Un tableau de signe est un outil qui permet de savoir sur quels intervalles une expression est positive, négative ou nulle. Il intervient surtout dans la résolution d’une inéquation produit ou quotient, mais aussi dans l’étude d’une dérivée avant de construire un tableau de variation.
L’idée essentielle est simple : une expression factorisée change de signe seulement aux valeurs où l’un de ses facteurs s’annule, ou aux valeurs interdites dans le cas d’un quotient. Le tableau sert donc à organiser ces informations sans se tromper dans les intervalles.
Dans ce cours, on part des notions de base, puis on construit progressivement la méthode pour les produits, les quotients, les trinômes et les dérivées. L’objectif est de savoir non seulement remplir un tableau de signes, mais aussi conclure correctement.
Qu’est-ce qu’un tableau de signe ?
Définition
Un tableau de signe est un tableau qui indique le signe d’une expression selon les valeurs de la variable \(x\). Il permet de découper la droite réelle en intervalles sur lesquels le signe de l’expression reste constant.
Par exemple, pour l’expression :
les valeurs importantes sont \(x=-1\) et \(x=2\), car ce sont les valeurs qui annulent les deux facteurs.
Pourquoi le tableau est utile
Le tableau de signe évite de tester beaucoup de valeurs au hasard. Il donne une méthode stable pour répondre à des questions comme :
- pour quelles valeurs a-t-on \(A(x)>0\) ?
- pour quelles valeurs a-t-on \(A(x)\leq0\) ?
- quand une dérivée est-elle positive ou négative ?
- quelles valeurs sont interdites dans une fraction rationnelle ?
Différence entre tableau de signe et tableau de variation
Un tableau de signe étudie le signe d’une expression. Un tableau de variation étudie le sens de variation d’une fonction. Les deux sont liés : pour construire un tableau de variation, on utilise souvent le tableau de signe de la dérivée \(f'(x)\).
Astuce. Retenez cette phrase : le tableau de signe répond à “positif ou négatif ?”, le tableau de variation répond à “croissant ou décroissant ?”.
Vocabulaire indispensable avant de commencer
Zéro d’un facteur
Un zéro est une valeur de \(x\) qui annule une expression. Pour un facteur affine \(ax+b\), le zéro se trouve en résolvant :
Par exemple :
Valeur interdite
Une valeur interdite est une valeur pour laquelle l’expression n’existe pas. Elle apparaît surtout dans les quotients, lorsque le dénominateur s’annule.
Dans l’expression :
la valeur \(x=-3\) est interdite, car elle annule le dénominateur.
Piège. Un zéro du numérateur peut être une solution. Un zéro du dénominateur est une valeur interdite et ne peut jamais être une solution.
Double barre dans un tableau
Dans un tableau de signes, une valeur interdite se marque souvent par une double barre. Cette double barre signifie : “l’expression n’est pas définie ici”.
Cette notation est particulièrement importante pour les fractions rationnelles.
Signe d’un facteur affine \(ax+b\)
Racine d’un facteur affine
Pour étudier le signe de \(ax+b\), avec \(a\neq0\), on commence par trouver sa racine :
Règle selon le signe de \(a\)
Le signe du facteur dépend ensuite du coefficient directeur \(a\), comme dans l’étude d’une fonction affine.
| Expression | Avant la racine | À la racine | Après la racine |
|---|---|---|---|
| \(ax+b\) avec \(a>0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(ax+b\) avec \(a<0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Exemple rapide
Étudions le signe de \(3x-6\). Sa racine est :
Comme le coefficient de \(x\) est positif, le facteur est négatif avant \(2\), nul en \(2\), puis positif après \(2\).
Attention. Si le coefficient de \(x\) est négatif, le signe est inversé : positif avant la racine, négatif après.
Méthode complète pour construire un tableau de signe
Étape 1 : factoriser l’expression
Un tableau de signe est beaucoup plus simple lorsque l’expression est écrite sous forme factorisée. Par exemple, il est plus utile d’écrire :
que de garder seulement \(x^2-9\), car les facteurs indiquent directement les valeurs importantes.
Étape 2 : trouver les zéros et valeurs interdites
Pour chaque facteur, on résout l’équation facteur égal à zéro. Dans un quotient, on repère aussi les valeurs qui annulent le dénominateur.
Étape 3 : ordonner les valeurs importantes
On place toutes les valeurs importantes dans l’ordre croissant sur la première ligne du tableau. Cette ligne découpe la droite réelle en intervalles.
