Trigonométrie Première : cercle, sinus et cosinus

La trigonométrie en Première étend sinus et cosinus à tous les réels grâce au cercle trigonométrique. Le réel x représente une longueur orientée enroulée sur un cercle de rayon 1.

Cette construction explique les radians, les valeurs associées, la périodicité et les symétries. Elle relie une position sur le cercle aux courbes des fonctions cosinus et sinus.

Table des Matières

Enrouler la droite réelle sur le cercle trigonométrique

Un réel repère un point du cercle

Le cercle trigonométrique est orienté dans le sens direct et possède un rayon 1. Au réel $x$ correspond un point $M$ dont l'abscisse est $\cos x$ et l'ordonnée $\sin x$ . Un tour complet ajoute $2\pi$ sans changer le point.

Relier cercle et courbes périodiques

Lorsque le point tourne, son abscisse produit la courbe du cosinus et son ordonnée celle du sinus. Après un tour, les coordonnées se répètent. Les symétries du cercle deviennent parité et translations sur les courbes.

Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique — Les coordonnées du point associé à un angle sont son cosinus et son sinus.

Exploiter parité, périodicité et symétries

Parité, périodicité et symétries

La fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire. Les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$ . Les symétries du cercle permettent de retrouver les valeurs d'angles associés à partir des valeurs remarquables du premier quadrant.

M(\cos x;\sin x),\qquad \cos^2x+\sin^2x=1.

Calculer les valeurs de $\pi/4$ par un triangle rectangle

Retrouver les valeurs en $\pi/4$

Dans un triangle rectangle isocèle de côtés 1 et 1, l'hypoténuse vaut $\sqrt2$ . Le sinus et le cosinus de $\frac\pi4$ valent $\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ .

Placer un réel et retrouver sinus et cosinus

Réduire la mesure modulo $2\pi$ pour choisir un représentant simple.
Identifier le quadrant et l'angle de référence.
Déterminer les signes de l'abscisse et de l'ordonnée.
Utiliser une symétrie ou une valeur remarquable.
Contrôler que sinus et cosinus restent entre -1 et 1.

Déterminer $\cos(5\pi/6)$ et $\sin(5\pi/6)$

L'angle $5\pi/6$ se trouve dans le deuxième quadrant et s'écrit $\pi-\pi/6$ .

L'angle de référence est $\pi/6$ .
Dans le deuxième quadrant, le cosinus est négatif et le sinus positif.
$\cos\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12$ .
Donc $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12$ .
La somme des carrés vaut $\frac34+\frac14=1$ .

Modéliser des phénomènes périodiques

Oscillations, rotations et variations saisonnières utilisent des fonctions trigonométriques. L'amplitude, la période et le décalage traduisent des caractéristiques du phénomène, même si leur étude générale sera approfondie plus tard.

Les formules et angles associés sont regroupés dans le cours de trigonométrie. Le cosinus d'un angle intervient aussi dans le produit scalaire.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de trigonométrie Première. Les prolongements signalés servent directement à modéliser des phénomènes périodiques.

Travailler en radians et suivre les signes

Erreur fréquente : les degrés et radians ne peuvent pas être mélangés dans un même calcul. Un demi-tour vaut $\pi$ radians et non 180 sans unité.

Contrôle utile : placer le point dans le bon quadrant, vérifier les signes et utiliser $\cos^2x+\sin^2x=1$ .