La racine carrée en 3ème répond à une question inverse du carré : quel nombre positif a pour carré une valeur donnée ? Cette idée apparaît naturellement lorsqu’on connaît l’aire d’un carré, la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle ou une distance dans un repère.
Le symbole \(\sqrt{a}\) désigne une valeur précise, même lorsqu’elle n’a pas d’écriture décimale finie. Il faut donc distinguer la valeur exacte, conservée avec le radical, d’une valeur approchée adaptée au contexte.
Définition de la racine carrée d’un nombre positif
Racine carrée
Pour tout nombre \(a\geq0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt a\), est l’unique nombre positif dont le carré vaut \(a\). Ainsi, \((\sqrt a)^2=a\).
La condition \(a\geq0\) est essentielle dans l’ensemble des nombres étudiés au collège : aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif. De plus, le symbole radical désigne toujours la racine positive.
Erreur fréquente : \(\sqrt{25}=5\), et non \(\pm5\). Les deux signes apparaissent seulement quand on résout l’équation \(x^2=25\).
Mémoriser les carrés parfaits utiles
Un carré parfait est le carré d’un entier. Reconnaître ceux de 0 à 15 accélère les calculs et les encadrements.
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(100\) | \(225\) |
On en déduit immédiatement \(\sqrt{144}=12\), car \(12^2=144\). Pour une valeur non carrée parfaite, le radical reste une écriture exacte.
Encadrer une racine carrée entre deux entiers
Pour encadrer \(\sqrt{45}\), on cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent 45. Comme \(6^2=36<45<49=7^2\), on obtient \(6<\sqrt{45}<7\).
Ordre et racines carrées
Si \(0\leq a
Astuce : pour un encadrement au dixième, tester d’abord l’entier inférieur, puis seulement les dixièmes voisins.
Valeur exacte, valeur approchée et arrondi
Dans une démonstration ou une formule, \(\sqrt{45}\) est une valeur exacte. La calculatrice affiche environ 6,7082039. Selon la question, on peut donner \(6,71\) au centième ou \(6,7\) au dixième. Le symbole \(\approx\) indique cette approximation.
Erreur fréquente : écrire \(\sqrt{45}=6,71\) est faux : 6,71 est un arrondi. Le signe égal doit être réservé à une valeur exacte.
Résoudre une équation de la forme x carré égale a
Résoudre \(x^2=a\) consiste à chercher tous les nombres dont le carré vaut \(a\). Si \(a>0\), il y en a deux, opposés l’un de l’autre. Si \(a=0\), il n’y en a qu’un. Si \(a<0\), il n'y a pas de solution réelle.
Solutions de x carré égale a
Pour \(a>0\), \(x^2=a\) équivaut à \(x=\sqrt a\) ou \(x=-\sqrt a\). On peut vérifier chaque solution en l’élevant au carré.
Utiliser une racine carrée en géométrie
Un carré a une aire de 72 cm². Si \(c\) désigne son côté, alors \(c^2=72\), d’où \(c=\sqrt{72}\) cm puisque la longueur est positive. Une mesure au millimètre près conduit à environ 8,5 cm.
Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 5 cm et 7 cm, le théorème de Pythagore donne une hypoténuse \(h\) vérifiant \(h^2=5^2+7^2=74\). La longueur exacte est donc \(\sqrt{74}\) cm.
Contrôler une réponse sans dépendre de la calculatrice
Trois contrôles sont rapides. Le nombre sous le radical doit être positif ou nul. La valeur proposée doit être positive si elle représente \(\sqrt a\). Enfin, son carré doit retrouver \(a\), exactement ou à l’approximation attendue.
Par exemple, annoncer \(\sqrt{130}\approx13\) est impossible, car \(13^2=169\). Comme \(11^2=121\) et \(12^2=144\), la réponse se situe entre 11 et 12. Cette estimation suffit à repérer une mauvaise saisie.
Les carrés peuvent aussi être vérifiés avec la calculatrice de puissances, après avoir établi l’encadrement à la main.
Comparer des racines et des nombres décimaux
Pour comparer \(\sqrt{50}\) et 7,1, on peut éviter un arrondi long. Les deux nombres sont positifs, donc on compare leurs carrés : \(50\) et \(7,1^2=50,41\). Ainsi, \(\sqrt{50}<7,1\).
Pour comparer \(\sqrt{38}\) et \(\sqrt{41}\), l’ordre des nombres sous les radicaux suffit. Cette méthode ne s’applique qu’à des radicaux définis et à des quantités positives.
Une calculatrice confirmerait environ 7,071, mais le raisonnement par les carrés est exact. Il est utile dans une démonstration ou lorsqu’une consigne interdit la calculatrice.
Résoudre un problème d’aire sans confondre côté et périmètre
Un carré a une aire de 98 cm². Son côté vaut \(\sqrt{98}\) cm et son périmètre \(4\sqrt{98}\) cm. Prendre directement \(\sqrt{98}\) comme périmètre oublierait que la racine retrouve une longueur élémentaire, pas toute grandeur liée à la figure.
Une valeur approchée donne un côté d’environ 9,90 cm et un périmètre d’environ 39,60 cm. Les deux réponses gardent des unités de longueur, contrairement à l’aire initiale exprimée en centimètres carrés.
Utiliser une calculatrice sans perdre la valeur exacte
Dans un calcul géométrique, conserver \(\sqrt{117}\) dans la mémoire de la calculatrice évite de réutiliser un arrondi. Si l’étape suivante demande de multiplier cette longueur par 3, on calcule \(3\sqrt{117}\) puis on arrondit le résultat final.
Écrire les deux formes dans la copie clarifie le statut : \(L=3\sqrt{117}\) cm est exact, tandis que \(L\approx32,45\) cm est approché. La précision demandée décide du nombre de décimales, pas le nombre affiché par l’écran.
Racine carrée 3ème : l’essentiel à retenir
La racine carrée de \(a\geq0\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\). Les carrés parfaits donnent des valeurs entières ; les autres racines se conservent exactement avec le radical puis s’arrondissent selon le besoin. Résoudre \(x^2=a\) demande de penser aux deux nombres opposés lorsque \(a>0\).
Cette approche ciblée suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 sans anticiper des propriétés algébriques qui ne sont pas nécessaires à ce niveau.