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Quatrième

Série d’exercices

Racine carrée 4e : exercices corrigés PDF

Quatrième Racine carrée

Le cours sur la racine carrée en 4e donne la définition et la méthode d’encadrement. Cette fiche part du sens de la racine carrée, passe aux encadrements, puis aux problèmes de géométrie, et se termine par une évaluation corrigée de 30 minutes.

Sommaire
  1. 1.Comprendre la racine carrée
    1. 1.1.Retrouver la racine sans calculatrice
    2. 1.2.Vrai ou faux
    3. 1.3.Un carré incliné sur un quadrillage
  2. 2.Encadrer et comparer
    1. 2.1.Entre deux entiers consécutifs
    2. 2.2.Comparer sans la touche racine
    3. 2.3.Approcher √7 avec des carrés
  3. 3.Résoudre des problèmes
    1. 3.1.Clôturer un jardin carré
    2. 3.2.Trois triangles rectangles
    3. 3.3.La spirale de Théodore
    4. 3.4.Doubler l’aire d’un carré
    5. 3.5.Le temps de chute
    6. 3.6.Pour aller plus loin : √2 n’est pas décimal
  4. 4.Évaluation de 30 minutes
    1. 4.1.Automatismes (6 points)
    2. 4.2.Encadrer et comparer (6 points)
    3. 4.3.Un problème (8 points)
  5. 5.Corrigés détaillés

    Comprendre la racine carrée

    Exercice 1Retrouver la racine sans calculatrice

    Corrigé

    Donner la valeur de chaque racine carrée, sans calculatrice, en citant le carré utilisé.

    1. √81

    2. √144

    3. √0

    4. √1

    5. √0,25

    6. √1,44

    Exercice 2Vrai ou faux

    Corrigé

    Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.

    1. Comme (−5)² = 25, on a √25 = −5.

    2. −16=−4\sqrt{-16}=-4

    3. √100 = 50

    4. 36+64=36+64\sqrt{36+64}=\sqrt{36}+\sqrt{64}

    5. (√7)² = 7

    6. La racine carrée d’un nombre est toujours plus petite que ce nombre.

    Quadrillage de trois carreaux sur trois. Le carré ABCD est incliné : A est sur le côté bas, à un carreau du coin gauche, B sur le côté droit, à un carreau du bas, C sur le côté haut, à un carreau du coin droit, D sur le côté gauche, à un carreau du haut.
    Schéma de l’exercice 3 : le carré ABCD dans un grand carré de côté 3 cm.

    Exercice 3Un carré incliné sur un quadrillage

    Corrigé

    Sur la figure, chaque carreau a pour côté 1 cm. Le carré ABCD est tracé dans un grand carré de côté 3 cm.

    1. Calculer l’aire du carré ABCD en retirant quatre triangles du grand carré.

    2. En déduire la longueur exacte du côté AB.

    3. Retrouver ce résultat avec le théorème de Pythagore.

    4. Encadrer AB par deux entiers consécutifs.

    Encadrer et comparer

    Exercice 4Entre deux entiers consécutifs

    Corrigé

    Encadrer chaque racine carrée par deux entiers consécutifs, en citant les deux carrés parfaits utilisés.

    1. √18

    2. √55

    3. √110

    4. √140

    5. √3

    Exercice 5Comparer sans la touche racine

    Corrigé

    Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

    1. Comparer √30 et 5,5.

    2. Comparer √63 et 7,9.

    3. Ranger dans l’ordre croissant : 4 ; √10 ; 3,5 ; √17 ; √16.

    4. Expliquer pourquoi √50 ne peut pas être égal à 7,1.

    Exercice 6Approcher √7 avec des carrés

    Corrigé

    On cherche une valeur approchée de √7 en utilisant seulement la touche carré de la calculatrice.

    1. Encadrer √7 par deux entiers consécutifs.

    2. Calculer 2,6² et 2,7², puis en déduire un encadrement de √7 au dixième.

    3. Calculer 2,64² et 2,65², puis en déduire un encadrement au centième.

    4. Calculer 2,645², puis donner l’arrondi de √7 au centième.

    Résoudre des problèmes

    Exercice 7Clôturer un jardin carré

    Corrigé

    Un jardin carré a une aire de 150 m². On veut le clôturer avec un grillage vendu en rouleaux de 10 m.

    1. Donner la longueur exacte du côté, puis l’encadrer par deux entiers consécutifs.

    2. Donner à la calculatrice l’arrondi du côté au centième.

    3. Calculer le périmètre du jardin, puis l’arrondir au mètre.

    4. Combien de rouleaux faut-il acheter ? L’encadrement de la question 1 suffisait-il pour répondre ?

    Exercice 8Trois triangles rectangles

    Corrigé

    Dans chaque cas, le triangle ABC est rectangle en A. Donner la valeur exacte demandée et, si elle n’est pas entière, son arrondi au dixième.

