Dérivation Première : nombre dérivé, tangente, cours

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite, lorsque $h$ tend vers 0, du taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . On le note $f'(a)$ : c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ , dont l'équation est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Exemple : pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ , on a $\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h$ , qui tend vers 6. Donc $f'(3)=6$ , et la tangente au point $(3\,;9)$ a pour équation $y=6(x-3)+9$ , soit $y=6x-9$ .

Vous saurez ensuite calculer un nombre dérivé, écrire l'équation d'une tangente, dériver les fonctions du programme et estimer $f(a+h)$ . Prérequis : le coefficient directeur d'une droite (fonction affine en Seconde) et les fonctions de référence.

Sommaire9 parties

Taux de variation et sécantes

Taux de variation entre deux réels

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux réels distincts de $I$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

En posant $b=a+h$ avec $h\neq0$ , il s'écrit $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ , où $A\big(a\,;f(a)\big)$ et $M\big(b\,;f(b)\big)$ sont deux points de la courbe. Si $f(t)$ est une position à l'instant $t$ , c'est une vitesse moyenne. Son unité est toujours « unité de $f$ par unité de la variable ».

Exemple 1 : taux de variation d’une fonction polynôme

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ . Entre 1 et 4 : $f(1)=1-4+1=-2$ et $f(4)=16-16+1=1$ , donc

\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{1-(-2)}{3}=1.

Entre 1 et $1+h$ , avec $h\neq0$ , on développe d'abord $f(1+h)$ :

\begin{aligned}&f(1+h)\\&=(1+h)^2-4(1+h)+1\\&=1+2h+h^2-4-4h+1\\&=h^2-2h-2.\end{aligned}

Donc $f(1+h)-f(1)=h^2-2h$ et le taux vaut $\dfrac{h^2-2h}{h}=h-2$ .

Exemple 2 : vitesse moyenne d’une chute

Un objet lâché sans vitesse parcourt $d(t)=4{,}9t^2$ mètres en $t$ secondes. Entre $t=1$ et $t=3$ :

\begin{aligned}\frac{d(3)-d(1)}{3-1}&=\frac{44{,}1-4{,}9}{2}\\&=19{,}6.\end{aligned}

La vitesse moyenne sur cet intervalle est de $19{,}6$ m/s.

Nombre dérivé : définition par la limite

Fonction dérivable en a, nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel $\ell$ lorsque $h$ tend vers 0 (par valeurs positives comme négatives). Ce réel est le nombre dérivé de $f$ en $a$ :

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Quand $h$ tend vers 0, le point $M$ se rapproche de $A$ sur la courbe et les sécantes $(AM)$ pivotent autour de $A$ . Leur coefficient directeur tend vers $f'(a)$ .

Tangente et nombre dérivé en un point — Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré.

Méthode : calculer f'(a) avec la définition

Calculer $f(a)$ , puis développer et réduire $f(a+h)$ .
Former la différence $f(a+h)-f(a)$ : chaque terme doit contenir $h$ .
Diviser par $h\neq0$ en simplifiant (factoriser par $h$ ).
Seulement alors, faire tendre $h$ vers 0.

Exemple 3 : nombre dérivé en 1 et en -1

Avec $f(x)=x^2-4x+1$ , l'exemple 1 donne un taux égal à $h-2$ entre 1 et $1+h$ . Il tend vers $-2$ , donc $f$ est dérivable en 1 et $f'(1)=-2$ .

Pour $g(x)=2x^2+x$ en $a=-1$ : $g(-1)=2-1=1$ et

\begin{aligned}&g(-1+h)\\&=2(1-2h+h^2)+(-1+h)\\&=1-3h+2h^2.\end{aligned}

Le taux vaut $\dfrac{-3h+2h^2}{h}=-3+2h$ , qui tend vers $-3$ . Donc $g'(-1)=-3$ .

Exemple 4 : vitesse instantanée

Reprenons $d(t)=4{,}9t^2$ . À l'instant $t=2$ , pour $h\neq0$ :

\begin{aligned}&\frac{d(2+h)-d(2)}{h}\\&=\frac{4{,}9(4+4h+h^2)-19{,}6}{h}\\&=\frac{19{,}6h+4{,}9h^2}{h}\\&=19{,}6+4{,}9h.\end{aligned}

La limite est $19{,}6$ : à $t=2$ s, la vitesse instantanée est $d'(2)=19{,}6$ m/s. Le nombre dérivé se lit avec l'unité du contexte : des mètres par seconde ici, des euros par unité produite pour un coût (on parle alors de coût marginal).

