Trigonométrie Première : cercle, radians, sinus et cosinus

Le cercle trigonométrique et l’enroulement de la droite des réels

On imagine la droite des réels posée verticalement, tangente au cercle en $I$, le zéro de la droite étant en $I$. On l'enroule autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les réels négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ vient se placer sur un point $M$ du cercle. On dit que $M$ est le point image de $x$.

Le périmètre du cercle vaut $2\pi\times1=2\pi$. Ajouter $2\pi$ revient donc à faire un tour de plus, et l'on retombe sur le même point.

Repères à connaître : $0$ est en $I(1\,;0)$, $\frac{\pi}{2}$ en $J(0\,;1)$, $\pi$ en $(-1\,;0)$ et $-\frac{\pi}{2}$ (ou $\frac{3\pi}{2}$) en $(0\,;-1)$.

Le radian : définition et conversion en degrés

Degrés et radians sont proportionnels. Pour convertir, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$ (degrés vers radians) ou par $\frac{180}{\pi}$ (radians vers degrés). Sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur $\ell=r\theta$.

Pour aller plus loin : mesure principale d’un réel

Cette notion prolonge le programme de Première ; elle simplifie le placement des grands réels. Parmi tous les réels $x+2k\pi$ associés au même point, un seul appartient à $\mathopen{]}-\pi\,;\pi]$ : c'est la mesure principale. Pour la trouver, on retire ou on ajoute le bon multiple de $2\pi$.

Cosinus et sinus d’un réel

Pour un réel $x$ de $\mathopen{]}0\,;\frac{\pi}{2}\mathclose{[}$, on retrouve le cosinus et le sinus du collège : dans le triangle rectangle formé par $O$, $M$ et le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses, l'hypoténuse $OM$ vaut 1. Le côté adjacent mesure donc $\cos x$ et le côté opposé $\sin x$.

Le signe se lit sur le quart de cercle qui contient $M$ :

Valeurs remarquables de cos et sin

Moyen mnémotechnique : de $0$ à $\frac{\pi}{2}$, le sinus vaut successivement $\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}$, et le cosinus parcourt la même liste à l'envers.

Démonstration : cos et sin de pi/4 (angle de 45 degrés)

Soit $M$ le point image de $\frac{\pi}{4}$. L'angle $\widehat{IOM}$ mesure la moitié de l'angle droit $\widehat{IOJ}$ : $M$ est sur la bissectrice de cet angle, c'est-à-dire sur la droite d'équation $y=x$. Ses deux coordonnées sont donc égales : $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}$. On note $c$ cette valeur commune. La relation $\cos^2x+\sin^2x=1$ donne :

Le point $M$ est dans le premier quart de cercle, donc $c\gt 0$. Finalement $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.

Démonstration : cos et sin de pi/3 (angle de 60 degrés)

Soit $M$ le point image de $\frac{\pi}{3}$ et $H$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ car $OI=OM=1$. Son angle au sommet $\widehat{IOM}$ mesure $\frac{\pi}{3}$, soit $60^\circ$. Les deux angles à la base sont égaux et valent $\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$ : le triangle $OIM$ est équilatéral.

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $M$ est aussi médiane, donc $H$ est le milieu de $[OI]$ et $OH=\frac12$. Ainsi $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$. Le sinus est positif car $M$ est au-dessus de l'axe des abscisses, et :

donc $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$.

Conséquence : cos et sin de pi/6 (angle de 30 degrés)

La symétrie d'axe $y=x$ échange $I$ et $J$ ; elle envoie le point image de $\frac{\pi}{3}$ sur celui de $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$, en échangeant abscisse et ordonnée. D'où $\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$.

Angles associés : formules et symétries du cercle

Les points images de $x$ et de ces réels sont symétriques les uns des autres. Une symétrie conserve les distances aux axes : les coordonnées restent les mêmes au signe près, ou s'échangent pour $\frac{\pi}{2}\pm x$.

Plutôt que d'apprendre ce tableau par cœur, on place $x$ dans le premier quart de cercle, on dessine le point associé, et on lit les signes. Cela prend dix secondes et évite les confusions.

Fonctions cosinus et sinus : courbes, parité, périodicité

Quand $x$ parcourt $\mathbb R$, le point $M$ tourne sur le cercle. En reportant l'abscisse de $M$ en fonction de $x$, on obtient la courbe de la fonction cosinus ; avec l'ordonnée, celle de la fonction sinus. Toutes deux sont définies sur $\mathbb R$ et prennent leurs valeurs dans $[-1\,;1]$.

