Équation du Second Degré : Résolution et Discriminant

L'équation du second degré représente l'un des piliers fondamentaux de l'algèbre. Cette notion mathématique, étudiée depuis l'Antiquité babylonienne et systématisée par Al-Khwarizmi au IXe siècle, permet de résoudre une multitude de problèmes concrets en physique, en ingénierie et en économie. Comprendre comment résoudre ces équations vous ouvre les portes vers une maîtrise approfondie des fonctions polynomiales et de leurs applications pratiques.

Dans ce cours détaillé, nous allons explorer toutes les facettes des équations du second degré : de leur définition rigoureuse jusqu'aux méthodes de résolution les plus efficaces, en passant par le discriminant, la forme canonique et la factorisation. Vous découvrirez également comment ces équations modélisent des phénomènes réels comme la trajectoire d'un projectile ou l'optimisation d'une surface.

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

Définition

Une équation du second degré (ou équation quadratique) est une équation polynomiale qui peut s'écrire sous la forme :
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
où a a , b b et c c sont des nombres réels appelés coefficients, avec la condition impérative que a≠0 a \neq 0 .
  • a a : coefficient du terme quadratique (ou coefficient de x2 x^2 )
  • b b : coefficient du terme linéaire (ou coefficient de x x )
  • c c : terme constant (ne dépend pas de x x )
  • x x : l'inconnue que nous cherchons à déterminer

Pourquoi a ne peut-il pas être nul ?

Si a=0 a = 0 , l'équation se réduit à bx+c=0 bx + c = 0 , qui est une équation du premier degré. Le terme en x2 x^2 est donc indispensable pour caractériser une équation du second degré.

Exemples d’équations du second degré

  • x2−5x+6=0 x^2 - 5x + 6 = 0 avec a=1 a = 1 , b=−5 b = -5 , c=6 c = 6
  • 3x2+2x−1=0 3x^2 + 2x - 1 = 0 avec a=3 a = 3 , b=2 b = 2 , c=−1 c = -1
  • −2x2+7=0 -2x^2 + 7 = 0 avec a=−2 a = -2 , b=0 b = 0 , c=7 c = 7
  • 4x2−12x=0 4x^2 - 12x = 0 avec a=4 a = 4 , b=−12 b = -12 , c=0 c = 0

Le discriminant : clé de la résolution

Définition du discriminant

Le discriminant, noté Δ \Delta (lettre grecque delta), est un nombre calculé à partir des coefficients de l'équation. Il est défini par la formule :
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Le discriminant permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l'équation sans avoir à les calculer explicitement.

Interprétation du signe du discriminant

Le signe du discriminant détermine combien de solutions réelles possède l'équation :
Signe de Δ \Delta Nombre de solutionsNature des solutions
Δ>0 \Delta > 0 Deux solutions distinctesDeux nombres réels différents
Δ=0 \Delta = 0 Une solution doubleUn seul nombre réel (racine double)
Δ<0 \Delta < 0 Aucune solution réelleDeux solutions complexes conjuguées

Exemple de calcul du discriminant

Soit l'équation 2x2−7x+3=0 2x^2 - 7x + 3 = 0 . Calculons son discriminant :
Δ=b2−4ac=(−7)2−4×2×3=49−24=25\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 \\ &= 49 - 24 \\ &= 25 \end{align*}
Comme Δ=25>0 \Delta = 25 > 0 , cette équation admet deux solutions réelles distinctes.

Formules de résolution d’une équation du second degré

Théorème fondamental

Pour résoudre l'équation ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 avec a≠0 a \neq 0 , on calcule d'abord le discriminant Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac , puis on applique les formules suivantes selon le cas :

Cas 1 : Δ>0 \Delta > 0 (deux solutions distinctes)

x1=−b−Δ2aetx2=−b+Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Cas 2 : Δ=0 \Delta = 0 (une solution double)

x0=−b2ax_0 = \frac{-b}{2a}

Cas 3 : Δ<0 \Delta < 0 (aucune solution réelle)

L'équation n'admet pas de solution dans l'ensemble des nombres réels R \mathbb{R} .

