Dérivation Première : nombre dérivé et tangente

La dérivation en Première transforme une variation moyenne en variation instantanée. La pente d'une sécante entre deux points approche la pente de la tangente lorsque le second point se rapproche du premier.

Le nombre dérivé possède plusieurs lectures : pente géométrique, vitesse instantanée ou coût marginal. Les règles de calcul deviennent utiles seulement après avoir compris ce que mesure $f'(a)$ .

Table des Matières

Passer du taux de variation au nombre dérivé

Du taux moyen à la limite

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour $h\neq0$ . Si cette quantité tend vers un réel lorsque $h$ tend vers 0, $f$ est dérivable en $a$ et cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Visualiser sécantes et tangente

En rapprochant un point M de A sur la courbe, les sécantes AM tendent vers une position limite. Leurs coefficients directeurs sont les taux de variation. La tangente représente cette limite locale, pas une approximation globale de toute la courbe.

Tangente et nombre dérivé en un point — Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré.

Écrire l’équation de la tangente

La tangente au point d'abscisse $a$

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe par $A(a;f(a))$ et possède pour coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation résulte de la forme point-pente d'une droite.

T_a:\ y=f(a)+f'(a)(x-a).

Calculer une dérivée et exploiter la tangente

Identifier le domaine et la forme de la fonction.
Choisir une règle de dérivation adaptée : somme, produit, inverse ou quotient.
Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ séparément.
Substituer dans l'équation de tangente sans développer trop tôt.
Interpréter le signe et l'unité de $f'(a)$ dans le contexte.

Déterminer la tangente à une parabole

Pour $f(x)=x^2-3x+1$ , on cherche la tangente au point d'abscisse 2.

La dérivée est $f'(x)=2x-3$ .
$f(2)=4-6+1=-1$ et $f'(2)=1$ .
La tangente est $y=-1+1(x-2)$ .
Après réduction, $y=x-3$ .
Pour $x=2$ , la droite donne bien $y=-1$ et passe par le point de contact.

Dériver la fonction carré par la définition

Dérivée de $x^2$ par le taux de variation

Le taux $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}$ se simplifie en $\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h$ , pour $h\neq0$ . Lorsque $h$ tend vers 0, la limite vaut $2a$ . Ainsi, la dérivée de $x^2$ en $a$ est $2a$ .

Interpréter vitesse instantanée et coût marginal

Si une position dépend du temps, la dérivée mesure la vitesse instantanée. Si un coût dépend de la quantité produite, la dérivée approxime le coût d'une unité supplémentaire. L'unité de la dérivée est unité de sortie par unité d'entrée.

La définition et les cas limites sont approfondis dans la dérivabilité. Un calcul symbolique peut être contrôlé avec la calculatrice de dérivée.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de dérivation Première. Les prolongements signalés servent directement à interpréter vitesse instantanée et coût marginal.

Distinguer sécante, tangente et dérivée

Erreur fréquente : $f'(a)$ n'est pas $f(a)$ et n'est pas toujours un quotient $f(a)/a$ . Il provient d'une limite de taux de variation autour de $a$ .

Contrôle utile : vérifier que la tangente passe par $(a;f(a))$ et que sa pente correspond au nombre dérivé calculé ou lu graphiquement.