    1. AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.

    2. AB = 4 cm et AC = 5 cm. Calculer BC.

    3. AB = 5 cm et BC = 9 cm. Calculer AC.

    4. Un élève trouve AC = √106 cm à la question 3. Expliquer sans calculatrice pourquoi c’est faux.

    Spirale formée de huit triangles rectangles accolés de sommet commun O. Le segment OA1 mesure 1 cm, puis chaque côté extérieur A1A2, A2A3 et ainsi de suite mesure 1 cm et est perpendiculaire au segment qui le précède, jusqu’au point A9.
    Schéma de l’exercice 9 : la spirale de Théodore, de A1 à A9.

    Exercice 9La spirale de Théodore

    Corrigé

    Sur la figure, qui n’est pas en vraie grandeur, OA₁ = 1 cm. Le triangle OA₁A₂ est rectangle en A₁ avec A₁A₂ = 1 cm. Le triangle OA₂A₃ est rectangle en A₂ avec A₂A₃ = 1 cm, et ainsi de suite.

    1. Calculer OA₂, OA₃ et OA₄.

    2. Comment passe-t-on de OA₃² à OA₄² ? En déduire OA₅ et OA₆.

    3. Quels segments de la figure, issus de O, ont une longueur entière ?

    4. Combien de triangles faudrait-il pour obtenir un segment de 4 cm ?

    Exercice 10Doubler l’aire d’un carré

    Corrigé

    Un carré a pour côté 4 cm. Théo affirme : « Pour doubler son aire, il suffit de doubler son côté. »

    1. Calculer l’aire du carré de côté 4 cm et celle du carré de côté 8 cm. Théo a-t-il raison ?

    2. Donner la longueur exacte du côté d’un carré d’aire 32 cm².

    3. À la calculatrice, comparer √32÷4 et √2. Par quel nombre faut-il environ multiplier le côté ?

    4. Un carré a pour côté 10 cm. Estimer le côté du carré d’aire double avec ce coefficient, puis vérifier avec une racine carrée.

    Exercice 11Le temps de chute

    Corrigé

    Un objet lâché d’une hauteur h, en mètres, touche le sol au bout d’un temps t, en secondes, avec environ t = √(h÷5).

    1. Calculer t pour h = 20 m, puis pour h = 80 m.

    2. La hauteur a été multipliée par 4. Par combien le temps a-t-il été multiplié ?

    3. Pour h = 30 m, encadrer t par deux entiers consécutifs, puis donner son arrondi au dixième.

    4. L’objet met 5 s à tomber. De quelle hauteur a-t-il été lâché ?

    Exercice 12Pour aller plus loin : √2 n’est pas décimal

    Corrigé

    On raisonne par l’absurde : on suppose que √2 est un nombre décimal, et on cherche une contradiction.

    1. Justifier que √2 n’est pas un entier.

    2. Calculer 1,4² et 1,41². Combien ont-ils de chiffres après la virgule, et quel est leur dernier chiffre ?

    3. Donner le dernier chiffre du carré de chaque chiffre de 1 à 9. Peut-on obtenir 0 ?

    4. Un décimal non entier se termine par un chiffre non nul. Expliquer pourquoi son carré n’est pas un entier, puis conclure.

    Évaluation de 30 minutes

    Exercice 13Automatismes (6 points)

    Corrigé

    Sans calculatrice. Chaque question vaut 1 point.

    1. Calculer √49.

    2. Calculer √0,81.

    3. Calculer (√11)².

    4. Calculer 52\sqrt{5^2}.

    5. Quel nombre positif a pour carré 144 ?

    6. L’écriture −9\sqrt{-9} a-t-elle un sens ? Justifier.

    Exercice 14Encadrer et comparer (6 points)

    Corrigé

    Chaque question vaut 1,5 point. La calculatrice n’est autorisée qu’à la question 4.

    1. Encadrer √75 par deux entiers consécutifs.

    2. Comparer √50 et 7.

    3. Ranger dans l’ordre croissant : 3 ; √8 ; 2,9 ; √10.

    4. Donner l’arrondi au dixième de √75.

    Exercice 15Un problème (8 points)

    Corrigé

    Un panneau rectangulaire mesure 9 m sur 4 m. On veut le remplacer par un panneau carré de même aire.

    1. Calculer l’aire du panneau rectangulaire. (1 point)

    2. Calculer le côté du panneau carré. (2 points)

    3. Lequel des deux panneaux a le plus petit périmètre ? (1,5 point)

    4. Donner la longueur exacte de la diagonale du panneau rectangulaire. (2 points)

    5. Encadrer cette diagonale par deux entiers consécutifs, puis donner son arrondi au dixième, à la calculatrice. (1,5 point)

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Retrouver la racine sans calculatrice

    Revoir l’exercice

    1. 9² = 81 et 9 est positif, donc √81 = 9.

