Puissances et racines carrées Seconde : règles et calculs

Les puissances condensent des produits répétés, tandis que la racine carrée inverse l'opération « élever au carré » sur les nombres positifs. Les difficultés du chapitre viennent moins des calculs que des conditions : base non nulle pour un exposant négatif, radicande positif, et valeur absolue dans $\sqrt{x^2}$.

Ce cours s'appuie sur les ensembles de nombres réels en Seconde. Pour vérifier chaque règle dans des contextes variés, utilisez ensuite les dix exercices corrigés sur les puissances et racines carrées.

Définir une puissance d’exposant entier

Pour un réel $a$ et un entier naturel $n\ge1$ :

$$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}.$$

On pose $a^0=1$ lorsque $a\ne0$. Pour $n\ge1$ et $a\ne0$, un exposant négatif désigne l'inverse :

$$a^{-n}=\frac1{a^n}.$$

Appliquer les règles sur les exposants

Situation	Règle	Condition essentielle
Même base, produit	$a^m a^n=a^{m+n}$	Les puissances sont définies.
Même base, quotient	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\ne0$
Puissance d'une puissance	$(a^m)^n=a^{mn}$	Les puissances sont définies.
Puissance d'un produit	$(ab)^n=a^n b^n$	Les puissances sont définies.

Par exemple :

$$\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2}=2^{7-3-2}=2^2=4.$$

Ces règles concernent les produits et les quotients. Il n'existe pas de règle analogue pour une somme : $2^3+2^4\ne2^7$.

Écrire un nombre en notation scientifique

Un nombre non nul est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit $a\times10^n$, avec $1\le|a|<10$ et $n\in\mathbb Z$.

• $5\,430\,000=5{,}43\times10^6$.
• $0{,}000072=7{,}2\times10^{-5}$.

Pour multiplier deux écritures scientifiques, on multiplie les nombres décimaux et on additionne les exposants, puis on ajuste le premier facteur si nécessaire.

Définir la racine carrée

Dans les nombres réels, $\sqrt a$ n'est pas définie pour $a<0$. Les carrés parfaits usuels permettent de calculer exactement : $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{121}=11$.

Pourquoi √(x²) vaut |x|

Le nombre recherché doit être positif et avoir pour carré $x^2$. Si $x\ge0$, il vaut $x$. Si $x<0$, il vaut $-x$, qui est positif. Dans les deux cas, il vaut $|x|$.

Ainsi, $\sqrt{(-5)^2}=5$, et non $-5$. De même :

$$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.$$

Transformer des produits et des quotients de racines

Pour $a\ge0$ et $b\ge0$ :

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b.$$

Pour $a\ge0$ et $b>0$ :

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

On simplifie $\sqrt{72}$ en isolant le plus grand carré parfait :

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2.$$

Comparer des expressions sans approximation

Deux nombres positifs peuvent être comparés en comparant leurs carrés. Pour comparer $3\sqrt5$ et $2\sqrt{11}$ :

$$(3\sqrt5)^2=45,\qquad(2\sqrt{11})^2=44.$$

Les deux expressions étant positives, on conclut $3\sqrt5>2\sqrt{11}$.

Choisir la bonne forme dans un calcul

1. Identifier un produit, un quotient ou une puissance de puissance avant de toucher aux exposants.
2. Vérifier qu'une base de puissance négative est non nulle.
3. Pour une racine, chercher un facteur carré parfait et conserver un radicande positif.
4. Contrôler le signe du résultat, notamment après $\sqrt{x^2}$.

Les erreurs de signe et les transformations interdites sont ciblées dans la série corrigée de puissances et racines carrées.