Dérivation et convexité Terminale : 8 exercices corrigés

La série fait alterner calcul de dérivées, lecture du signe de la dérivée seconde et interprétation géométrique. Un point où la dérivée seconde s'annule n'est jamais déclaré point d'inflexion sans changement de convexité.

Les tangentes deviennent aussi des outils d'encadrement et d'optimisation, ce qui donne au chapitre une portée plus large que le simple tracé de courbe.

Dériver des fonctions composées

Identifier la fonction intérieure avant d'appliquer la formule.

Exercice 1 : Exponentielle composée

Facile
Soit f(x)=ex2−3xf(x)=e^{x^2-3x}.
  1. Calculer f'(x).
  2. Déterminer les variations de f sur R\mathbb R.
  3. Donner la valeur minimale de f.
Voir le corrigé
  1. f′(x)=(2x−3)ex2−3xf'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}.
  2. f décroît sur ]−∞,3/2]]-\infty,3/2] puis croît sur [3/2,+∞[[3/2,+\infty[.
  3. Le minimum est f(3/2)=e−9/4f(3/2)=e^{-9/4}.

Exercice 2 : Quotient logarithmique

Moyen
Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, on pose g(x)=ln⁡x/xg(x)=\ln x/x.
  1. Calculer g'(x).
  2. Dresser le tableau de variations.
  3. Déterminer le maximum de g.
Indication
Écrire g(x)=(ln⁡x)x−1g(x)=(\ln x)x^{-1}.
Voir le corrigé
  1. g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.
  2. Le dénominateur est positif. g croît sur ]0,e]]0,e] puis décroît sur [e,+∞[[e,+\infty[.
    Variations de g
    x0+0^+ee+∞+\infty
    Signe de g'+0-
    g(x)−∞-\infty, croissante1/e1/edécroissante, vers 0
  3. Le maximum vaut g(e)=1/eg(e)=1/e.

Convexité et points d’inflexion

Le changement de signe de f'' est le critère décisif.

Exercice 3 : Polynôme cubique

Facile
On considère f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2.
  1. Calculer f''(x).
  2. Étudier la convexité de f.
  3. Déterminer le point d'inflexion.
Voir le corrigé
  1. f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, puis f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6.
  2. f est concave sur ]−∞,1]]-\infty,1] et convexe sur [1,+∞[[1,+\infty[.
  3. La convexité change en 1. Le point d'inflexion est I(1;f(1))=(1;0)I(1;f(1))=(1;0).

Exercice 4 : Un faux point d’inflexion

Moyen
Soit h(x)=x4h(x)=x^4.
  1. Calculer h'' et résoudre h′′(x)=0h''(x)=0.
  2. Étudier le signe de h''.
  3. Expliquer pourquoi l'origine n'est pas un point d'inflexion.
Indication
L'annulation de la dérivée seconde est une condition utile, mais pas suffisante.
Voir le corrigé
  1. h′′(x)=12x2h''(x)=12x^2, qui s'annule seulement en 0.
  2. h′′(x)≥0h''(x)\geq0 sur R\mathbb R et ne change pas de signe.
  3. La fonction reste convexe de part et d'autre de 0. La courbe ne change donc pas de convexité à l'origine.

Tangentes, encadrements et modèle

Exploiter la position relative de la courbe et de ses tangentes.

Exercice 5 : Inégalité de convexité

Moyen
La fonction exponentielle est convexe sur R\mathbb R.
  1. Déterminer l'équation de sa tangente en 0.
  2. En déduire que ex≥1+xe^x\geq1+x pour tout réel x.
  3. Appliquer l'inégalité à x=−0,2x=-0,2.
Indication
Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes.
Voir le corrigé
  1. Comme f(0)=1f(0)=1 et f′(0)=1f'(0)=1, la tangente est y=1+xy=1+x.
  2. La convexité donne ex≥1+xe^x\geq1+x sur R\mathbb R.
  3. Pour x=−0,2x=-0,2, e−0,2≥0,8e^{-0,2}\geq0,8.

Exercice 6 : Coût marginal

Difficile
Le coût, en milliers d'euros, de x centaines d'objets est C(x)=x3−6x2+15x+10C(x)=x^3-6x^2+15x+10 sur [0,5][0,5].
  1. Étudier la convexité de C.
  2. Déterminer le point où le coût marginal C′(x)C'(x) est minimal.
  3. Interpréter la valeur de x dans le contexte.
Indication
Le minimum de C' correspond au changement de sens de variation de C', donc au signe de C''.
Voir le corrigé
  1. C′′(x)=6x−12C''(x)=6x-12. C est concave sur [0,2][0,2], puis convexe sur [2,5][2,5], avec inflexion en x=2.
  2. C′C' décroît jusqu'à 2 puis croît. Son minimum est atteint pour x=2x=2, et vaut C′(2)=3C'(2)=3.
  3. x=2 correspond à 200 objets. À ce niveau de production, l'augmentation instantanée du coût par centaine supplémentaire est la plus faible.

Étude globale et optimisation

La dérivée puis la dérivée seconde répondent à des questions de nature différente.

Exercice 7 : Variations et inflexion de x e^{-x}

Moyen
On étudie f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} sur [0,+∞[[0,+\infty[.
  1. Calculer f' et dresser les variations de f.
  2. Calculer f'' et étudier la convexité.
  3. Donner les coordonnées du point d'inflexion.
Indication
Factoriser chaque dérivée par l'exponentielle, qui reste strictement positive.
Voir le corrigé
  1. f′(x)=e−x(1−x)f'(x)=e^{-x}(1-x). La fonction croît sur [0,1], puis décroît sur [1,+∞[[1,+\infty[, avec un maximum f(1)=1/ef(1)=1/e.
  2. f′′(x)=e−x(x−2)f''(x)=e^{-x}(x-2). La fonction est concave sur [0,2] et convexe sur [2,+∞[[2,+\infty[.
  3. Le signe de f'' change en 2. Le point d'inflexion est I(2;2/e2)I(2;2/e^2).

Exercice 8 : Rectangle sous une parabole

Difficile
Dans un repère, M(x;4−x2)M(x;4-x^2) parcourt la parabole y=4−x2y=4-x^2 pour 0≤x≤20\leq x\leq2. On construit le rectangle symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommets supérieurs M et son symétrique.
  1. Exprimer l'aire A(x) du rectangle.
  2. Étudier les variations de A sur [0,2].
  3. Déterminer les dimensions donnant l'aire maximale et la valeur exacte de cette aire.
Indication
La largeur vaut 2x et la hauteur 4−x24-x^2.
Voir le corrigé
  1. A(x)=2x(4−x2)=8x−2x3A(x)=2x(4-x^2)=8x-2x^3.
  2. A′(x)=8−6x2A'(x)=8-6x^2. Elle s'annule en x=2/3x=2/\sqrt3, est positive avant et négative après.
  3. La largeur optimale vaut 4/34/\sqrt3 et la hauteur 4−4/3=8/34-4/3=8/3. L'aire maximale est 32/(33)32/(3\sqrt3), soit aussi 323/932\sqrt3/9.
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