Tangente à une courbe

Tangente au point d’abscisse a

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A\big(a\,;f(a)\big)$ est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$ .

Équation de la tangente

La tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

y=f'(a)(x-a)+f(a).

Démonstration : équation de la tangente

La tangente n'est pas verticale, puisqu'elle a un coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation réduite est donc de la forme $y=f'(a)\,x+p$ , avec $p$ réel.

Elle passe par $A\big(a\,;f(a)\big)$ , donc $f(a)=f'(a)\times a+p$ , d'où $p=f(a)-f'(a)\,a$ . En remplaçant :

\begin{aligned}y&=f'(a)\,x+f(a)-f'(a)\,a\\&=f'(a)(x-a)+f(a).\end{aligned}

Exemple 5 : tangente calculée avec la définition

Pour $f(x)=x^2-4x+1$ , on connaît $f(1)=-2$ et $f'(1)=-2$ . La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation

\begin{aligned}y&=-2(x-1)+(-2)\\&=-2x+2-2=-2x.\end{aligned}

Contrôle : pour $x=1$ , la droite donne $y=-2=f(1)$ . Elle passe bien par le point de contact, et aussi par l'origine.

Vérifier une équation de tangente

En $x=a$ , la droite doit donner $f(a)$ : sinon $f(a)$ et $f'(a)$ ont été confondus.
Le coefficient de $x$ dans l'équation réduite doit être $f'(a)$ .
Sur un graphique, la droite doit « frôler » la courbe au point de contact, sans la couper franchement (sauf cas particuliers comme $x^3$ en 0).

Exemple 6 : lire un nombre dérivé sur un graphique

Sur un graphique, la tangente à $\mathcal C_f$ au point $A(1\,;2)$ passe aussi par $B(3\,;-2)$ . Son coefficient directeur est

\begin{aligned}f'(1)&=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\&=\frac{-2-2}{3-1}=-2.\end{aligned}

Une tangente horizontale correspond à un nombre dérivé nul : si la tangente en $a$ est parallèle à l'axe des abscisses, alors $f'(a)=0$ .

Dérivées des fonctions de référence

Fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$ . La fonction $f' : x\mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$ .

Tableau des dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	Domaine
$k\in\mathbb R$	$0$	$\mathbb R$
$mx+p$	$m$	$\mathbb R$
$x^2$	$2x$	$\mathbb R$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb R$
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$	$\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ et $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$\sqrt x$	$\dfrac1{2\sqrt x}$	$\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$

La racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$ mais n'est dérivable que sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ : le domaine de dérivabilité peut être plus petit que le domaine de définition. Une formule de dérivée ne s'utilise que sur l'intervalle indiqué dans la troisième colonne.

Démonstration : dérivée de la fonction carré

Soit $a$ un réel et $h\neq0$ . On calcule le taux de variation de $x\mapsto x^2$ entre $a$ et $a+h$ :

\begin{aligned}&\frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\&=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\&=\frac{h(2a+h)}{h}=2a+h.\end{aligned}

Lorsque $h$ tend vers 0, $2a+h$ tend vers $2a$ . La fonction carré est donc dérivable en tout réel $a$ , avec $f'(a)=2a$ .

Démonstration : dérivée de la fonction inverse

Soit $a\neq0$ et $h\neq0$ assez petit pour que $a+h$ soit non nul et du même signe que $a$ . On réduit au même dénominateur :

\begin{aligned}\frac1{a+h}-\frac1a&=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\\&=\frac{-h}{a(a+h)}.\end{aligned}

En divisant par $h$ :

\frac{\frac1{a+h}-\frac1a}{h}=\frac{-1}{a(a+h)}.

Lorsque $h$ tend vers 0, $a(a+h)$ tend vers $a^2$ , donc le taux tend vers $-\dfrac1{a^2}$ . La fonction inverse est dérivable en tout $a\neq0$ et sa dérivée est $x\mapsto-\dfrac1{x^2}$ .

Dérivée de la fonction cube

Le même calcul fonctionne avec $(a+h)^3=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3$ : le taux vaut $3a^2+3ah+h^2$ , qui tend vers $3a^2$ .

Dérivée de la racine carrée pour x strictement positif

Pour $a\gt 0$ et $h\neq0$ avec $a+h\gt 0$ , on multiplie par la quantité conjuguée :

\begin{aligned}&\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}\\&=\frac{(a+h)-a}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt a\right)}\\&=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}.\end{aligned}

Ce quotient tend vers $\dfrac1{2\sqrt a}$ lorsque $h$ tend vers 0.

