18 Exercices Corrigés sur équation du second degré

Maîtriser la résolution d'équations de degré second est une compétence fondamentale en mathématiques. Cette page propose des exercices progressifs pour travailler les différentes méthodes : calcul du discriminant, factorisation directe, reconnaissance d'identités remarquables, et résolution d'équations avec paramètres. Chaque exercice est accompagné d'indications pédagogiques et de solutions détaillées pour faciliter l'apprentissage du trinôme du second degré.

Résolution par le discriminant

Les exercices suivants vous permettent de vous entraîner au calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et à l'application des formules de résolution selon le signe de $\Delta$.

Exercice 1 : Équation simple avec discriminant positif

Facile

Résoudre l'équation suivante dans $\mathbb{R}$ :$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Indication

Identifiez les coefficients $a = 1$, $b = -5$ et $c = 6$. Calculez le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, utilisez les formules $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

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Calcul du discriminant :On a $a = 1$, $b = -5$ et $c = 6$.$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$Comme $\Delta = 1 > 0$, l'équation admet deux solutions distinctes.Calcul des solutions : $$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$Conclusion :L'ensemble des solutions est $S = \{2 ; 3\}$.

Exercice 2 : Équation avec discriminant nul

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :$$4x^2 - 12x + 9 = 0$$

Indication

Calculez le discriminant. Si $\Delta = 0$, l'équation admet une solution double donnée par $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

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Identification et calcul :On a $a = 4$, $b = -12$ et $c = 9$.$$\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$$Solution unique :Comme $\Delta = 0$, l'équation possède une solution double :$$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \times 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$Ensemble solution :$S = \left\{\frac{3}{2}\right\}$

Exercice 3 : Équation sans solution réelle

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$$2x^2 + x + 3 = 0$$

Indication

Après avoir calculé $\Delta$, observez son signe. Si $\Delta < 0$, l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des réels.

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Calcul du discriminant :Avec $a = 2$, $b = 1$ et $c = 3$ :$$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = 1 - 24 = -23$$Conclusion :Puisque $\Delta = -23 < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.$S = \emptyset$

Exercice 4 : Équation avec racines irrationnelles

Moyen

Résoudre l'équation suivante et donner les solutions sous forme exacte :$$3x^2 - 7x + 2 = 0$$

Indication

Après avoir vérifié que $\Delta > 0$, appliquez les formules. Ne simplifiez la racine carrée que si elle est un carré parfait.

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Discriminant :Avec $a = 3$, $b = -7$ et $c = 2$ :$$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 49 - 24 = 25$$Solutions :Comme $\Delta = 25 > 0$ et $\sqrt{25} = 5$ :$$x_1 = \frac{7 - 5}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{7 + 5}{2 \times 3} = \frac{12}{6} = 2$$Résultat :$S = \left\{\frac{1}{3} ; 2\right\}$

Exercice 5 : Équation à coefficients fractionnaires

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$$

Indication

Vous pouvez multiplier toute l'équation par 2 pour éliminer les fractions, ou travailler directement avec $a = \frac{1}{2}$.

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Méthode 1 : Multiplication par 2En multipliant par 2, on obtient : $x^2 - 4x + 2 = 0$$\Delta = 16 - 8 = 8$$$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$$ $$x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$Méthode 2 : DirecteAvec $a = \frac{1}{2}$, $b = -2$, $c = 1$ :$\Delta = 4 - 4 \times \frac{1}{2} \times 1 = 4 - 2 = 2$Conclusion :$S = \{2 - \sqrt{2} ; 2 + \sqrt{2}\}$

Résolution par factorisation directe

Ces exercices privilégient les techniques de factorisation sans calcul systématique du discriminant : facteur commun, identités remarquables, et produits évidents.

Exercice 6 : Factorisation par mise en évidence

Facile

Résoudre sans utiliser le discriminant :$$x^2 + 5x = 0$$

Indication

Le terme constant est nul. Factorisez par $x$ et utilisez la règle du produit nul.

