Fonctions sinus et cosinus Terminale : cours

Les fonctions sinus et cosinus transforment le cercle trigonométrique en deux courbes périodiques. Les coordonnées d'un point qui tourne expliquent simultanément leurs valeurs, leur parité, leur période et les décalages entre leurs graphes.

En Terminale, on ajoute les dérivées et l'étude de variations. L'objectif n'est pas d'accumuler des formules d'angles hors programme, mais de résoudre des équations simples et d'étudier des fonctions construites à partir de sinus ou cosinus.

Table des Matières

Du cercle aux fonctions périodiques

Abscisse et ordonnée sur le cercle

Au réel x, mesuré en radians, le point du cercle trigonométrique associe pour abscisse $\cos x$ et pour ordonnée $\sin x$ . Les deux fonctions sont définies sur $\mathbb R$ et prennent leurs valeurs dans $[-1,1]$ .

Un tour complet ajoute $2\pi$ sans changer le point, donc les fonctions sont périodiques de période $2\pi$ . La symétrie par rapport à l'axe horizontal donne $\cos(-x)=\cos x$ , tandis que la symétrie centrale donne $\sin(-x)=-\sin x$ . Cosinus est paire et sinus impaire.

Dérivées et variations

Deux dérivées liées

Pour tout réel x, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$ .

Le signe de cosinus gouverne les variations de sinus ; le signe opposé de sinus gouverne celles de cosinus. Il suffit d'étudier un intervalle de longueur $2\pi$ , puis de prolonger par périodicité. Les extrema sont 1 et -1, atteints aux angles remarquables appropriés.

Fonction	Croît lorsque	Décroît lorsque
sinus	$\cos x\gt 0$	$\cos x\lt 0$
cosinus	$\sin x\lt 0$	$\sin x\gt 0$

Tracer et relier les deux courbes

Les courbes ont la même forme avec un décalage horizontal : $\cos x=\sin(x+\pi/2)$ . Pour construire un tracé fiable, on place les zéros, maxima et minima sur une période, puis on répète le motif. Relier des points sans respecter la pente donnée par la dérivée produit une courbe visuellement plausible mais mathématiquement incohérente.

Une période de sinus et cosinus — Les courbes partagent la même période et sont décalées d'un quart de tour.

Résoudre une équation cos(x)=a

Vérifier que $a\in[-1,1]$ .
Repérer sur le cercle les points dont l'abscisse vaut a.
Lire les angles appartenant à l'intervalle demandé.
Si la résolution est générale, ajouter les multiples de $2\pi$ .

Sur $[-\pi,\pi]$ , l'équation $\cos x=1/2$ possède les solutions $-\pi/3$ et $\pi/3$ . Une calculatrice donne une valeur principale, mais ne produit pas automatiquement la seconde solution ni la restriction à l'intervalle. Le cercle reste le meilleur contrôle.

Inéquations et optimisation

Lire un arc plutôt qu’une valeur isolée

Pour résoudre $\cos x\leq a$ sur $[-\pi,\pi]$ , on repère d'abord les angles frontières, puis les arcs où l'abscisse du cercle satisfait l'inégalité. Dans un problème géométrique, une aire peut s'écrire avec sinus ou cosinus ; on dérive alors la fonction sur l'intervalle imposé par la figure et on interprète l'extremum dans le contexte.

\cos^2x+\sin^2x=1

L'identité fondamentale permet de remplacer un carré par l'autre et de contrôler des coordonnées du cercle. Elle ne permet pas de déterminer le signe de sinus à partir du seul cosinus : le quadrant ou l'intervalle apporte cette information.

Vérifications et frontières du chapitre

Erreur fréquente : utiliser des degrés dans une dérivée ou dans une formule conçue pour les radians. En analyse, la variable est mesurée en radians.

Contrôle utile : tester les solutions sur le cercle et vérifier qu'elles appartiennent à l'intervalle demandé avant de les annoncer.

Les angles et signes sont revus dans le cercle trigonométrique. L'étude des variations prolonge les méthodes de dérivation. Les dérivées de sinus et cosinus seront lues en sens inverse dans les primitives usuelles.

La résolution se limite aux équations et inéquations prévues par le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.