Racine carrée 4ème : 9 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la racine carrée en 4ème partent des carrés parfaits et conduisent à des encadrements et à des longueurs. Le cours sur les racines carrées précise la définition et les précautions de notation.

Les valeurs exactes sont conservées tant qu’une approximation n’est pas demandée. Reconnaître un carré parfait prolonge le travail sur les puissances et les exposants.

La progression demande d'abord de relier un nombre positif à son carré, puis de choisir deux carrés parfaits consécutifs pour encadrer une racine. Les exercices de comparaison évitent ainsi un recours automatique à la calculatrice. Dans les problèmes géométriques, la réponse exacte reste écrite avec le radical ; une valeur décimale n'est donnée qu'après avoir précisé l'unité et la précision attendue. Les corrigés signalent aussi les confusions fréquentes entre a+b\sqrt{a+b}, a+b\sqrt a+\sqrt b, (a)2(\sqrt a)^2 et a2\sqrt{a^2}. Cette distinction aide à comprendre ce que couvre le radical et pourquoi une racine carrée représente toujours un nombre non négatif dans ce cadre.

Pour vérifier une réponse, remettez l'approximation au carré et comparez-la au nombre initial. Ce contrôle simple repère une saisie incorrecte, un mauvais arrondi ou un encadrement trop large. Il donne aussi du sens au résultat avant de passer à l'exercice suivant.

Reconnaître des carrés parfaits

Connaître les carrés des entiers usuels permet de calculer exactement sans dépendre d'une touche de calculatrice.

Exercice 1 : Table des carrés utiles

Facile

Calculer 626^2, 929^2, 12212^2, 15215^2 et 20220^2, puis en déduire cinq racines carrées.

  1. Calculer les cinq carrés.
  2. Écrire les cinq égalités de racines correspondantes.
  3. Expliquer pourquoi chaque racine choisie est positive.
Indication

La racine carrée a\sqrt a désigne le nombre positif dont le carré vaut aa.

Voir le corrigé
  1. Les carrés sont 3636, 8181, 144144, 225225 et 400400.
  2. 36=6\sqrt{36}=6, 81=9\sqrt{81}=9, 144=12\sqrt{144}=12, 225=15\sqrt{225}=15 et 400=20\sqrt{400}=20.
  3. Le symbole a\sqrt{\phantom a} désigne par convention la racine non négative.

Exercice 2 : Racines exactes ou non

Facile

Parmi 49\sqrt{49}, 70\sqrt{70}, 121\sqrt{121}, 169\sqrt{169} et 250\sqrt{250}, repérer celles qui sont des entiers.

  1. Donner les valeurs exactes entières.
  2. Encadrer les deux autres entre deux entiers consécutifs.
Indication

Comparez chaque nombre aux carrés consécutifs connus.

Voir le corrigé

49=7\sqrt{49}=7, 121=11\sqrt{121}=11 et 169=13\sqrt{169}=13. Comme 64<70<8164\lt 70\lt 81, on a 8<70<98\lt \sqrt{70}\lt 9. Comme 225<250<256225\lt 250\lt 256, on a 15<250<1615\lt \sqrt{250}\lt 16.

Encadrer et comparer des racines

La fonction carré conserve l'ordre sur les nombres positifs, ce qui autorise des comparaisons sans valeur décimale.

Exercice 3 : Encadrements successifs

Moyen

Encadrer 30\sqrt{30}, 95\sqrt{95} et 180\sqrt{180} entre deux entiers consécutifs.

  1. Trouver l'encadrement de 30\sqrt{30}.
  2. Trouver celui de 95\sqrt{95}.
  3. Trouver celui de 180\sqrt{180}.
  4. Vérifier chaque réponse avec les carrés des bornes.
Indication

Cherchez deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre sous la racine.

Voir le corrigé
  1. 25<30<3625\lt 30\lt 36, donc 5<30<65\lt \sqrt{30}\lt 6.
  2. 81<95<10081\lt 95\lt 100, donc 9<95<109\lt \sqrt{95}\lt 10.
  3. 169<180<196169\lt 180\lt 196, donc 13<180<1413\lt \sqrt{180}\lt 14.
  4. Les bornes au carré redonnent bien les trois encadrements initiaux.

Exercice 4 : Comparaisons sans calculatrice

Moyen

Comparer 58\sqrt{58} à 7,57{,}5, 120\sqrt{120} à 1111, puis 48\sqrt{48} et 50\sqrt{50}.

  1. Comparer 58\sqrt{58} et 7,57{,}5.
  2. Comparer 120\sqrt{120} et 1111.
  3. Comparer les deux dernières racines.
Indication

Les nombres comparés sont positifs ; comparez leurs carrés.