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Factorisation : $$x^2 + 5x = x(x + 5) = 0$$Règle du produit nul :Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.Donc : $x = 0$ ou $x + 5 = 0$D'où : $x = 0$ ou $x = -5$Solution :$S = \{-5 ; 0\}$

Exercice 7 : Identité remarquable $a^2 - b^2$

Facile

Résoudre en reconnaissant une identité remarquable :$$x^2 - 9 = 0$$

Indication

Reconnaissez l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Ici, $9 = 3^2$.

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Reconnaissance de la forme :$x^2 - 9 = x^2 - 3^2$ est une différence de carrés.Factorisation : $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0$$Solutions :$x - 3 = 0$ donc $x = 3$$x + 3 = 0$ donc $x = -3$Résultat :$S = \{-3 ; 3\}$

Exercice 8 : Identité remarquable $(a-b)^2$

Facile

Résoudre l'équation suivante :$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

Indication

Vérifiez si cette expression correspond à $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ici, cherchez $b$ tel que $9 = b^2$ et $6 = 2b$.

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Identification :On a $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$Résolution : $$(x - 3)^2 = 0$$Un carré est nul si et seulement si la base est nulle.Donc $x - 3 = 0$, soit $x = 3$Solution double :$S = \{3\}$

Exercice 9 : Factorisation d’une expression factorisée

Moyen

Résoudre l'équation :$$(2x - 1)(x + 3) - (2x - 1)(4x - 5) = 0$$

Indication

Repérez le facteur commun $(2x - 1)$ dans les deux termes et factorisez-le.

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Mise en facteur : $$(2x - 1)(x + 3) - (2x - 1)(4x - 5) = (2x - 1)[(x + 3) - (4x - 5)]$$Simplification : $$(x + 3) - (4x - 5) = x + 3 - 4x + 5 = -3x + 8$$Équation factorisée : $$(2x - 1)(-3x + 8) = 0$$Solutions :$2x - 1 = 0$ donne $x = \frac{1}{2}$$-3x + 8 = 0$ donne $x = \frac{8}{3}$Résultat :$S = \left\{\frac{1}{2} ; \frac{8}{3}\right\}$

Exercice 10 : Équation avec coefficient nul

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$$5x^2 - 20 = 0$$

Indication

Le terme en $x$ est absent. Isolez $x^2$ puis extrayez la racine carrée.

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Isolation de $x^2$ : $$5x^2 = 20$$ $$x^2 = 4$$Extraction de la racine :$x = \sqrt{4} = 2$ ou $x = -\sqrt{4} = -2$Alternative - Factorisation : $$5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4) = 5(x - 2)(x + 2) = 0$$Solution :$S = \{-2 ; 2\}$

Mise sous forme canonique et résolution

La forme canonique permet de transformer une équation du second degré en une expression du type $a(x - \alpha)^2 + \beta = 0$, facilitant ainsi la résolution graphique et algébrique.

Exercice 11 : Forme canonique directe

Moyen

Soit l'équation donnée sous forme canonique :$$2(x - 1)^2 - 8 = 0$$

1. Résoudre cette équation.
2. Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée.

Indication

Isolez le carré en ajoutant 8 aux deux membres, puis divisez par 2. Pour le sommet, la forme canonique est $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec sommet $S(\alpha ; \beta)$.

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Solution de la question 1 : $$2(x - 1)^2 - 8 = 0$$ $$2(x - 1)^2 = 8$$ $$(x - 1)^2 = 4$$ $$x - 1 = \pm 2$$Donc $x = 1 + 2 = 3$ ou $x = 1 - 2 = -1$$S = \{-1 ; 3\}$Solution de la question 2 :L'équation initiale peut s'écrire : $f(x) = 2(x - 1)^2 - 8$La forme canonique est $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = 1$ et $\beta = -8$Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(1 ; -8)$

Exercice 12 : Transformation en forme canonique

Moyen

Mettre l'équation suivante sous forme canonique puis la résoudre :$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

Indication

Pour mettre sous forme canonique, complétez le carré. Utilisez la formule $x^2 + 2px = (x + p)^2 - p^2$. Ici, $2p = 4$.