Étape 4 : remplir le signe de chaque facteur
Chaque facteur possède sa propre ligne. Sur chaque intervalle, on indique son signe : \(+\), \(-\), ou \(0\) aux valeurs où il s’annule.
Étape 5 : obtenir le signe final
La dernière ligne donne le signe du produit ou du quotient. On l’obtient en appliquant la règle des signes colonne par colonne.
Étape 6 : conclure selon l’inéquation
On ne conclut pas toujours de la même façon : le symbole \(>\), \(\geq\), \(<\), \(\leq\) détermine les intervalles à garder.
Piège. Ne vous arrêtez pas au tableau. Une réponse complète doit donner l’ensemble solution sous forme d’intervalles.
Préparer l’expression avant le tableau
Pourquoi la factorisation est décisive
Un tableau de signe devient vraiment efficace lorsque l’expression est écrite comme un produit ou un quotient de facteurs simples. Si l’expression est développée, les changements de signe ne sont pas toujours visibles.
Par exemple, l’expression \(x^2-4\) est beaucoup plus lisible sous la forme :
On voit immédiatement que les valeurs importantes sont \(-2\) et \(2\). Sans factorisation, ces deux valeurs sont moins évidentes. Pour revoir les formes classiques, vous pouvez consulter le cours sur les identités remarquables.
Factoriser par un facteur commun
Si tous les termes possèdent un facteur commun, on commence par le mettre en évidence. Par exemple :
Le signe de \(3\) est toujours positif, donc les changements de signe viennent seulement de \(x\) et \(x-2\).
Quand on ne peut pas factoriser facilement
Si l’expression ne se factorise pas directement, il ne faut pas inventer un tableau artificiel. Selon le cas, on peut utiliser le discriminant, une forme canonique, une étude de fonction ou une dérivée.
Piège. Développer une expression avant un tableau de signe peut faire perdre l’information utile. On développe pour simplifier, mais on factorise pour étudier un signe.
Tableau de signe d’un produit
Principe général
Pour un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur. Ensuite, on multiplie les signes pour obtenir le signe du produit.
La règle des signes est la suivante :
- le produit de deux signes identiques est positif ;
- le produit de deux signes opposés est négatif ;
- si un facteur vaut \(0\), le produit vaut \(0\).
Exemple détaillé
Résolvons l’inéquation :
Les facteurs sont \(x+2\) et \(3-x\). Ils s’annulent pour :
On place donc \(-2\) et \(3\) dans le tableau.
| \(x\) | \((-\infty,-2)\) | \(-2\) | \((-2,3)\) | \(3\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(3-x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \((x+2)(3-x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Conclusion de l’inéquation
On cherche les valeurs pour lesquelles le produit est positif ou nul. On garde donc l’intervalle où la dernière ligne est \(+\), ainsi que les zéros :
Astuce. Si l’inéquation avait été stricte, c’est-à-dire \((x+2)(3-x)>0\), on aurait exclu \(-2\) et \(3\).
Produits avec plusieurs facteurs
Ajouter une ligne par facteur
Si l’expression contient trois facteurs ou plus, la méthode ne change pas. On ajoute simplement une ligne par facteur, puis on remplit la dernière ligne avec la règle des signes.
Par exemple, pour :
les valeurs importantes sont \(-2\), \(1\), et \(5\). La première ligne du tableau doit donc les placer dans cet ordre.
Nombre de facteurs négatifs
Dans chaque colonne, le signe final dépend du nombre de facteurs négatifs :
- un nombre pair de signes \(-\) donne un produit positif ;
- un nombre impair de signes \(-\) donne un produit négatif ;
- si un facteur vaut \(0\), le produit vaut \(0\).
Facteur toujours positif ou toujours négatif
Certains facteurs ne changent jamais de signe. Par exemple, \(x^2+1\) est toujours strictement positif sur \(\mathbb{R}\). Il peut être présent dans l’expression, mais il ne crée pas de nouvelle valeur importante.
Astuce. Avant de construire un grand tableau, repérez les facteurs toujours positifs. Ils simplifient souvent l’étude du signe.
Racines simples, racines doubles et changement de signe
Racine simple
Un facteur du type \(x-a\) change de signe lorsqu’on traverse \(a\). On dit que \(a\) est une racine simple du facteur.