Exercice résolu détaillé

Énoncé : Résoudre l'équation 3x2−5x−2=0 3x^2 - 5x - 2 = 0 Solution :
Eˊtape 1 : Identifier les coefficientsa=3,b=−5,c=−2Eˊtape 2 : Calculer le discriminantΔ=b2−4ac=(−5)2−4×3×(−2)=25+24=49Eˊtape 3 : Analyser le discriminantΔ=49>0 donc deux solutions distinctesEˊtape 4 : Appliquer les formulesx1=−(−5)−492×3=5−76=−26=−13x2=−(−5)+492×3=5+76=126=2\begin{align*} \text{Étape 1 : } &\text{Identifier les coefficients} \\ &a = 3, \quad b = -5, \quad c = -2 \\[10pt] \text{Étape 2 : } &\text{Calculer le discriminant} \\ \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) \\ &= 25 + 24 \\ &= 49 \\[10pt] \text{Étape 3 : } &\text{Analyser le discriminant} \\ &\Delta = 49 > 0 \text{ donc deux solutions distinctes} \\[10pt] \text{Étape 4 : } &\text{Appliquer les formules} \\ x_1 &= \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \times 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \\[10pt] x_2 &= \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \times 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \end{align*}
Ensemble solution : S={−13;2} S = \left\{-\frac{1}{3} ; 2\right\}

Méthodes alternatives de résolution sans discriminant

Il existe des situations où calculer le discriminant n'est pas la méthode la plus rapide. Voici trois techniques alternatives :

Méthode 1 : Factorisation directe

Lorsque l'équation peut se factoriser facilement, on applique la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.Exemple : Résoudre x2−5x+6=0 x^2 - 5x + 6 = 0
x2−5x+6=0(x−2)(x−3)=0\begin{align*} x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ (x - 2)(x - 3) &= 0 \end{align*}
Donc x−2=0 x - 2 = 0 ou x−3=0 x - 3 = 0 , ce qui donne x=2 x = 2 ou x=3 x = 3

Méthode 2 : Cas où c = 0 (factorisation par x)

Si le terme constant est nul, on peut factoriser par x x .Exemple : Résoudre 2x2−8x=0 2x^2 - 8x = 0
2x2−8x=02x(x−4)=0\begin{align*} 2x^2 - 8x &= 0 \\ 2x(x - 4) &= 0 \end{align*}
Donc 2x=0 2x = 0 ou x−4=0 x - 4 = 0 , ce qui donne x=0 x = 0 ou x=4 x = 4

Méthode 3 : Cas où b = 0 (isoler x²)

Si le coefficient linéaire est nul, on peut isoler x2 x^2 .Exemple : Résoudre 3x2−27=0 3x^2 - 27 = 0
3x2−27=03x2=27x2=9x=±3\begin{align*} 3x^2 - 27 &= 0 \\ 3x^2 &= 27 \\ x^2 &= 9 \\ x &= \pm 3 \end{align*}
Donc x=−3 x = -3 ou x=3 x = 3

Méthode 4 : Reconnaissance d’une identité remarquable

Certaines équations correspondent à des formes remarquables.Exemple : Résoudre x2−6x+9=0 x^2 - 6x + 9 = 0
x2−6x+9=0(x−3)2=0x−3=0x=3\begin{align*} x^2 - 6x + 9 &= 0 \\ (x - 3)^2 &= 0 \\ x - 3 &= 0 \\ x &= 3 \end{align*}
Cette équation admet une solution double : x=3 x = 3

Forme canonique d’un polynôme du second degré

Définition

La forme canonique d'un polynôme du second degré ax2+bx+c ax^2 + bx + c est de la forme :
a(x+b2a)2−Δ4aa\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}
où Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac est le discriminant.
La forme canonique est particulièrement utile pour :
  • Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction associée
  • Trouver le minimum ou maximum de la fonction
  • Résoudre l'équation de manière géométrique