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Transformation :On a $x^2 + 4x - 5$. Complétons le carré pour les deux premiers termes :$2p = 4$ donc $p = 2$$$x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$$Forme canonique : $$x^2 + 4x - 5 = (x + 2)^2 - 4 - 5 = (x + 2)^2 - 9 = 0$$Résolution : $$(x + 2)^2 = 9$$ $$x + 2 = \pm 3$$$x = -2 + 3 = 1$ ou $x = -2 - 3 = -5$Solution :$S = \{-5 ; 1\}$

Exercice 13 : Forme canonique avec coefficient $a \neq 1$

Difficile

Déterminer la forme canonique de l'expression suivante, puis résoudre l'équation associée :$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$

Indication

Commencez par factoriser par le coefficient de $x^2$, puis complétez le carré dans la parenthèse.

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Factorisation par 3 : $$3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3)$$Complétion du carré :Dans $x^2 - 4x$, on a $2p = 4$ donc $p = 2$$$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$$Forme canonique : $$3(x^2 - 4x + 3) = 3[(x - 2)^2 - 4 + 3] = 3[(x - 2)^2 - 1] = 3(x - 2)^2 - 3$$Résolution : $$3(x - 2)^2 - 3 = 0$$ $$3(x - 2)^2 = 3$$ $$(x - 2)^2 = 1$$ $$x - 2 = \pm 1$$$x = 2 + 1 = 3$ ou $x = 2 - 1 = 1$Solution :$S = \{1 ; 3\}$

Équations avec paramètres

Les équations paramétrées comportent un ou plusieurs paramètres (souvent notés $m$, $k$, ou $a$) qu'il faut déterminer selon des conditions données sur le nombre ou la nature des solutions.

Exercice 14 : Déterminer le paramètre pour deux solutions distinctes

Difficile

Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ l'équation suivante admet-elle deux solutions distinctes ?$$x^2 + 2mx + (m - 3) = 0$$

Indication

Une équation du second degré admet deux solutions distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif. Calculez $\Delta$ en fonction de $m$, puis résolvez l'inéquation $\Delta > 0$.

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Calcul du discriminant :On a $a = 1$, $b = 2m$ et $c = m - 3$$$\Delta = (2m)^2 - 4 \times 1 \times (m - 3)$$ $$\Delta = 4m^2 - 4m + 12$$ $$\Delta = 4(m^2 - m + 3)$$Condition pour deux solutions distinctes :On cherche $\Delta > 0$, soit $4(m^2 - m + 3) > 0$Comme $4 > 0$, il faut $m^2 - m + 3 > 0$Étude du signe de $m^2 - m + 3$ :Discriminant de ce trinôme : $\Delta' = 1 - 12 = -11 < 0$Le coefficient de $m^2$ étant positif et $\Delta' < 0$, le trinôme est toujours strictement positif.Conclusion :L'équation admet deux solutions distinctes pour toute valeur de $m \in \mathbb{R}$.

Exercice 15 : Paramètre pour une solution double

Difficile

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle l'équation suivante admet une solution double, puis calculer cette solution.$$kx^2 - 6x + 4 = 0$$ (avec $k \neq 0$)

Indication

L'équation admet une solution double si $\Delta = 0$. Exprimez $\Delta$ en fonction de $k$ et résolvez. La solution double est alors $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

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Discriminant :Avec $a = k$, $b = -6$ et $c = 4$ :$$\Delta = (-6)^2 - 4 \times k \times 4 = 36 - 16k$$Condition $\Delta = 0$ : $$36 - 16k = 0$$ $$16k = 36$$ $$k = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$$Calcul de la solution double :Pour $k = \frac{9}{4}$, la solution est :$$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \times \frac{9}{4}} = \frac{6}{\frac{9}{2}} = \frac{6 \times 2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$Conclusion :Pour $k = \frac{9}{4}$, l'équation admet une solution double $x_0 = \frac{4}{3}$.

