La proportionnalité en 4ème décrit deux grandeurs liées par un même multiplicateur. Si kg de pommes coûtent €, alors chaque masse est associée à un prix par le coefficient €/kg. Ce coefficient donne du sens au tableau et pas seulement une technique de calcul.
Le niveau 4ème systématise la quatrième proportionnelle et ajoute un point de vue graphique. Il faut aussi savoir reconnaître une situation non proportionnelle : une droite qui ne passe pas par l'origine ou un tarif avec frais fixes ne répond pas au même modèle.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on obtient toutes les valeurs de l'une en multipliant les valeurs correspondantes de l'autre par un même nombre , appelé coefficient de proportionnalité.
Le quotient , pour , doit donc rester constant. Une masse et son prix au kilogramme sont proportionnels si aucun coût fixe ne s'ajoute.
Tableau : coefficient, passage à l’unité ou combinaison
| Masse en kg | 2 | 3 | 7 |
|---|---|---|---|
| Prix en € | 5 | 7,50 | 17,50 |
Le coefficient est . Pour passer de 2 kg à 7 kg, on peut multiplier par , passer par le prix d'un kilogramme ou combiner . Ces méthodes expriment la même linéarité.
Erreur fréquente : additionner 4 à toutes les valeurs ne définit pas une proportionnalité. La relation doit être une multiplication par un coefficient constant.
Calculer une quatrième proportionnelle
Quatrième proportionnelle
Dans un tableau de proportionnalité comportant trois valeurs connues, la quatrième proportionnelle est la valeur manquante qui conserve le même coefficient.
Le produit en croix vient de l'égalité de deux fractions, pas d'un dessin en forme de croix. Avant de l'utiliser, il faut justifier que la situation est proportionnelle et associer correctement les grandeurs.
Graphique : une droite qui passe par l’origine
Caractérisation graphique
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est une droite passant par l'origine.
Une droite seule ne suffit pas : forme une droite, mais le point montre un coût fixe. Des points passant par l'origine mais non alignés ne suffisent pas non plus.
Déterminer un coefficient sur un graphique
On choisit un point lisible () de la droite avec , puis on calcule . Avec le point , le coefficient vaut . L'unité dépend du contexte : euros par kilogramme, kilomètres par heure, litres par minute.
Astuce : choisir un point placé exactement sur une intersection du quadrillage. Une lecture approximative produit un coefficient inutilement imprécis.
Distinguer proportionnalité et évolution affine
| Situation | Modèle | Proportionnelle ? |
|---|---|---|
| prix sans frais fixe | oui | |
| taxi avec prise en charge | non | |
| aire d'un carré | non | |
| distance à vitesse constante | oui |
Le cours de proportionnalité en 5ème a introduit coefficient et tableaux. Ici, le graphique devient un outil de preuve et le produit en croix une conséquence de l'égalité des rapports.
Rédiger un problème proportionnel
- Nommer les deux grandeurs et leurs unités.
- Justifier la proportionnalité à partir du contexte.
- Choisir une méthode adaptée aux nombres.
- Écrire le calcul avec les unités.
- Contrôler si le résultat varie dans le bon sens.
Les fractions et nombres rationnels interviennent naturellement lorsque le coefficient n'est pas décimal ou lorsqu'on compare deux rapports.
Choisir la méthode adaptée à la structure des nombres
Le produit en croix est général, mais ce n'est pas toujours la méthode la plus lisible. Si 5 objets coûtent 12 €, le passage à l'unité donne 2,40 € par objet, puis permet de calculer n'importe quelle quantité. Si l'on passe de 5 à 20 objets, multiplier directement par 4 est encore plus rapide.
| Situation | Méthode efficace |
|---|---|
| coefficient visible | multiplier directement |
| prix ou quantité pour une unité | passage à l'unité |
| quatre nombres dont un inconnu | égalité de rapports ou produit en croix |
| plusieurs valeurs | tableau et coefficient |
Une bonne solution nomme le coefficient et son unité lorsqu'il en possède une. Cette interprétation distingue une véritable relation de proportionnalité d'une simple coïncidence numérique.
Résoudre une situation de partage proportionnel
Une somme de 420 € est partagée selon le rapport . Le total des parts vaut , donc une part vaut €. Les montants sont alors 84 €, 126 € et 210 €.
Le contrôle consiste à vérifier à la fois la somme des montants et les rapports. Un partage égal aurait donné 140 € chacun ; il ne respecte pas les poids annoncés.
Détecter une situation qui n’est pas proportionnelle
Un taxi facture 4 € de prise en charge puis 1,80 € par kilomètre. Pour 5 km, le prix est 13 € ; pour 10 km, il est 22 €. Doubler la distance ne double pas le prix, car la part fixe de 4 € n'est payée qu'une fois. Le quotient prix/distance n'est donc pas constant.
Le graphique est une droite, mais elle ne passe pas par l'origine. Cela suffit à exclure la proportionnalité. La formule distingue le terme proportionnel et le forfait fixe. Une relation linéaire sur le graphique n'est proportionnelle que si l'origine appartient à la droite.
On peut confirmer l'absence de proportionnalité avec deux quotients : et . Ils diffèrent. Pourtant, l'augmentation du prix pour cinq kilomètres supplémentaires est constante, égale à 9 €. La situation possède donc une régularité affine, mais pas le coefficient unique exigé par une proportionnalité.
Proportionnalité 4ème : l’essentiel à retenir
La proportionnalité en 4ème repose sur un coefficient constant. On peut calculer une quatrième proportionnelle par passage à l'unité, coefficient ou produit en croix, puis vérifier le modèle grâce à une droite passant par l'origine.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 demande de changer de représentation sans perdre le sens des grandeurs ni leurs unités.