Lecture graphique des courbes

• La courbe du cosinus passe par $(0\,;1)$ : c'est son maximum. Le cosinus décroît sur $[0\,;\pi]$ de $1$ à $-1$, puis croît sur $[\pi\,;2\pi]$.
• La courbe du sinus passe par l'origine. Le sinus croît sur $\left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$ de $-1$ à $1$, puis décroît sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right]$.
• La courbe du sinus est celle du cosinus décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite, car $\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$.

Conséquence pratique : connaître le cosinus sur $[0\,;\pi]$ suffit. La parité donne $[-\pi\,;0]$, puis la périodicité donne tout $\mathbb R$.

Pour aller plus loin : résoudre cos x = cos a et sin x = sin a

La résolution générale de ces équations dans l'ensemble des réels prolonge le programme de Première ; elle repose uniquement sur la lecture du cercle. Sur le cercle, la droite verticale d'abscisse $\cos a$ coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ceux de $a$ et de $-a$. La droite horizontale d'ordonnée $\sin a$ le coupe aux points de $a$ et de $\pi-a$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Méthode et conditions d’utilisation

Écrire le second membre comme le cosinus (ou le sinus) d'une valeur remarquable, appliquer la propriété, puis garder les solutions de l'intervalle demandé. Cas particuliers :

• $\cos x=k$ ou $\sin x=k$ avec $k\gt1$ ou $k\lt-1$ : aucune solution, puisque cosinus et sinus restent dans $[-1\,;1]$.
• $\cos x=1$, $\cos x=-1$, $\sin x=1$, $\sin x=-1$ : les deux familles se confondent, un seul point du cercle. Par exemple $\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi$.
• Si $k$ n'est pas une valeur remarquable, par exemple $\cos x=0{,}3$, on ne donne pas de valeur exacte : on compte ou on approche les solutions à la calculatrice (en mode radian).

Algorithme : approximation de pi par la méthode d’Archimède

Archimède (IIIe siècle av. J.-C.) encadre le demi-périmètre du cercle de rayon 1, qui vaut $\pi$, entre les demi-périmètres de deux polygones réguliers : l'un inscrit dans le cercle, l'autre circonscrit. En doublant le nombre de côtés, l'encadrement se resserre.

Formule de doublement du nombre de côtés

Soit $[AB]$ un côté de longueur $c$ d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon 1. On note $K$ le milieu de $[AB]$ et $P$ le milieu de l'arc $AB$. Le segment $[AP]$ est un côté du polygone à $2n$ côtés.

• Dans le triangle $OKA$ rectangle en $K$ : $OK^2=1-\frac{c^2}{4}$, donc $2\,OK=\sqrt{4-c^2}$.
• Les points $O$, $K$, $P$ sont alignés et $KP=1-OK$.
• Dans le triangle $AKP$ rectangle en $K$ :

Le côté du polygone à $2n$ côtés vaut donc $\sqrt{2-\sqrt{4-c^2}}$. Le polygone circonscrit s'obtient par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{OK}$ : ses côtés mesurent $\frac{c}{OK}$. On en déduit l'encadrement :

On part de l'hexagone régulier : ses six triangles sont équilatéraux, donc $c=1$ pour $n=6$.

from math import sqrt

def archimede(etapes):
    # hexagone inscrit : 6 côtés de longueur 1
    n, c = 6, 1.0
    for k in range(etapes + 1):
        # a : distance OK du centre au côté
        a = sqrt(1 - c**2 / 4)
        # demi-périmètres inscrit et circonscrit
        minorant = n * c / 2
        majorant = n * c / (2 * a)
        print(n, round(minorant, 6),
              round(majorant, 6))
        # côté du polygone à 2n côtés
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = 2 * n

archimede(5)

Résultats affichés :

Avec 96 côtés, Archimède obtenait $3+\frac{10}{71}\lt\pi\lt3+\frac17$, soit $3{,}1408\lt\pi\lt3{,}1429$. Le programme retrouve cet encadrement : $3{,}14103\lt\pi\lt3{,}14272$. Le programme n'utilise jamais $\pi$ : seules interviennent des racines carrées.

Erreurs fréquentes en trigonométrie

Pour aller plus loin : addition, tangente, dérivées

• Les formules d'addition $\cos(a+b)$, $\sin(a+b)$ et de duplication ne figurent pas au programme de Première spécialité. On peut les démontrer avec le produit scalaire, dont l'une des définitions utilise le cosinus d'un angle.
• La tangente $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, définie lorsque $\cos x\neq0$, est l'ordonnée du point d'intersection de la droite $(OM)$ avec la tangente au cercle en $I$.
• Les dérivées $\cos^{\prime}=-\sin$ et $\sin^{\prime}=\cos$ et l'étude complète des variations relèvent de la Terminale.

Pour vous entraîner : exercices corrigés de trigonométrie en Première.