Équations polynomiales dans C Terminale : 10 exercices corrigés

Le cours de Équations polynomiales dans C est prolongé par des problèmes d'équation polynomiale complexe allant du discriminant négatif à la substitution bicarrée.

On exploite une racine connue, la factorisation d'un polynôme, les racines conjuguées et la multiplicité d'une racine pour structurer les solutions au lieu de les deviner.

Second degré et factorisation

Résoudre puis vérifier les racines.

Exercice 1 : Discriminant négatif

Facile

Résoudre z2−4z+13=0z^2-4z+13=0.

  1. Calculer le discriminant.
  2. Donner les solutions.
Voir le corrigé
  1. Δ=16−52=−36\Delta=16-52=-36.
  2. z=(4±6i)/2=2±3iz=(4\pm6i)/2=2\pm3i.

Exercice 2 : Racine double réelle

Facile

Résoudre 4z2+12z+9=04z^2+12z+9=0.

  1. Calculer le discriminant.
  2. Donner la racine avec sa multiplicité.
Voir le corrigé
  1. Δ=144−144=0\Delta=144-144=0.
  2. z=−12/8=−3/2z=-12/8=-3/2, racine double.

Exercice 3 : Une racine connue

Moyen

Soit P(z)=z3−3z2+4P(z)=z^3-3z^2+4.

  1. Vérifier que 2 est une racine.
  2. Factoriser P.
  3. Résoudre P(z)=0P(z)=0.
Indication
Factoriser d'abord par z - 2.
Voir le corrigé
  1. P(2)=8−12+4=0P(2)=8-12+4=0.
  2. P(z)=(z−2)(z2−z−2)=(z−2)2(z+1)P(z)=(z-2)(z^2-z-2)=(z-2)^2(z+1).
  3. Les solutions sont 2, de multiplicité 2, et -1.

Exercice 4 : Cubic avec paire conjuguée

Moyen

On donne P(z)=z3−z2+z−1P(z)=z^3-z^2+z-1.

  1. Factoriser par regroupement.
  2. Résoudre dans C.
Voir le corrigé
  1. P(z)=z2(z−1)+(z−1)=(z−1)(z2+1)P(z)=z^2(z-1)+(z-1)=(z-1)(z^2+1).
  2. Les solutions sont 1,i,−i1,i,-i.

Structurer les racines

Exploiter les facteurs et le degré.

Exercice 5 : Différence de puissances

Moyen

Factoriser puis résoudre z4−16=0z^4-16=0.

  1. Factoriser sur les réels.
  2. Résoudre chaque facteur dans C.
Voir le corrigé
  1. z4−16=(z2−4)(z2+4)z^4-16=(z^2-4)(z^2+4).
  2. On obtient z=±2z=\pm2 et z=±2iz=\pm2i.

Exercice 6 : Racines conjuguées

Moyen

Un polynôme à coefficients réels admet 2+i2+i comme racine.

  1. Donner une autre racine certaine.
  2. Former le facteur réel de degré 2.
Voir le corrigé
  1. Le conjugué 2−i2-i est aussi racine.
  2. (z−(2+i))(z−(2−i))=(z−2)2+1=z2−4z+5(z-(2+i))(z-(2-i))=(z-2)^2+1=z^2-4z+5.

Exercice 7 : Nombre maximal de racines

Moyen

Un polynôme non nul Q de degré 5 s'annule en six nombres distincts.

  1. Expliquer la contradiction.
  2. Que peut-on conclure si Q était annoncé de degré au plus 5 ?
Voir le corrigé
  1. Un polynôme non nul de degré 5 possède au plus cinq racines distinctes.
  2. Q serait nécessairement le polynôme nul.

Exercice 8 : Paramètre et racine imposée

Difficile

On pose Pm(z)=z3+mz2+z+mP_m(z)=z^3+mz^2+z+m, avec m réel.

  1. Factoriser Pm.
  2. Donner toutes les racines.
  3. Pour quelles valeurs de m une racine est-elle double ?
Indication
Regrouper les termes portant le facteur z² + 1.
Voir le corrigé
  1. Par regroupement, Pm(z)=(z2+1)(z+m)P_m(z)=(z^2+1)(z+m).
  2. Les racines sont i,−i,−mi,-i,-m.
  3. Comme m est réel, −m-m ne peut valoir ni i ni -i ; aucune valeur réelle de m ne produit de racine double.

Reconstruire et substituer

Changer d'inconnue ou remonter des racines au polynôme.

Exercice 9 : Équation bicarrée

Moyen

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z4+5z2+6=0z^4+5z^2+6=0.

  1. Poser Z=z2Z=z^2 et factoriser.
  2. Résoudre les deux équations en z.
Voir le corrigé
  1. L'équation devient Z2+5Z+6=(Z+2)(Z+3)=0Z^2+5Z+6=(Z+2)(Z+3)=0.
  2. De z2=−2z^2=-2 ou z2=−3z^2=-3, on obtient z=±i2z=\pm i\sqrt2 ou z=±i3z=\pm i\sqrt3.

Exercice 10 : Construire un polynôme réel

Difficile

Construire le polynôme unitaire de degré 3 dont les racines sont 1, 2+i2+i et 2−i2-i.

  1. Former le facteur associé à la paire conjuguée.
  2. Multiplier par le dernier facteur.
  3. Contrôler un coefficient avec les racines.
Indication
Regrouper d'abord les deux racines conjuguées pour conserver des coefficients réels.
Voir le corrigé
  1. (z−(2+i))(z−(2−i))=(z−2)2+1=z2−4z+5(z-(2+i))(z-(2-i))=(z-2)^2+1=z^2-4z+5.
  2. P(z)=(z−1)(z2−4z+5)=z3−5z2+9z−5P(z)=(z-1)(z^2-4z+5)=z^3-5z^2+9z-5.
  3. La somme des racines vaut 1+(2+i)+(2−i)=51+(2+i)+(2-i)=5, cohérente avec le coefficient −5-5 de z2z^2.
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