Racine carrée 4ème : carrés parfaits et encadrement

La racine carrée en 4ème répond à une question de longueur : quel côté doit avoir un carré d'aire $20$ ? Cette longueur est notée $\sqrt{20}$ . Elle n'est pas entière, mais elle se situe entre $4$ et $5$ , car $4^2\lt 20\lt 5^2$ .

Le symbole radical ne transforme donc pas un nombre au hasard. Il désigne l'unique nombre positif dont le carré vaut le nombre donné. Ce cours distingue carrés parfaits, valeurs exactes, encadrements et approximations de calculatrice.

Table des Matières

Définir la racine carrée à partir d’une aire

Racine carrée

Pour un nombre $a\geq0$ , la racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ .

(\sqrt a)^2=a\quad\text{et}\quad\sqrt a\geq0.

Carré de côté racine de vingt et aire vingt — La racine carrée de 20 est la longueur du côté d'un carré d'aire 20.

Erreur fréquente : $\sqrt{25}=5$ , et non $\pm 5$ . Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne toujours la racine positive ; l'équation $x^2=25$ , elle, possède deux solutions $5$ et $-5$ .

Reconnaître les carrés parfaits

Carré parfait

Un carré parfait est le carré d'un entier. Sa racine carrée est donc un entier.

$n$	$n^2$	$\sqrt{n^2}$
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$2$
$3$	$9$	$3$
$4$	$16$	$4$
$5$	$25$	$5$
$6$	$36$	$6$
$7$	$49$	$7$
$8$	$64$	$8$
$9$	$81$	$9$
$10$	$100$	$10$
$11$	$121$	$11$
$12$	$144$	$12$

Connaître les carrés de $1$ à $12$ suffit pour encadrer de nombreuses racines. Il est plus utile de comprendre comment les retrouver que de mémoriser une longue table.

Encadrer une racine entre deux entiers consécutifs

Principe d’encadrement

Si $n^2\lt a\lt (n+1)^2$ , alors $n\lt \sqrt{a}\lt n+1$ . Les carrés des nombres positifs grandissent dans le même ordre que les nombres.

8^2=64\lt 70\lt 81=9^2\quad\Longrightarrow\quad8\lt \sqrt{70}\lt 9.

L'encadrement donne immédiatement la partie entière de $\sqrt{70}$ et permet de repérer une erreur de calculatrice : une valeur comme $7{,}36$ serait impossible.

Affiner un encadrement au dixième

Pour aller au dixième, on teste des nombres décimaux dans l'intervalle déjà trouvé. Comme $8{,}3^2=68{,}89$ et $8{,}4^2=70{,}56$ , on obtient :

8{,}3\lt \sqrt{70}\lt 8{,}4.

La calculatrice affiche environ $8{,}3666$ . Ce nombre est une valeur approchée ; $\sqrt{70}$ reste l'écriture exacte.

Erreur fréquente : écrire $\sqrt{70}=8{,}37$ est faux si 8,37 est arrondi. Il faut écrire $\sqrt{70}\approx8{,}37$ .

Carré d’un nombre et racine de son carré

Retour à la distance positive

Pour tout nombre $x$ , $\sqrt{x^2}=|x|$ , où $|x|$ est la distance de $x$ à zéro. Ainsi $\sqrt{(-6)^2}=6$ , pas $-6$ .

La racine carrée renvoie une longueur, donc une valeur positive. Cette propriété relie les nombres relatifs à la géométrie.

Ce que l’on peut simplifier, et ce que l’on ne peut pas

\sqrt{4\times9}=\sqrt4\times\sqrt9=2\times3=6.

Au niveau 4ème, on utilise surtout les carrés parfaits et les encadrements. Il faut éviter d'inventer une règle sur les sommes : $\sqrt{9+16}=5$ , tandis que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

Erreur fréquente : la racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Comparer un exemple numérique suffit à réfuter cette fausse règle.

Utiliser la touche racine avec méthode

Prévoir d'abord entre quels entiers se trouve la racine.
Saisir le nombre complet sous le radical.
Lire suffisamment de décimales avant d'arrondir.
Écrire le symbole (pprox) et préciser la précision demandée.