Démonstration : la racine carrée n’est pas dérivable en 0

En 0, seules les valeurs $h\gt 0$ sont possibles, et le taux de variation vaut

\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt0}{h}=\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}.

Quand $h$ tend vers 0, $\sqrt h$ tend vers 0 par valeurs positives, donc $\dfrac1{\sqrt h}$ devient aussi grand que l'on veut : pour $h=10^{-6}$ , il vaut déjà $1\,000$ . Ce taux n'a pas de limite réelle, donc $x\mapsto\sqrt x$ n'est pas dérivable en 0. Sur la courbe, les sécantes se redressent jusqu'à la verticale : la courbe admet en l'origine une tangente verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.

La valeur absolue n’est pas dérivable en 0

Pour $f(x)=|x|$ et $h\neq0$ , le taux de variation en 0 est $\dfrac{|h|}{h}$ . Il vaut $1$ si $h\gt 0$ et $-1$ si $h\lt 0$ . Il ne se rapproche pas d'un seul nombre, donc $f$ n'est pas dérivable en 0. La courbe présente en l'origine un point anguleux : deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $1$ .

Ailleurs, la valeur absolue est dérivable : $f'(x)=-1$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ , où $|x|=-x$ , et $f'(x)=1$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ , où $|x|=x$ .

Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient

Formules de dérivation

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

Fonction	Dérivée
$u+v$	$u'+v'$
$ku$	$ku'$
$uv$	$u'v+uv'$
$\dfrac1v$	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac uv$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Pour $\dfrac1v$ et $\dfrac uv$ , la fonction $v$ ne doit pas s'annuler sur $I$ .

Dérivée d’une fonction g(ax + b)

Soit $a$ et $b$ deux réels et $g$ une fonction dérivable. La fonction $f : x\mapsto g(ax+b)$ est dérivable en tout $x$ tel que $g$ soit dérivable en $ax+b$ , et

f'(x)=a\,g'(ax+b).

Démonstration : dérivée d’un produit

Soit $x$ dans $I$ et $h\neq0$ tel que $x+h\in I$ . On ajoute et on retranche $u(x)v(x+h)$ au numérateur :

\begin{aligned}&\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\&=\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\,v(x+h)\\&\quad+u(x)\,\frac{v(x+h)-v(x)}{h}.\end{aligned}

Lorsque $h$ tend vers 0, $\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$ tend vers $u'(x)$ et $\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$ tend vers $v'(x)$ . On admet qu'une fonction dérivable en $x$ y est continue, donc $v(x+h)$ tend vers $v(x)$ . Le taux de variation de $uv$ tend donc vers $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ .

Exemple 7 : dérivée d’un produit

$f(x)=(2x-1)\sqrt x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ . On pose $u(x)=2x-1$ , $u'(x)=2$ , $v(x)=\sqrt x$ , $v'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ :

\begin{aligned}f'(x)&=2\sqrt x+\frac{2x-1}{2\sqrt x}\\&=\frac{4x+2x-1}{2\sqrt x}\\&=\frac{6x-1}{2\sqrt x}.\end{aligned}

Pour réduire, on a écrit $2\sqrt x=\dfrac{2\sqrt x\times2\sqrt x}{2\sqrt x}=\dfrac{4x}{2\sqrt x}$ .

Exemple 8 : dérivée d’un quotient

$g(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ , dérivable sur $\mathopen{]}-\infty\,;2\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}$ . Avec $u(x)=3x+1$ et $v(x)=x-2$ , donc $u'(x)=3$ et $v'(x)=1$ :

\begin{aligned}g'(x)&=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}\\&=\frac{-7}{(x-2)^2}.\end{aligned}

Le numérateur est constant : $g'(x)\lt 0$ sur chacun des deux intervalles.

Exemple 9 : dérivée de g(ax + b)

$k(x)=\sqrt{5-2x}$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;\tfrac52\mathclose{[}$ : ici $g(X)=\sqrt X$ , $a=-2$ , $b=5$ , donc $k'(x)=-2\times\dfrac1{2\sqrt{5-2x}}=-\dfrac1{\sqrt{5-2x}}$ .
$m(x)=(2x+1)^3$ sur $\mathbb R$ : $g(X)=X^3$ , $g'(X)=3X^2$ , donc $m'(x)=2\times3(2x+1)^2=6(2x+1)^2$ .
$p(x)=\dfrac1{4x-3}$ pour $x\neq\tfrac34$ : $p'(x)=4\times\left(-\dfrac1{(4x-3)^2}\right)=-\dfrac4{(4x-3)^2}$ .