Exemple de mise sous forme canonique

Mettons l'équation 2x2+8x+5=0 2x^2 + 8x + 5 = 0 sous forme canonique :
2x2+8x+5=2(x2+4x)+5=2(x2+4x+4−4)+5=2[(x+2)2−4]+5=2(x+2)2−8+5=2(x+2)2−3\begin{align*} 2x^2 + 8x + 5 &= 2\left(x^2 + 4x\right) + 5 \\ &= 2\left(x^2 + 4x + 4 - 4\right) + 5 \\ &= 2\left[(x + 2)^2 - 4\right] + 5 \\ &= 2(x + 2)^2 - 8 + 5 \\ &= 2(x + 2)^2 - 3 \end{align*}
Le sommet de la parabole est au point de coordonnées (−2;−3) (-2 ; -3) .

Forme factorisée et relations entre coefficients et racines

Forme factorisée

Si l'équation ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 admet deux racines x1 x_1 et x2 x_2 (c'est-à-dire si Δ≥0 \Delta \geq 0 ), alors le trinôme peut s'écrire sous forme factorisée :
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Relations coefficients-racines (formules de Viète)

Lorsque l'équation admet deux racines x1 x_1 et x2 x_2 , on a les relations suivantes :
Somme des racines : x1+x2=−baProduit des racines : x1×x2=ca\begin{align*} \text{Somme des racines : } & x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\[10pt] \text{Produit des racines : } & x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \end{align*}
Ces formules permettent de vérifier rapidement les solutions trouvées ou de reconstituer une équation à partir de ses racines.

Exemple d’application

Trouvons l'équation du second degré dont les racines sont x1=3 x_1 = 3 et x2=−2 x_2 = -2 et dont le coefficient de x2 x^2 est 1.
Forme factoriseˊe : (x−3)(x−(−2))=(x−3)(x+2)Deˊveloppement : x2+2x−3x−6=x2−x−6\begin{align*} \text{Forme factorisée : } & (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2) \\ \text{Développement : } & x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6 \end{align*}
L'équation recherchée est donc x2−x−6=0 x^2 - x - 6 = 0 Vérifions avec les formules de Viète :
  • Somme : 3+(−2)=1=−−11 3 + (-2) = 1 = -\frac{-1}{1} ✓
  • Produit : 3×(−2)=−6=−61 3 \times (-2) = -6 = \frac{-6}{1} ✓

Signe d’un trinôme du second degré

Déterminer le signe d'un polynôme du second degré est essentiel pour résoudre des inéquations et analyser le comportement des fonctions.

Règle générale du signe

Soit f(x)=ax2+bx+c f(x) = ax^2 + bx + c avec a≠0 a \neq 0 et Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac :

Si Δ<0 \Delta < 0 :

Le trinôme est toujours du signe de a pour tout x∈R x \in \mathbb{R}

Si Δ=0 \Delta = 0 :

Le trinôme est du signe de a pour tout x≠x0 x \neq x_0 , et s'annule en x0=−b2a x_0 = -\frac{b}{2a}

Si Δ>0 \Delta > 0 :

Soit x1<x2 x_1 < x_2 les deux racines. Le trinôme :
  • est du signe de a à l'extérieur des racines : x<x1 x < x_1 ou x>x2 x > x_2
  • est du signe de -a entre les racines : x1<x<x2 x_1 < x < x_2
  • s'annule aux racines : x=x1 x = x_1 ou x=x2 x = x_2

Tableau de signes

Pour une équation 2x2−5x−3=0 2x^2 - 5x - 3 = 0 ayant pour racines x1=−12 x_1 = -\frac{1}{2} et x2=3 x_2 = 3 :
x x −∞ -\infty −12 -\frac{1}{2} 3 3 +∞ +\infty
2x2−5x−3 2x^2 - 5x - 3 + + 0 0 − - 0 0 + +

