Formes trigonométrique et exponentielle Terminale : 9 exercices corrigés

Le cours de Formes trigonométrique et exponentielle prépare les changements d'écriture travaillés ici : déterminer un module et argument, choisir le bon quadrant et reconnaître la forme trigonométrique.

Les exercices utilisent ensuite la forme exponentielle d'un complexe pour traiter un produit de complexes, un quotient de complexes, une puissance complexe et une équation.

Changer de forme

Déterminer le module avant l'argument.

Exercice 1 : Premier quadrant

Facile

On considère z=1+iz=1+i.

  1. Calculer le module de z.
  2. Donner une forme exponentielle.
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  1. ∣z∣=12+12=2|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.
  2. Un argument est π/4\pi/4, donc z=2eiπ/4z=\sqrt2e^{i\pi/4}.

Exercice 2 : Choisir le bon quadrant

Moyen

On considère z=−3+iz=-\sqrt3+i.

  1. Calculer le module.
  2. Déterminer un argument et écrire z sous forme exponentielle.
Indication
Les signes du cosinus et du sinus fixent le quadrant.
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  1. ∣z∣=2|z|=2.
  2. Le point est dans le deuxième quadrant, donc un argument est 5π/65\pi/6 et z=2e5iπ/6z=2e^{5i\pi/6}.

Exercice 3 : Revenir à la forme algébrique

Facile

Soit z=4e−iπ/3z=4e^{-i\pi/3}.

  1. Donner la forme trigonométrique.
  2. Donner la forme algébrique.
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  1. z=4(cos⁡(−π/3)+isin⁡(−π/3))z=4(\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)).
  2. z=2−23 iz=2-2\sqrt3\,i.

Exercice 4 : Arguments équivalents

Moyen

On donne z=3e17iπ/6z=3e^{17i\pi/6}.

  1. Réduire l'argument modulo 2π2\pi.
  2. Donner la forme algébrique.
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  1. 17π/6−2π=5π/617\pi/6-2\pi=5\pi/6.
  2. z=3(−3/2+i/2)=−332+32iz=3(-\sqrt3/2+i/2)=-\frac{3\sqrt3}{2}+\frac32i.

Produits, quotients et puissances

Effectuer le calcul dans la forme la plus courte.

Exercice 5 : Produit polaire

Moyen

Soient z=2eiπ/6z=2e^{i\pi/6} et w=3e−iπ/4w=3e^{-i\pi/4}.

  1. Écrire zw sous forme exponentielle.
  2. Donner le module et un argument de zw.
  3. Dans quel quadrant se trouve le point associé à zw ?
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  1. zw=6e−iπ/12zw=6e^{-i\pi/12}.
  2. Le module vaut 6 et un argument vaut −π/12-\pi/12.
  3. L'argument −π/12-\pi/12 est compris entre −π/2-\pi/2 et 0 : le point est dans le quatrième quadrant.

Exercice 6 : Quotient polaire

Moyen

Soient z=6e2iπ/3z=6e^{2i\pi/3} et w=2eiπ/6w=2e^{i\pi/6}.

  1. Calculer z/w sous forme exponentielle.
  2. Donner sa forme algébrique.
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  1. zw=3ei(2π/3−π/6)=3eiπ/2\frac zw=3e^{i(2\pi/3-\pi/6)}=3e^{i\pi/2}.
  2. zw=3i\frac zw=3i.

Exercice 7 : Puissance exacte

Moyen

Calculer (1+i)8(1+i)^8.

  1. Mettre 1 + i sous forme exponentielle.
  2. Calculer la puissance.
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  1. 1+i=2eiπ/41+i=\sqrt2e^{i\pi/4}.
  2. (1+i)8=(2)8e2iπ=16(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{2i\pi}=16.

Exercice 8 : Égalité de deux formes

Difficile

Déterminer les réels r strictement positifs et les réels θ\theta tels que reiθ=−23+2ire^{i\theta}=-2\sqrt3+2i.

  1. Déterminer r.
  2. Déterminer la classe des arguments.
  3. Écrire toutes les solutions.
Indication
Comparer d'abord les modules, puis les arguments modulo 2π.
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  1. r=12+4=4r=\sqrt{12+4}=4.
  2. Le cosinus vaut −3/2-\sqrt3/2 et le sinus 1/21/2, donc θ≡5π/6(mod2π)\theta\equiv5\pi/6\pmod{2\pi}.
  3. r=4r=4 et θ=5π/6+2kπ\theta=5\pi/6+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z.

Choisir une écriture efficace

Comparer les formes avant de lancer le calcul.

Exercice 9 : Équation par les modules et arguments

Difficile

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z3=8eiπ/2z^3=8e^{i\pi/2}.

  1. Déterminer le module des solutions.
  2. Résoudre la congruence sur les arguments.
  3. Donner les trois solutions distinctes.
Indication
Séparer l'égalité des modules de celle des arguments.
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  1. Si ∣z∣=r|z|=r, alors r3=8r^3=8, donc r=2r=2.
  2. On a 3θ≡π/2(mod2π)3\theta\equiv\pi/2\pmod{2\pi}, donc θ=π/6+2kπ/3\theta=\pi/6+2k\pi/3.
  3. Pour k=0,1,2k=0,1,2, les solutions sont 2eiπ/62e^{i\pi/6}, 2e5iπ/62e^{5i\pi/6} et 2e3iπ/22e^{3i\pi/2}.
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