Exemple 10 : tangente et tangentes horizontales

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ , dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=3x^2-3$ .

Au point d'abscisse 2 : $f(2)=8-6+1=3$ et $f'(2)=12-3=9$ . La tangente a pour équation $y=9(x-2)+3$ , soit $y=9x-15$ .

Tangentes horizontales : $f'(x)=0$ équivaut à $3(x^2-1)=0$ , soit $x=-1$ ou $x=1$ . Comme $f(-1)=3$ et $f(1)=-1$ , la courbe a une tangente horizontale aux points $(-1\,;3)$ et $(1\,;-1)$ . Le signe de $f'$ donne ensuite les variations de $f$ , objet du chapitre variations et optimisation en Première.

Vérifier une dérivée

Conditions : chaque formule exige que $u$ et $v$ soient dérivables sur l'intervalle, et que $v$ ne s'y annule pas pour $\frac1v$ et $\frac uv$ .
Test numérique : comparer $f'(a)$ au taux $\dfrac{f(a+0{,}001)-f(a)}{0{,}001}$ calculé à la calculatrice ; les deux doivent être très proches.
Test de signe : une fonction visiblement croissante doit avoir une dérivée positive.

Pour une dérivée longue, la calculatrice de dérivée en ligne affiche aussi les étapes.

Approximation affine : valeur approchée de f(a + h)

Approximation affine au voisinage de a

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ proche de 0 :

f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a).

Pour $h$ petit, le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est proche de $f'(a)$ ; en multipliant par $h$ , on obtient $f(a+h)-f(a)\approx h\,f'(a)$ . Géométriquement, on remplace la courbe par sa tangente : $f(a)+h f'(a)$ est l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse $a+h$ . Ce point est nouveau dans le programme 2026.

Exemple 11 : valeur approchée de la racine de 4,1

On prend $f(x)=\sqrt x$ , $a=4$ , $h=0{,}1$ . Alors $f(4)=2$ et $f'(4)=\dfrac1{2\sqrt4}=\dfrac14$ , donc

\sqrt{4{,}1}\approx2+0{,}1\times\frac14=2{,}025.

La calculatrice donne $\sqrt{4{,}1}\approx2{,}02485$ : l'écart est d'environ $1{,}5\times10^{-4}$ .

Exemple 12 : valeur approchée de 1/0,98

Avec $f(x)=\dfrac1x$ , $a=1$ , $h=-0{,}02$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=-1$ , donc $\dfrac1{0{,}98}\approx1+(-0{,}02)\times(-1)=1{,}02$ . La valeur exacte est $1{,}0204\ldots$

Exemple 13 : un cube qui s’agrandit

Le volume d'un cube d'arête $c$ cm est $V(c)=c^3$ , et $V'(c)=3c^2$ . Si l'arête passe de 10 cm à 10,1 cm :

\begin{aligned}&V(10{,}1)\\&\approx V(10)+0{,}1\times V'(10)\\&\approx1\,000+0{,}1\times300\\&\approx1\,030.\end{aligned}

Le volume augmente d'environ $30$ cm³ (valeur exacte : $1\,030{,}301$ cm³).

Domaine de validité

L'approximation affine exige que $f$ soit dérivable en $a$ (pas de $\sqrt x$ en $a=0$ ) et que $h$ soit petit devant les valeurs en jeu. Elle donne une valeur approchée, jamais une égalité : on écrit $\approx$ , pas $=$ . La figure montre ce qui se passe quand $h$ est trop grand.

Courbe de la racine carrée et sa tangente y = x/4 + 1 au point (4 ; 2) : en x = 4,1 les deux sont presque confondues, en x = 9 la tangente donne 3,25 au lieu de 3 — Près de $a=4$ , la tangente $y=\frac x4+1$ se confond presque avec la courbe de $\sqrt x$ . Pour $h=5$ , elle donne $3{,}25$ au lieu de $\sqrt9=3$ .

Algorithme : coefficients directeurs des sécantes en Python

La fonction suivante renvoie la liste des coefficients directeurs des sécantes entre $x$ et $x+\text{pas}$ , pour $x$ allant de $a$ à $b$ avec ce pas. Elle donne une idée de la fonction dérivée sans aucun calcul de limite.

def f(x):
    return x**2 - 4*x + 1

def pentes_secantes(f, a, b, pas):
    pentes = []
    x = a
    while x < b:
        pentes.append(round((f(x + pas) - f(x)) / pas, 6))
        x = x + pas
    return pentes

print(pentes_secantes(f, 0, 3, 0.5))
# [-3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5]

Ici $f'(x)=2x-4$ vaut $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ en $x=0$ , $0{,}5$ , …, $2{,}5$ . Chaque pente de sécante dépasse $f'(x)$ de $0{,}5$ : en effet, le calcul de l'exemple 1 généralisé donne un taux égal à $2x-4+\text{pas}$ . Avec un pas de $0{,}01$ , l'écart tombe à $0{,}01$ .