Voir le corrigé
  1. 7,52=56,25<587{,}5^2=56{,}25\lt 58, donc 7,5<587{,}5\lt \sqrt{58}.
  2. 112=121>12011^2=121\gt 120, donc 120<11\sqrt{120}\lt 11.
  3. 48<5048\lt 50, donc 48<50\sqrt{48}\lt \sqrt{50}.

Exercice 5 : Approximation contrôlée

Difficile

Une calculatrice donne 37≈6,08276253\sqrt{37}\approx6{,}08276253.

  1. Donner l'arrondi au dixième.
  2. Donner l'encadrement au centième.
  3. Vérifier l'encadrement en comparant 6,0826{,}08^2 et 6,0926{,}09^2 à 3737.
  4. Expliquer pourquoi écrire 37=6,08\sqrt{37}=6{,}08 est faux.
Indication

Une valeur arrondie utilise le symbole ≈\approx, tandis qu'un encadrement conserve deux bornes.

Voir le corrigé
  1. 37≈6,1\sqrt{37}\approx6{,}1 au dixième.
  2. 6,08<37<6,096{,}08\lt \sqrt{37}\lt 6{,}09.
  3. 6,082=36,9664<376{,}08^2=36{,}9664\lt 37 et 6,092=37,0881>376{,}09^2=37{,}0881\gt 37.
  4. 6,086{,}08 n'est pas la valeur exacte : son carré n'est pas 3737. Il faut écrire une approximation ou un encadrement.

Éviter les confusions de notation

Le radical porte sur tout ce qui se trouve sous sa barre ; une somme ou un signe extérieur change donc l'expression.

Exercice 6 : Une somme sous le radical

Moyen

Comparer A=9+16A=\sqrt{9+16} et B=9+16B=\sqrt9+\sqrt{16}.

  1. Calculer AA et BB.
  2. Décider si a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b est une règle valable.
  3. Donner un autre contre-exemple simple.
Indication

Calculez exactement les deux expressions avant de conclure sur la règle générale.

Voir le corrigé
  1. A=25=5A=\sqrt{25}=5, tandis que B=3+4=7B=3+4=7.
  2. La prétendue règle est fausse, puisque 5≠75\neq7.
  3. Par exemple, 1+4=5\sqrt{1+4}=\sqrt5, alors que 1+4=3\sqrt1+\sqrt4=3.

Exercice 7 : Carré d’une racine

Facile

Simplifier (13)2(\sqrt{13})^2, 172\sqrt{17^2} et (−8)2\sqrt{(-8)^2}.

  1. Simplifier les trois expressions et expliquer le rôle de la valeur absolue dans la dernière.
Indication

x2\sqrt{x^2} est la distance de xx à zéro, donc une valeur non négative.

Voir le corrigé

(13)2=13(\sqrt{13})^2=13, 172=17\sqrt{17^2}=17 et (−8)2=64=8\sqrt{(-8)^2}=\sqrt{64}=8. La dernière valeur n'est pas −8-8, car une racine carrée est toujours non négative : x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|.

Relier racine carrée et géométrie

Une aire carrée ou une diagonale conduit naturellement à une longueur exprimée par une racine.

Exercice 8 : Côté d’un carré

Moyen

Un carré a une aire de 72 cm272\ \mathrm{cm}^2.

  1. Exprimer exactement la longueur de son côté.
  2. Encadrer cette longueur entre deux entiers.
  3. Donner une approximation au dixième.
  4. Vérifier l'unité de la réponse.
Indication

Si cc est le côté, alors c2=72c^2=72, donc c=72c=\sqrt{72}.

Voir le corrigé
  1. Le côté mesure 72\sqrt{72} cm.
  2. Comme 64<72<8164\lt 72\lt 81, 8<72<98\lt \sqrt{72}\lt 9.
  3. 72≈8,5\sqrt{72}\approx8{,}5 cm au dixième.
  4. Une aire en centimètres carrés conduit bien à une longueur en centimètres.

Exercice 9 : Diagonale d’un écran carré

Difficile

Un écran carré a un côté de 1818 cm. Sa diagonale dd vérifie d2=182+182d^2=18^2+18^2.

  1. Calculer d2d^2.
  2. Exprimer dd exactement.
  3. Encadrer dd entre deux entiers.
  4. Donner une approximation au dixième.
  5. Contrôler que la diagonale est plus longue qu'un côté mais plus courte que deux côtés.
Indication

Additionnez les deux carrés, puis cherchez les carrés parfaits qui entourent le résultat.

Voir le corrigé
  1. d2=324+324=648d^2=324+324=648.
  2. d=648d=\sqrt{648} cm.
  3. 252=625<648<676=26225^2=625\lt 648\lt 676=26^2, donc 25<d<2625\lt d\lt 26.
  4. d≈25,5d\approx25{,}5 cm.
  5. On a bien 18<25,5<3618\lt 25{,}5\lt 36, ce qui est géométriquement cohérent.
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