Complexes : formes trigonométrique et exponentielle

La forme algébrique décrit les coordonnées d'un nombre complexe. Les formes trigonométrique et exponentielle décrivent sa longueur et sa direction, ce qui simplifie les produits, les quotients et les puissances.

Le point délicat n'est pas la formule, mais le choix correct d'un argument selon le quadrant et le fait qu'un argument est défini modulo $2\pi$ .

Table des Matières

Passer des coordonnées au module et à l’argument

Module et argument

Pour $z\neq0$ , une écriture trigonométrique est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , où $r=|z|\gt 0$ et $\theta$ est un argument de z.

On calcule d'abord r, puis on détermine simultanément le cosinus et le sinus de l'angle. Utiliser seulement une tangente peut choisir le mauvais quadrant. Le nombre nul n'a aucun argument.

Employer l’écriture exponentielle

Notation d’Euler

On note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Ainsi $z=re^{i\theta}$ , et deux arguments d'un même complexe diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$ .

Cette notation condense la trigonométrie sans transformer $i\theta$ en angle réel. Le module est le facteur positif r ; un signe négatif peut être absorbé en ajoutant $\pi$ à l'argument.

Multiplier, diviser et élever à une puissance

r e^{i\alpha}\times s e^{i\beta}=rs e^{i(\alpha+\beta)},\qquad\frac{r e^{i\alpha}}{s e^{i\beta}}=\frac rs e^{i(\alpha-\beta)}

Pour une puissance entière, la formule de Moivre donne $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ . La multiplication additionne les angles, tandis que la division les soustrait. Ces règles sont plus courtes que des développements répétés.

Revenir à la forme algébrique et résoudre une égalité polaire

Après un calcul exponentiel, on utilise les valeurs exactes de cosinus et sinus lorsque l'angle est remarquable. Pour un angle non remarquable, garder la forme exponentielle est souvent plus exact qu'une approximation décimale. Le format final dépend de la question.

Exemple de changement de forme

Pour $z=-\sqrt3+i$ , le module vaut 2. Les rapports $\operatorname{Re}(z)/|z|=-\sqrt3/2$ et $\operatorname{Im}(z)/|z|=1/2$ placent le point dans le deuxième quadrant. Un argument est donc $5\pi/6$ , et $z=2e^{5i\pi/6}$ . Le signe des deux coordonnées est ici décisif : la tangente seule donnerait aussi un angle du quatrième quadrant, incompatible avec la partie imaginaire positive.

Module et argument d'un complexe — Multiplier par un complexe multiplie les modules et additionne les arguments.

L'égalité $re^{i\alpha}=se^{i\beta}$ , avec r et s positifs, impose $r=s$ et $\alpha\equiv\beta\pmod{2\pi}$ . Cette double condition évite de comparer seulement les angles. Dans une équation de puissance, plusieurs arguments peuvent représenter des solutions distinctes.

mettre chaque membre sous forme exponentielle
comparer les modules
résoudre la congruence sur les arguments
lister les solutions distinctes

Contrôler un changement de forme

Erreur fréquente : un argument trouvé par la calculatrice avec arctan ne tient pas toujours compte du quadrant.

Contrôle utile : reconstruire $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ permet de contrôler les deux coordonnées.

Les formules d'Euler et de Moivre donnent ensuite des identités trigonométriques. La géométrie complexe interprète ces angles dans le plan.

Les capacités de changement de forme suivent le programme officiel de mathématiques expertes en Terminale.