Divisibilité et nombres premiers 4ème : cours

La divisibilité et les nombres premiers en 4ème fournissent une écriture structurée des entiers. Au lieu d'essayer des divisions au hasard, on utilise des critères, puis on décompose chaque nombre en facteurs premiers.

Cette décomposition sert à inventorier les diviseurs, simplifier une fraction, reconnaître un carré parfait ou résoudre un problème de partage. L'enjeu n'est donc pas seulement de savoir si un entier est divisible, mais d'expliquer pourquoi.

Table des Matières

Employer correctement multiple, diviseur et divisible

Relation de divisibilité

Pour des entiers $a$ et $b$ avec $b eq0$ , dire que $b$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $a=bk$ . On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ .

Comme $84=7\times12$ , 7 et 12 sont des diviseurs de 84, tandis que 84 est un multiple de 7 et de 12. La phrase doit toujours préciser qui divise qui.

Erreur fréquente : « 7 est divisible par 84 » est faux. Une division numérique proche ne suffit pas : le quotient doit être entier.

Utiliser les critères de divisibilité comme filtres

Diviseur	Critère
2	le chiffre des unités est pair
3	la somme des chiffres est un multiple de 3
5	le nombre se termine par 0 ou 5
9	la somme des chiffres est un multiple de 9
10	le nombre se termine par 0

Pour 7 128, la somme des chiffres vaut 18 : le nombre est divisible par 9 et donc par 3. Son chiffre des unités est pair : il est aussi divisible par 2. Les critères évitent des divisions longues, mais ne remplacent pas une justification lorsque le diviseur demandé n'a pas de critère connu.

Ces tests prolongent les multiples, diviseurs et critères étudiés en 5ème.

Reconnaître un nombre premier

Nombre premier

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Le nombre 1 n'est pas premier, puisqu'il ne possède qu'un seul diviseur positif. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Pour tester 97, il suffit d'essayer les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{97}$ , donc 2, 3, 5 et 7.

Astuce : si un entier composé $n$ a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en possède un inférieur ou égal à $\sqrt n$ . Cette borne évite de tester jusqu'à $n-1$ .

Décomposer un entier en facteurs premiers

Décomposition unique

Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près.

Arbre de décomposition de quatre-vingt-quatre en facteurs premiers — Les branches se poursuivent jusqu'à ce que toutes les feuilles soient des nombres premiers.

360=2^3\times3^2\times5.

Une branche qui se termine par 12 n'est pas achevée, car 12 est composé. On peut choisir des divisions différentes au départ ; le produit final de facteurs premiers sera le même.

Lister tous les diviseurs sans oubli

Si $n=2^a3^b5^c$ , chaque diviseur positif choisit pour chaque facteur premier un exposant compris entre 0 et l'exposant maximal. Pour $60=2^2\times3\times5$ , un diviseur a la forme $2^i3^j5^k$ avec $i\in\{0,1,2\}$ et $j,k\in\{0,1\}$ .

(2+1)(1+1)(1+1)=12.

Cette méthode donne le nombre attendu avant même la liste : $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$ . Si la liste ne contient pas douze éléments, elle est incomplète ou contient un doublon.

Rendre une fraction irréductible grâce aux facteurs premiers

Pour simplifier une fraction, on décompose numérateur et dénominateur, puis on supprime les facteurs communs :

\frac{378}{630}=\frac{2\times3^3\times7}{2\times3^2\times5\times7}=\frac35.

Le résultat est irréductible car 3 et 5 n'ont plus de facteur premier commun. Cette méthode justifie les simplifications employées dans le cours sur les fractions et nombres rationnels.

Erreur fréquente : on simplifie des facteurs, pas des chiffres écrits ni des termes séparés par une addition. Factoriser doit précéder toute cancellation.

Résoudre un problème de partage périodique

Deux signaux se déclenchent toutes les 18 et 24 secondes. Pour savoir quand ils coïncident, on cherche un multiple commun. Les décompositions sont :

18=2\times3^2,\qquad24=2^3\times3.

Le plus petit multiple commun doit contenir chaque facteur avec l'exposant maximal : $2^3\times3^2=72$ . Les signaux coïncident après 72 secondes.

À l'inverse, découper deux longueurs en morceaux identiques aussi grands que possible conduit à chercher un diviseur commun. Le contexte permet donc de choisir entre multiple et diviseur.

Vérifier une réponse arithmétique

Chaque facteur de la décomposition est-il premier ?
Le produit reconstitue-t-il le nombre initial ?
Les critères de divisibilité annoncés sont-ils effectivement satisfaits ?
Une fraction dite irréductible possède-t-elle encore un facteur commun ?

Déterminer un PGCD à partir des facteurs premiers

Le plus grand diviseur commun de deux entiers contient seulement leurs facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Pour $84=2^2\times3\times7$ et $126=2\times3^2\times7$ , on obtient :

\operatorname{PGCD}(84,126)=2\times3\times7=42.

On peut donc former 42 groupes identiques au maximum si les deux quantités doivent être entièrement réparties. Chaque groupe contient alors $84/42=2$ objets du premier type et $126/42=3$ du second.

Former le plus grand nombre de lots identiques

Une association dispose de 168 cahiers et 210 stylos. Elle veut préparer le plus grand nombre de lots identiques sans reste. Les décompositions sont $168=2^3\times3\times7$ et $210=2\times3\times5\times7$ . Les facteurs communs donnent $2\times3\times7=42$ .

Elle peut donc préparer 42 lots, chacun contenant $168/42=4$ cahiers et $210/42=5$ stylos. Chercher un multiple commun aurait répondu à une question de synchronisation, pas de partage. Le mot « plus grand nombre de groupes » oriente vers le plus grand diviseur commun.

168=42\times4,\qquad210=42\times5.

Le nombre de lots 42 est maximal : tout nombre de lots possible doit diviser 168 et 210. Comme 42 est leur plus grand diviseur commun, aucun entier supérieur ne peut satisfaire simultanément les deux partages. Cette phrase justifie le mot « plus grand », que les seules divisions exactes ne suffisent pas à établir.

Divisibilité et nombres premiers 4ème : l’essentiel à retenir

En divisibilité et nombres premiers en 4ème, les critères orientent les tests et la décomposition première révèle toute la structure d'un entier. Elle permet de justifier diviseurs, multiples communs et simplifications de fractions.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 fait de cette démarche un outil de résolution : une écriture factorisée doit être complète, contrôlée et utilisée selon le contexte.