    2. 12² = 144, donc √144 = 12.

    3. 0² = 0, donc √0 = 0.

    4. 1² = 1, donc √1 = 1.

    5. 0,5² = 0,25, donc √0,25 = 0,5.

    6. 1,2² = 1,44, donc √1,44 = 1,2.

    Corrigé 2Vrai ou faux

    Revoir l’exercice

    1. Faux. La racine carrée de 25 est le nombre positif dont le carré est 25, donc √25 = 5.

    2. Faux. Un carré n’est jamais négatif : aucun nombre n’a pour carré −16, donc −16\sqrt{-16} n’a pas de sens.

    3. Faux. 50² = 2 500. En fait, 10² = 100, donc √100 = 10.

    4. Faux. À gauche, √100 = 10. À droite, 6 + 8 = 14.

    5. Vrai. Par définition, √7 est le nombre positif dont le carré est 7.

    6. Faux. √0,25 = 0,5, qui est plus grand que 0,25.

    Corrigé 3Un carré incliné sur un quadrillage

    Revoir l’exercice

    1. Chaque triangle est rectangle, et les côtés de son angle droit mesurent 1 cm et 2 cm. Son aire vaut 1×22=1\dfrac{1\times2}{2}=1 cm². L’aire de ABCD vaut 9 − 4 × 1 = 5 cm².

    2. AB est une longueur, donc un nombre positif, et AB² = 5. Ainsi AB = √5 cm.

    3. [AB] est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 cm et 2 cm : AB² = 1² + 2² = 5, donc AB = √5 cm.

    4. 4<5<9, donc 2<5<34<5<9\text{, donc }2<\sqrt{5}<3.

    Corrigé 4Entre deux entiers consécutifs

    Revoir l’exercice

    1. 16<18<25, donc 4<18<516<18<25\text{, donc }4<\sqrt{18}<5.

    2. 49<55<64, donc 7<55<849<55<64\text{, donc }7<\sqrt{55}<8.

    3. 100<110<121, donc 10<110<11100<110<121\text{, donc }10<\sqrt{110}<11.

    4. 121<140<144, donc 11<140<12121<140<144\text{, donc }11<\sqrt{140}<12.

    5. 1<3<4, donc 1<3<21<3<4\text{, donc }1<\sqrt{3}<2.

    Corrigé 5Comparer sans la touche racine

    Revoir l’exercice

    1. 5,5² = 30,25, qui est plus grand que 30. Donc 30<5,5\sqrt{30}<5{,}5.

    2. 7,9² = 62,41, qui est plus petit que 63. Donc 63>7,9\sqrt{63}>7{,}9.

    3. Les carrés sont 16 ; 10 ; 12,25 ; 17 ; 16. Donc 10<3,5<4=16<17\sqrt{10}<3{,}5<4=\sqrt{16}<\sqrt{17}.

    4. 7,1² = 50,41, et non 50. Le carré de √50 doit valoir exactement 50.

    Corrigé 6Approcher √7 avec des carrés

    Revoir l’exercice

    1. 4<7<9, donc 2<7<34<7<9\text{, donc }2<\sqrt{7}<3.

    2. 2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29. Comme 6,76<7<7,29, on a 2,6<7<2,76{,}76<7<7{,}29\text{, on a }2{,}6<\sqrt{7}<2{,}7.

    3. 2,64² = 6,9696 et 2,65² = 7,0225, donc 2,64<7<2,652{,}64<\sqrt{7}<2{,}65.

    4. 2,645² = 6,996025, plus petit que 7. Donc √7 dépasse 2,645, milieu de 2,64 et 2,65 : son arrondi au centième est 2,65.

    Corrigé 7Clôturer un jardin carré

    Revoir l’exercice

    1. Le côté mesure √150 m. Comme 144<150<169, on a 12<150<13144<150<169\text{, on a }12<\sqrt{150}<13.

    2. √150 ≈ 12,25 m.

    3. Le périmètre vaut 4 × √150 ≈ 48,99 m, soit environ 49 m.

    4. 4 rouleaux donnent 40 m et 5 rouleaux 50 m : il en faut 5. L’encadrement ne suffisait pas : il donnait un périmètre entre 48 m et 52 m, ce qui laissait hésiter entre 5 et 6 rouleaux.