Exercice 16 : Condition sur les coefficients

Difficile

Montrer que si les coefficients $a$ et $c$ d'une équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont de signes opposés, alors l'équation admet nécessairement deux solutions réelles distinctes.

Indication

Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, que pouvez-vous dire sur le produit $ac$ ? Déduisez-en le signe de $-4ac$, puis celui de $\Delta = b^2 - 4ac$.

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Hypothèse :On suppose que $a$ et $c$ sont de signes opposés.Conséquence sur $ac$ :Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, alors $ac < 0$.Calcul de $\Delta$ : $$\Delta = b^2 - 4ac$$Puisque $ac < 0$, on a $-4ac > 0$De plus, $b^2 \geq 0$ pour tout réel $b$Conclusion :$\Delta = b^2 - 4ac$ est la somme de deux termes positifs ou nuls, dont au moins un ($-4ac$) est strictement positif.Donc $\Delta > 0$, ce qui implique que l'équation admet deux solutions réelles distinctes.

Applications et problèmes concrets

Les équations du second degré modélisent de nombreuses situations concrètes en géométrie, physique et optimisation. Ces exercices mettent en pratique la résolution dans des contextes appliqués.

Exercice 17 : Problème géométrique

Moyen

Un rectangle a une aire de 48 m² et son périmètre est de 28 m. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

Indication

Notez $L$ et $\ell$ la longueur et la largeur. Écrivez deux équations : $L \times \ell = 48$ et $2(L + \ell) = 28$. Déduisez-en que $L$ et $\ell$ sont solutions d'une équation du second degré.

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Mise en équation :Soit $L$ et $\ell$ les dimensions du rectangle.

• Aire : $L \times \ell = 48$
• Périmètre : $2(L + \ell) = 28$, donc $L + \ell = 14$

Transformation :De $L + \ell = 14$, on tire $\ell = 14 - L$En substituant dans l'équation d'aire :$$L(14 - L) = 48$$ $$14L - L^2 = 48$$ $$-L^2 + 14L - 48 = 0$$ $$L^2 - 14L + 48 = 0$$Résolution :$\Delta = 196 - 192 = 4$$$L_1 = \frac{14 - 2}{2} = 6 \quad \text{et} \quad L_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8$$Conclusion :Les dimensions du rectangle sont 6 m et 8 m.(Si $L = 6$ alors $\ell = 8$, et réciproquement)

Exercice 18 : Trajectoire parabolique

Difficile

Un ballon est lancé depuis le sol. Sa hauteur $h$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par :$$h(t) = -5t^2 + 20t$$

1. À quels instants le ballon touche-t-il le sol ?
2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
3. À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ?

Indication

Pour la question 1, résolvez $h(t) = 0$. Pour les questions 2 et 3, mettez l'expression sous forme canonique ou utilisez la formule du sommet $t_S = -\frac{b}{2a}$.

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Solution de la question 1 :Le ballon touche le sol quand $h(t) = 0$ :$$-5t^2 + 20t = 0$$ $$t(-5t + 20) = 0$$Donc $t = 0$ (instant de lancement) ou $-5t + 20 = 0$, soit $t = 4$Le ballon touche le sol à $t = 0$ s et à $t = 4$ s.Solution de la question 2 :La hauteur maximale correspond à l'ordonnée du sommet de la parabole.L'abscisse du sommet est : $t_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = \frac{20}{10} = 2$ sLa hauteur maximale est :$$h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 = -20 + 40 = 20 \text{ m}$$Solution de la question 3 :La hauteur maximale de 20 m est atteinte à $t = 2$ s.Vérification par forme canonique : $$h(t) = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5[(t - 2)^2 - 4] = -5(t - 2)^2 + 20$$On retrouve bien le sommet $S(2 ; 20)$.