Applications concrètes des équations du second degré

Physique : trajectoire d’un projectile

Lorsqu'on lance un objet en l'air, sa hauteur h(t) h(t) en fonction du temps suit une équation du second degré :
h(t)=−g2t2+v0t+h0h(t) = -\frac{g}{2}t^2 + v_0 t + h_0
où g g est l'accélération gravitationnelle, v0 v_0 la vitesse initiale et h0 h_0 la hauteur initiale.Problème : Un ballon est lancé depuis le sol avec une vitesse de 20 m/s. Quand retombera-t-il au sol ? (On prend g=10 m/s2 g = 10 \, \text{m/s}^2 )
h(t)=−5t2+20tAu sol : h(t)=0−5t2+20t=0−5t(t−4)=0\begin{align*} h(t) &= -5t^2 + 20t \\ \text{Au sol : } h(t) &= 0 \\ -5t^2 + 20t &= 0 \\ -5t(t - 4) &= 0 \end{align*}
Solutions : t=0 t = 0 (instant du lancer) ou t=4 t = 4 secondes (retour au sol)

Géométrie : problème d’optimisation

Problème : Un agriculteur dispose de 100 mètres de clôture pour entourer un champ rectangulaire. Quelles dimensions maximisent l'aire ?Si x x est la largeur, alors la longueur est 50−x 50 - x . L'aire est :
A(x)=x(50−x)=−x2+50xA(x) = x(50 - x) = -x^2 + 50x
La forme canonique révèle que l'aire maximale est atteinte pour x=25 x = 25 m, donnant une aire de 625 m².

Économie : analyse du profit

Une entreprise modélise son profit P(q) P(q) en fonction de la quantité produite q q par :
P(q)=−2q2+100q−800P(q) = -2q^2 + 100q - 800
Le profit maximal s'obtient au sommet de la parabole, soit pour q=25 q = 25 unités.

Résolution graphique d’une équation du second degré

Résoudre graphiquement ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la parabole y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c avec l'axe des abscisses (axe y=0 y = 0 ).

Interprétation graphique selon le discriminant

  • Δ>0 \Delta > 0 : La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts
  • Δ=0 \Delta = 0 : La parabole est tangente à l'axe des abscisses (touche en un seul point)
  • Δ<0 \Delta < 0 : La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses
Équation du second degré - Représentations graphiques selon le discriminant

Propriétés de la parabole

  • Si a>0 a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (forme de U)
  • Si a<0 a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (forme de ∩)
  • Le sommet a pour abscisse α=−b2a \alpha = -\frac{b}{2a}
  • L'axe de symétrie de la parabole est la droite d'équation x=−b2a x = -\frac{b}{2a}

Erreurs fréquentes à éviter

  • Oublier le signe moins dans la formule du discriminant : c'est −4ac -4ac et non +4ac +4ac
  • Confondre les formules des racines : attention aux signes dans −b±Δ2a \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
  • Ne pas vérifier que a ≠ 0 : sans cette condition, l'équation n'est pas du second degré
  • Oublier les deux solutions quand Δ>0 \Delta > 0 : il y a toujours deux valeurs distinctes
  • Simplifier trop vite : vérifier que le discriminant est positif avant de calculer sa racine carrée
  • Inverser 2a 2a : le dénominateur est 2a 2a dans toutes les formules, pas a a seul
  • Ne pas simplifier les racines carrées : 50=52 \sqrt{50} = 5\sqrt{2} par exemple

Exercices d’entraînement

Exercice 1 : Identification et discriminant

Pour chacune des équations suivantes, identifier les coefficients a a , b b , c c , calculer le discriminant et en déduire le nombre de solutions :
  1. x2−7x+12=0 x^2 - 7x + 12 = 0
  2. 2x2+3x+5=0 2x^2 + 3x + 5 = 0
  3. −x2+4x−4=0 -x^2 + 4x - 4 = 0

Exercice 2 : Résolution complète

Résoudre les équations suivantes en utilisant la méthode du discriminant :
  1. x2−8x+15=0 x^2 - 8x + 15 = 0
  2. 3x2+2x−1=0 3x^2 + 2x - 1 = 0
  3. 4x2−20x+25=0 4x^2 - 20x + 25 = 0

Exercice 3 : Méthodes alternatives

Résoudre sans calculer le discriminant :
  1. x2−9=0 x^2 - 9 = 0 (cas où b=0 b = 0 )
  2. x2+5x=0 x^2 + 5x = 0 (cas où c=0 c = 0 )
  3. x2+10x+25=0 x^2 + 10x + 25 = 0 (identité remarquable)

Exercice 4 : Problème appliqué

Un rectangle a un périmètre de 40 cm et une aire de 96 cm². Déterminer ses dimensions.Indication : Poser x x la longueur et y y la largeur, puis établir un système d'équations qui mène à une équation du second degré.