    Corrigé 8Trois triangles rectangles

    Revoir l’exercice

    1. D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100, donc BC = 10 cm.

    2. BC² = 4² + 5² = 41, donc BC = √41 cm, soit environ 6,4 cm.

    3. AC² = BC² − AB² = 9² − 5² = 56, donc AC = √56 cm, soit environ 7,5 cm.

    4. 106>81=9\sqrt{106}>\sqrt{81}=9 : AC serait plus long que l’hypoténuse BC. L’élève a ajouté les carrés au lieu de les soustraire.

    Corrigé 9La spirale de Théodore

    Revoir l’exercice

    1. OA₂² = 1² + 1² = 2, donc OA₂ = √2 cm. Puis OA₃² = 2 + 1 = 3, donc OA₃ = √3 cm. Enfin OA₄² = 3 + 1 = 4, donc OA₄ = 2 cm.

    2. D’après Pythagore, OA₄² = OA₃² + 1 : le carré de la longueur augmente de 1 à chaque triangle. Donc OA₅ = √5 cm et OA₆ = √6 cm.

    3. OA₁ = 1 cm, OA₄ = √4 = 2 cm et OA₉ = √9 = 3 cm.

    4. 4 = √16 : il faut atteindre A16A_{16}. Le premier triangle mène à A₂, donc il en faut 15.

    Corrigé 10Doubler l’aire d’un carré

    Revoir l’exercice

    1. Les aires valent 16 cm² et 64 cm². En doublant le côté, l’aire est multipliée par 4 : Théo a tort.

    2. Le côté mesure √32 cm.

    3. Les deux nombres affichent 1,414… Il faut donc multiplier le côté par environ 1,41.

    4. 10 × 1,41 = 14,1 cm. L’aire double vaut 200 cm², et √200 ≈ 14,14 cm : l’estimation convient.

    Corrigé 11Le temps de chute

    Revoir l’exercice

    1. Pour h = 20 : t=20÷5=4=2t=\sqrt{20\div5}=\sqrt{4}=2 s. Pour h = 80 : t = √16 = 4 s.

    2. Le temps passe de 2 s à 4 s : il est multiplié par 2, et non par 4.

    3. t = √6 s. Comme 4<6<9, on a 2<t<34<6<9\text{, on a }2<t<3, et t ≈ 2,4 s.

    4. Le nombre dont la racine carrée vaut 5 est 5² = 25. Donc h÷5 = 25, soit h = 125 m.

    Corrigé 12Pour aller plus loin : √2 n’est pas décimal

    Revoir l’exercice

    1. 1<2<4, donc 1<2<21<2<4\text{, donc }1<\sqrt{2}<2, et il n’y a pas d’entier strictement entre 1 et 2.

    2. 1,4² = 1,96 a deux chiffres après la virgule et se termine par 6. 1,41² = 1,9881 en a quatre et se termine par 1.

    3. On obtient 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ; 6 ; 9 ; 4 ; 1. Le chiffre 0 n’apparaît jamais.

    4. Écrivons ce décimal a = N ÷ 10 puissance k, où l’entier N se termine par le dernier chiffre de a, non nul. D’après la question 3, N² ne se termine pas par 0, donc a², égal à N² divisé par 10 puissance 2k, n’est pas un entier. Or (√2)² = 2 : c’est une contradiction, donc √2 n’est pas décimal.

    Corrigé 13Automatismes (6 points)

    Revoir l’exercice

    1. √49 = 7.

    2. √0,81 = 0,9.

    3. (√11)² = 11.

    4. 52=25=5\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5.

    5. 12, car 12² = 144.

    6. Non : un carré n’est jamais négatif, donc aucun nombre n’a pour carré −9.

    Corrigé 14Encadrer et comparer (6 points)

    Revoir l’exercice

    1. 64<75<81, donc 8<75<964<75<81\text{, donc }8<\sqrt{75}<9.

    2. 7² = 49, plus petit que 50. Donc 50>7\sqrt{50}>7.

    3. Les carrés sont 9 ; 8 ; 8,41 ; 10. Donc 8<2,9<3<10\sqrt{8}<2{,}9<3<\sqrt{10}.

    4. √75 ≈ 8,66, soit 8,7 au dixième.

    Corrigé 15Un problème (8 points)

    Revoir l’exercice

    1. L’aire vaut 9 × 4 = 36 m².

    2. Le côté est le nombre positif de carré 36 : il mesure √36 = 6 m.

    3. Le rectangle a un périmètre de 2 × (9 + 4) = 26 m, et le carré de 4 × 6 = 24 m. Le carré a le plus petit.

    4. La diagonale d est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 9 m et 4 m. D’après Pythagore, d² = 81 + 16 = 97, donc d = √97 m.

    5. 81<97<100, donc 9<d<1081<97<100\text{, donc }9<d<10, et d ≈ 9,8 m.

    Pour continuer : les exercices en ligne sur la racine carrée, puis les exercices sur Pythagore.

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