Nombres complexes : forme algébrique Terminale

Un nombre complexe réunit une partie réelle et une partie imaginaire. La forme algébrique permet de calculer comme avec des expressions usuelles, à condition de remplacer systématiquement le carré de l'unité imaginaire par -1.

Ce premier chapitre de mathématiques expertes installe les écritures et les contrôles indispensables avant la forme exponentielle, les équations polynomiales et la géométrie complexe.

Table des Matières

Définir un nombre complexe

Forme algébrique

Tout nombre complexe s'écrit de manière unique $z=a+ib$ , avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$ . Le réel a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

L'unicité rend les identifications de coefficients légitimes : deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Un complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle, et imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle.

Calculer en forme algébrique

Somme et produit se développent en regroupant les termes réels et imaginaires. Par exemple, $(2-3i)(1+2i)=8+i$ . Le résultat doit finir sous la forme $a+ib$ , pas comme une expression contenant encore $i^2$ .

Opération	Règle utile
Somme	additionner séparément les deux parties
Produit	développer puis utiliser i² = -1
Puissance de i	réduire l'exposant modulo 4

Exemple de quotient contrôlé

Pour calculer $\frac{3+4i}{1-2i}$ , on multiplie les deux termes de la fraction par $1+2i$ . Le dénominateur devient $1^2+2^2=5$ , tandis que le numérateur vaut $-5+10i$ . Le quotient est donc $-1+2i$ . Le contrôle consiste à développer $(-1+2i)(1-2i)$ : on retrouve bien $3+4i$ . Cette vérification distingue une erreur de signe dans le conjugué d'une erreur de développement.

Utiliser le conjugué

Conjugué complexe

Si $z=a+ib$ , son conjugué est $\overline z=a-ib$ . On a $z\overline z=a^2+b^2$ .

Le conjugué rend réel un dénominateur complexe. Pour $z\neq0$ , on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cette opération ne change pas le quotient et conduit à $\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}$ .

Comprendre le module complexe

Distance à l’origine

Le module de $z=a+ib$ est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ . Il vérifie $|z|^2=z\overline z$ , $|zw|=|z||w|$ et $|z+w|\leq|z|+|w|$ .

Le module est un réel positif. Il ne faut pas le confondre avec le carré du module, souvent plus rapide à calculer. L'égalité $|z|=0$ caractérise uniquement $z=0$ .

Forme algébrique et point du plan — Les coordonnées du point associé à z sont sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Résoudre une équation simple

Pour une équation linéaire, on isole z en effectuant les opérations dans $\mathbb C$ . Pour déterminer des réels x et y dans une égalité complexe, on développe puis on identifie les parties réelle et imaginaire. Cette méthode transforme l'égalité en un système réel.

(x+iy)(2-i)=5i\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}2x+y=0\\2y-x=5\end{cases}

Trouver les racines carrées d’un complexe

Pour résoudre (z^2=a+ib), on pose (z=x+iy). L'identification donne (x^2-y^2=a) et (2xy=b). Le module ajoute (x^2+y^2=sqrt{a^2+b^2}), ce qui permet de déterminer les carrés de x et y avant de choisir les signes compatibles avec (2xy=b).

Exemple complet

Si (z^2=3+4i), alors (x^2-y^2=3), (2xy=4) et (x^2+y^2=5). On obtient (x^2=4) et (y^2=1). Comme (xy=2), les signes sont identiques : les deux racines sont (2+i) et (-2-i). Leur mise au carré constitue le contrôle final.

Choisir la bonne écriture

Erreur fréquente : écrire $\sqrt{-9}=-3$ est faux dans les réels et imprécis dans les complexes. Les solutions de $z^2=-9$ sont $3i$ et $-3i$ .

Contrôle utile : après une division, multiplier le résultat par le dénominateur initial constitue un contrôle rapide.

La forme trigonométrique et exponentielle prolonge ces calculs.

Les contenus sur le conjugué, le module et les calculs relèvent de le programme officiel de mathématiques expertes en Terminale.