Synthèse et points clés à retenir

  • Une équation du second degré s'écrit ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 avec a≠0 a \neq 0
  • Le discriminant Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac détermine le nombre de solutions
  • Les formules des racines sont x=−b±Δ2a x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} quand Δ≥0 \Delta \geq 0
  • La forme canonique permet de trouver le sommet de la parabole associée
  • Les relations de Viète établissent des liens entre coefficients et racines
  • Le signe du trinôme dépend du signe de a a et de la position par rapport aux racines
  • Les équations du second degré modélisent de nombreux phénomènes réels en sciences et en économie

Questions fréquemment posées

Comment résoudre une équation du second degré ?

Pour résoudre une équation du second degré ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 , commencez par calculer le discriminant Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac . Si Δ>0 \Delta > 0 , utilisez les formules x=−b±Δ2a x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} pour obtenir deux solutions. Si Δ=0 \Delta = 0 , il y a une solution double x=−b2a x = \frac{-b}{2a} . Si Δ<0 \Delta < 0 , il n'y a pas de solution réelle.

Qu’est-ce que le discriminant d’une équation du second degré ?

Le discriminant, noté Δ \Delta (delta), est une valeur calculée par la formule Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac . Il permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation sans les calculer : si Δ>0 \Delta > 0 , il y a deux solutions ; si Δ=0 \Delta = 0 , une solution double ; si Δ<0 \Delta < 0 , aucune solution réelle.

Comment savoir si une équation est du second degré ?

Une équation est du second degré si elle peut s'écrire sous la forme ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 où a a , b b , et c c sont des constantes, avec la condition essentielle que a≠0 a \neq 0 . Le terme en x2 x^2 doit être présent et avoir un coefficient non nul.

Quelle est la formule du discriminant ?

La formule du discriminant est Δ=b2−4ac \Delta = b^2 - 4ac , où a a , b b , et c c sont les coefficients de l'équation ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 . Cette formule est fondamentale pour déterminer la nature et le nombre des solutions de l'équation.

Peut-on résoudre une équation du second degré sans calculer le discriminant ?

Oui, il existe plusieurs méthodes alternatives : la factorisation directe quand c'est possible, la factorisation par x x si c=0 c = 0 , l'isolation de x2 x^2 si b=0 b = 0 , ou encore l'utilisation d'identités remarquables. Le choix de la méthode dépend de la forme particulière de l'équation.

Qu’est-ce que la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

La forme canonique d'un trinôme ax2+bx+c ax^2 + bx + c s'écrit a(x−α)2+β a(x - \alpha)^2 + \beta où α=−b2a \alpha = -\frac{b}{2a} et β \beta est la valeur du trinôme en α \alpha . Cette forme met en évidence le sommet de la parabole au point (α;β) (\alpha ; \beta) et facilite l'étude du signe et des variations.

Quelles sont les applications pratiques des équations du second degré ?

Les équations du second degré sont utilisées dans de nombreux domaines : en physique pour modéliser les trajectoires paraboliques et les mouvements uniformément accélérés, en géométrie pour les problèmes d'optimisation d'aires et de périmètres, en économie pour analyser les fonctions de coût et de profit, et en ingénierie pour calculer des structures et des résistances.

Que sont les formules de Viète ?

Les formules de Viète établissent des relations entre les racines et les coefficients d'une équation du second degré. Si x1 x_1 et x2 x_2 sont les racines de ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 , alors leur somme vaut x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} et leur produit vaut x1⋅x2=ca x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} . Ces relations permettent de vérifier les solutions ou de reconstituer une équation.
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