Pour observer la convergence en un point fixe, on fait décroître le pas :

for h in [1, 0.1, 0.01, 0.001]:
    print(h, round((f(1 + h) - f(1)) / h, 6))
# 1 -1.0
# 0.1 -1.9
# 0.01 -1.99
# 0.001 -1.999

Les pentes $h-2$ se rapprochent de $f'(1)=-2$ . L'arrondi à six décimales masque les erreurs d'arrondi des nombres flottants.

Erreurs fréquentes en dérivation

Inverser f(a) et f'(a) dans l’équation de la tangente

Ligne fausse, pour $f(x)=x^2$ en $a=3$ : $y=f(3)(x-3)+f'(3)=9(x-3)+6$ . Le coefficient directeur doit être $f'(a)$ , pas $f(a)$ . Test rapide : en $x=a$ , la droite doit donner $f(a)$ . Ici elle donne 6 au lieu de 9, donc la droite ne passe pas par le point de contact. Bonne réponse : $y=6(x-3)+9=6x-9$ .

Dériver un produit en multipliant les dérivées

Ligne fausse : $\big((x+1)(x-3)\big)'=1\times1=1$ . La règle est $(uv)'=u'v+uv'$ : $1\times(x-3)+(x+1)\times1=2x-2$ . Test : développer d'abord, $(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$ , dont la dérivée est bien $2x-2$ . Le même piège existe pour le quotient : $\left(\dfrac uv\right)'\neq\dfrac{u'}{v'}$ .

Oublier le facteur a dans g(ax + b)

Ligne fausse : $\left(\sqrt{5-2x}\right)'=\dfrac1{2\sqrt{5-2x}}$ . Il manque le facteur $a=-2$ . Test de signe : quand $x$ augmente, $5-2x$ diminue, donc $\sqrt{5-2x}$ diminue et sa dérivée doit être négative. La bonne dérivée est $-\dfrac1{\sqrt{5-2x}}$ .

Intervertir u’v et uv’ dans un quotient

Ligne fausse : $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{uv'-u'v}{v^2}$ . Le résultat a le signe opposé du bon. Test sur $\dfrac1x$ ( $u=1$ , $v=x$ ) : la formule fausse donne $\dfrac{1\times1-0\times x}{x^2}=\dfrac1{x^2}\gt 0$ , alors que la fonction inverse est décroissante sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ .

Remplacer h par 0 avant de simplifier

Ligne fausse : « quand $h$ tend vers 0, $\dfrac{(2+h)^2-4}{h}$ tend vers $\dfrac00$ , donc le nombre dérivé n'existe pas. » La forme $\dfrac00$ ne permet pas de conclure. Il faut simplifier pour $h\neq0$ : $\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h$ , qui tend vers 4.

Utiliser la dérivée de la racine en 0, ou l’approximation affine avec un grand h

Écrire « $f'(0)=\dfrac1{2\sqrt0}$ » n'a pas de sens : la formule ne vaut que sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ . De même, $\sqrt9\approx\sqrt4+5\times\dfrac14=3{,}25$ est une mauvaise approximation, car $h=5$ n'est pas petit devant $a=4$ . On vérifie l'ordre de grandeur de $h$ avant d'utiliser $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$ .

Pour aller plus loin : dérivée de x puissance n

Pour tout entier $n\geq1$ , la fonction $x\mapsto x^n$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée est $x\mapsto nx^{n-1}$ . On le vérifie de proche en proche avec la formule du produit : si $(x^n)'=nx^{n-1}$ , alors $(x^{n+1})'=(x\times x^n)'=1\times x^n+x\times nx^{n-1}=(n+1)x^n$ . Les cas $n=2$ et $n=3$ redonnent $2x$ et $3x^2$ . Le lien entre dérivabilité et continuité, admis dans la démonstration du produit, se démontre facilement : $u(x+h)-u(x)=h\times\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$ tend vers $0\times u'(x)=0$ .

Pour s'entraîner sur chaque point du cours, du taux de variation au problème type bac : exercices corrigés de dérivation en Première.