Puissances 4ème : règles de calcul expliquées pas à pas

Les puissances en 4ème condensent un produit répété. L'écriture $3^5$ ne signifie ni $3\times5$ ni $5^3$ : elle signifie que le facteur $3$ apparaît cinq fois. Lire correctement la base et l'exposant est donc la première compétence du chapitre.

Les règles de calcul permettent ensuite de regrouper des produits et des quotients sans développer de grands nombres. Elles ne sont valables que sous certaines conditions, notamment lorsque les bases sont identiques. Ce cours fait apparaître ces conditions avant les formules.

Table des Matières

Base, exposant et produit répété

Puissance d’exposant entier positif

Pour un nombre $a$ et un entier $n\geq1$ , $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . Le nombre $a$ est la base et $n$ l'exposant.

4^3=4\times4\times4=64,\qquad (-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16.

Par convention, pour $a\neq0$ , on pose $a^0=1$ . Cette convention rend les règles de quotient cohérentes : $a^3\div a^3=a^{3-3}=a^0=1$ .

Erreur fréquente : $2^4=16$ , tandis que $4^2=16$ par coïncidence. Inverser base et exposant ne conserve pas la valeur en général : $2^5=32$ mais $5^2=25$ .

Produit de puissances de même base

Additionner les exposants

Pour une même base $a$ , $a^m\times a^n=a^{m+n}$ . Les exposants s'additionnent parce que les deux produits répétés sont mis bout à bout.

\underbrace{a\times a\times a}_{3\text{ facteurs}}\times \underbrace{a\times a}_{2\text{ facteurs}}=a^{3+2}=a^5.

Ainsi $7^4\times7^3=7^7$ . La règle ne dit rien pour $7^4+7^3$ , qui est une somme et peut seulement se factoriser : $7^4+7^3=7^3(7+1)$ .

Quotient de puissances de même base

Soustraire les exposants

Pour $a\neq0$ et $m\geq n$ , $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ . Les $n$ facteurs communs du numérateur et du dénominateur se simplifient.

\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4=625.

La condition $a\neq0$ vient du dénominateur. Pour des exposants plus petits au numérateur, le quotient donne l'inverse d'une puissance ; cette extension sera formalisée avec les exposants négatifs dans le travail sur les puissances de 10.

Puissance d’une puissance et puissance d’un produit

Situation	Règle	Exemple
puissance d'une puissance	$(a^m)^n=a^{mn}$	$(2^3)^4=2^{12}$
puissance d'un produit	$(ab)^n=a^nb^n$	$(3x)^2=9x^2$
puissance d'un quotient	$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}$

Dans $(a^m)^n$ , le bloc $a^m$ est répété $n$ fois, donc l'exposant $m$ est ajouté $n$ fois : cela produit (mn), et non (m+n).

Erreur fréquente : $(a+b)^2$ n'est pas égal à $a^2+b^2$ . La puissance se distribue sur un produit, pas sur une somme.

Base négative : les parenthèses décident du signe

Lorsque la base négative est entre parenthèses, sa puissance est positive pour un exposant pair et négative pour un exposant impair. Les facteurs négatifs se regroupent par paires.

(-3)^4=81,\qquad (-3)^5=-243,\qquad -3^4=-81.

Dans la dernière écriture, la puissance porte sur $3$ seulement ; le signe moins est appliqué après. Cette lecture prolonge la règle des nombres relatifs et des priorités.

Simplifier une expression avant de calculer

\begin{aligned} A&=\frac{2^5\times2^3}{(2^2)^2}\\ &=2^{5+3-2\times2}\\ &=2^4\\ &=16. \end{aligned}

Écrire d'abord une seule puissance rend le calcul plus court et réduit les risques. Une vérification consiste à développer mentalement le nombre de facteurs : huit facteurs au numérateur, quatre au dénominateur, donc quatre facteurs restent.

Choisir la bonne règle au lieu de regarder seulement les exposants

Identifier l'opération principale : produit, quotient ou puissance.
Vérifier si les bases sont identiques ou si tout un produit est élevé à une puissance.
Appliquer une seule règle et conserver les parenthèses utiles.
Calculer la valeur numérique seulement si elle est demandée.

Les premiers carrés et cubes ont été introduits dans Carrés, cubes et puissances 5ème. Ici, l'enjeu nouveau est de transformer des expressions entières avec des règles justifiées.

Astuce : si une règle semble douteuse, développer un petit exemple. Deux lignes de produit répété suffisent souvent à retrouver l'exposant correct.

Lire une puissance avant d’appliquer les règles

Dans $a^n$ , le nombre $a$ est la base et l'entier $n$ l'exposant. La puissance désigne un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . Cette lecture distingue $(-3)^4=81$ de $-3^4=-81$ : dans la seconde écriture, la puissance porte seulement sur 3 et le signe moins est appliqué ensuite.

Décomposition d'une puissance en facteurs identiques — L'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas la base.

Erreur fréquente : $5^3$ vaut $5\times5\times5$ , pas $5\times3$ . Développer la définition sur un brouillon reste le meilleur contrôle.

Simplifier une expression sans perdre les conditions

Les règles de calcul s'appliquent lorsque les bases ou les exposants répondent exactement aux conditions annoncées. Dans $2^5\times3^5$ , l'exposant commun autorise $(2\times3)^5=6^5$ . Dans $2^5+2^3$ , aucune règle de puissance ne transforme directement la somme ; on peut seulement calculer ou factoriser $2^3(2^2+1)$ .

Pour un quotient $a^m/a^n$ , la base doit être non nulle. Cette condition devient essentielle si la base est une expression littérale. Écrire les conditions évite d'utiliser une identité dans un cas où l'expression initiale n'existe pas.

Écriture	Transformation correcte
$x^4x^3$	$x^7$
$(x^4)^3$	$x^{12}$
$x^4+x^3$	$x^3(x+1)$
$x^6/x^2$ , $x\ne0$	$x^4$

Compter des configurations par puissances

Un code comporte cinq positions, chacune pouvant contenir l'un des trois symboles A, B ou C. Le nombre de codes possibles est $3^5=243$ , car on effectue cinq choix indépendants de trois possibilités. L'exposant représente ici le nombre de positions, et la base le nombre de choix à chaque position.

Si l'on ajoute deux nouvelles positions sans changer les symboles, le nombre est multiplié par $3^2$ : $3^5\times3^2=3^7$ . Cette situation donne un sens concret à la règle du produit de puissances de même base. Elle ne s'appliquerait pas si les nouvelles positions avaient quatre choix chacune.

Si les répétitions étaient autorisées mais que le premier symbole devait obligatoirement être A, il ne resterait que quatre positions libres et le nombre de codes serait $3^4$ . Une contrainte modifie le nombre de choix ou de positions ; elle ne change pas arbitrairement l'exposant. Décrire chaque choix avant d'écrire une puissance évite de compter deux fois une possibilité ou d'en oublier.

Puissances 4ème : l’essentiel à retenir

Les puissances en 4ème reposent sur une lecture précise : la base est répétée autant de fois que l'indique l'exposant. On additionne les exposants dans un produit de même base, on les soustrait dans un quotient et on les multiplie pour une puissance de puissance.

Ces règles, prévues par le programme officiel de mathématiques du cycle 4, préparent l'écriture scientifique et allègent le calcul littéral.