Les carrés et les règles de puissances fournissent le contrôle mental. La calculatrice affine le résultat ; elle ne remplace pas l'encadrement.

Astuce : pour encadrer rapidement $\sqrt a$ , chercher d'abord les deux carrés parfaits qui entourent $a$ , pas les deux entiers qui entourent $a$ .

Construire une table utile de carrés parfaits

Connaître les carrés de 0 à 15 accélère les encadrements sans remplacer le raisonnement. On retient notamment $10^2=100$ , $11^2=121$ , $12^2=144$ , $13^2=169$ , $14^2=196$ et $15^2=225$ . Ces repères permettent de situer immédiatement une racine.

Nombre	Carré	Conséquence
7	49	$\sqrt{49}=7$
9	81	$\sqrt{81}=9$
12	144	$\sqrt{144}=12$
15	225	$\sqrt{225}=15$

Une racine carrée n'est pas une opération qui « coupe le nombre en deux ». Elle cherche l'unique nombre positif dont le carré est le nombre initial.

Affiner un encadrement décimal

Comme $5^2=25$ et $6^2=36$ , on sait que $5\lt \sqrt{30}\lt 6$ . Pour obtenir un encadrement au dixième, on compare $5,4^2=29,16$ et $5,5^2=30,25$ , donc $5,4\lt \sqrt{30}\lt 5,5$ . La même démarche se poursuit au centième si la précision demandée l'exige.

La calculatrice donne environ 5,477, mais l'encadrement explique pourquoi cet affichage est plausible. Il permet aussi de contrôler un arrondi : au centième, $\sqrt{30}\approx5,48$ .

Astuce : l'égalité $\sqrt{30}=5,48$ est fausse : 5,48 est une valeur approchée. Le symbole $\approx$ doit accompagner l'arrondi.

Distinguer racine d’un carré et solutions d’une équation

Par définition, $\sqrt{49}=7$ désigne un seul nombre, positif. En revanche, l'équation $x^2=49$ possède deux solutions : $x=7$ et $x=-7$ . Le symbole racine donne la racine carrée positive ; résoudre une équation demande de retrouver tous les nombres dont le carré vaut 49.

x^2=81\quad\Longrightarrow\quad x=-9\ \text{ou}\ x=9.

Calculer la longueur du côté d’un carré

Un jardin carré a une aire de $72\ \mathrm{m^2}$ . Si $c$ désigne la longueur de son côté, alors $c^2=72$ , donc $c=\sqrt{72}$ mètres. Comme $8^2=64$ et $9^2=81$ , on sait déjà que $8\lt c\lt 9$ .

Au dixième, $8,4^2=70,56$ et $8,5^2=72,25$ , donc $8,4\lt \sqrt{72}\lt 8,5$ . La calculatrice donne environ 8,49 m. Le périmètre vaut alors approximativement $4\times8,49=33,96$ m. L'arrondi de la longueur influence celui du périmètre ; il est préférable de conserver davantage de chiffres pendant le calcul.

Astuce : l'aire étant exprimée en mètres carrés, sa racine s'exprime en mètres. La racine ne conserve pas l'exposant de l'unité.

Si l'on devait acheter une bordure vendue au mètre entier, arrondir le périmètre à 34 m serait risqué : une mesure approchée par défaut pourrait manquer. Le contexte peut imposer un arrondi par excès, par exemple 35 m avec une marge de pose. Une valeur approchée mathématique et une quantité à commander ne répondent pas toujours à la même règle d'arrondi.

On peut aussi vérifier le côté en le remettant au carré : $8,49^2$ est très proche de 72. Cette opération inverse détecte une erreur de touche sans refaire tout l'encadrement.

Racine carrée 4ème : l’essentiel à retenir

La racine carrée en 4ème est la longueur positive dont le carré vaut le nombre placé sous le radical. Les carrés parfaits donnent des valeurs exactes ; pour les autres nombres, les carrés voisins fournissent un encadrement puis une approximation contrôlée.

Cette notion du programme officiel de mathématiques du cycle 4 prépare le calcul de longueurs avec Pythagore tout en consolidant puissances et ordres de grandeur.