
Pour le cube, conserver directement l'ordre des entrées.
Traduire la conclusion avec le vocabulaire d'image ou d'inégalité.
Contrôler avec l'allure de la courbe sans remplacer la justification.

Comparer deux carrés puis deux cubes

On compare $(-4{,}2)^2$ et $3{,}9^2$ , puis $(-4{,}2)^3$ et $3{,}9^3$ .

Les valeurs absolues sont $4{,}2$ et $3{,}9$ ; comme $4{,}2\gt 3{,}9$ , le premier carré est plus grand.
Le signe négatif disparaît dans le carré.
Pour le cube, $-4{,}2\lt 3{,}9$ et la fonction cube est croissante.
Donc $(-4{,}2)^3\lt 3{,}9^3$ .
Le premier cube reste négatif tandis que le second est positif.

Démontrer la croissance du carré sur les positifs

Comparer deux carrés positifs

Pour $0\leq a\lt b$ , la différence $b^2-a^2$ se factorise en $(b-a)(b+a)$ . Les deux facteurs sont positifs, donc la différence est positive et $a^2\lt b^2$ . Le même argument doit être adapté sur les négatifs.

Résoudre des équations simples avec les fonctions de référence

L'équation $x^2=a$ peut avoir deux, une ou aucune solution réelle selon le signe de $a$ . L'équation $x^3=a$ possède une solution réelle unique. Ces différences préparent l'étude des antécédents et des fonctions polynômes.

Les propriétés détaillées et la courbe sont reprises dans la fonction carré. La parabole prépare ensuite les équations du second degré.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de fonctions carré et cube Seconde. Les prolongements signalés servent directement à résoudre des équations simples avec les fonctions de référence.

Lire signe, parité et variations sans confusion

Erreur fréquente : si $a\lt b$ , on ne peut pas conclure automatiquement que $a^2\lt b^2$ sur tout $\mathbb R$ . Le passage au carré ne conserve pas l'ordre lorsque les signes changent.

Contrôle utile : pour un carré, comparer les distances à 0 ; pour un cube, vérifier que le signe de l'image reste celui de l'entrée.