Racine double
Un facteur du type \((x-a)^2\) est toujours positif ou nul. Il s’annule en \(a\), mais ne change pas de signe lorsqu’on traverse \(a\).
Pourquoi c’est important
Dans un tableau de signe, une racine double crée un zéro, mais pas forcément un changement de signe dans la dernière ligne. Cette idée devient très importante dans les polynômes du second degré et les polynômes factorisés.
Attention. Voir un zéro dans le tableau ne signifie pas toujours que le signe change autour de ce zéro.
Tableau de signe d’un quotient
Ce qui change avec un quotient
Pour un quotient, on utilise presque la même méthode que pour un produit. La différence essentielle est le domaine de définition : le dénominateur ne doit jamais être nul.
Dans un tableau de signe, cela se traduit par une valeur interdite, souvent indiquée par une double barre.
Exemple détaillé
Étudions le signe de :
Le numérateur s’annule pour \(x=4\). Le dénominateur s’annule pour \(x=-1\), donc \(x=-1\) est une valeur interdite.
| \(x\) | \((-\infty,-1)\) | \(-1\) | \((-1,4)\) | \(4\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(x+1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(Q(x)\) | \(+\) | interdit | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Résoudre une inéquation quotient
Si l’on veut résoudre \(Q(x)>0\), on garde les intervalles où la dernière ligne est positive :
Piège. Même si l’inéquation était \(Q(x)\geq0\), la valeur \(-1\) resterait exclue, car elle est interdite.
Résoudre une inéquation sur un intervalle imposé
Pourquoi l’intervalle change la conclusion
Parfois, l’énoncé ne demande pas de résoudre l’inéquation sur tout \(\mathbb{R}\), mais seulement sur un intervalle donné. Dans ce cas, on construit le tableau comme d’habitude, puis on intersecte la solution avec l’intervalle imposé.
Exemple
Supposons que le tableau donne :
Si l’énoncé demande les solutions dans \([0,5]\), alors on garde seulement la partie de \(S\) située dans \([0,5]\) :
Rédaction conseillée
Écrivez d’abord la solution générale, puis la restriction. Cela rend la conclusion beaucoup plus lisible.
Piège. Ne supprimez pas l’étape de restriction. Beaucoup d’erreurs viennent d’une réponse donnée sur \(\mathbb{R}\) alors que l’énoncé impose un intervalle.
Cas d’un trinôme du second degré
Lien avec le discriminant
Un trinôme du second degré peut aussi être étudié avec un tableau de signe. Si le trinôme se factorise, on revient au cas d’un produit. Sinon, on utilise souvent le discriminant.
Pour un trinôme :
le signe dépend du discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) et du signe de \(a\). Ce point est détaillé dans le cours sur l’équation du second degré.
Exemple avec factorisation
Étudions le signe de :
On factorise :
On retrouve donc un tableau de signe de produit, avec les valeurs importantes \(-2\) et \(3\).
Règle rapide du signe du trinôme
Quand \(\Delta>0\), un trinôme a deux racines \(x_1\) et \(x_2\). Son signe est celui de \(a\) à l’extérieur des racines, et le signe opposé entre les racines.
Attention. Cette règle rapide ne remplace pas la compréhension du tableau. Elle doit être utilisée seulement quand les racines sont bien identifiées et ordonnées.
Tableau de signe et domaine de définition
Pourquoi le domaine vient avant le tableau
Avant de résoudre une inéquation quotient ou une inéquation avec racine carrée, il faut déterminer les valeurs pour lesquelles l’expression existe. Le tableau de signe ne doit jamais faire oublier le domaine de définition.
Cas d’une racine carrée
Pour une expression comme :
il faut que :
On utilise donc un tableau de signe pour trouver le domaine de définition de la racine.
Astuce. Le tableau de signe ne sert pas seulement à résoudre des inéquations : il sert aussi à trouver où une expression existe.
Tableau de signe d’une dérivée
Du signe de \(f'(x)\) aux variations de \(f\)
Dans l’étude d’une fonction, on calcule souvent la dérivée \(f'(x)\), puis on étudie son signe. Le résultat permet de connaître les variations de \(f\).
- si \(f'(x)>0\), alors \(f\) est croissante ;
- si \(f'(x)<0\), alors \(f\) est décroissante ;
- si \(f'(x)=0\), il peut y avoir un point critique.
Pour consolider cette partie, vous pouvez revoir le chapitre sur le calcul de dérivées.
Exemple simple
Soit \(f'(x)=2x-4\). On résout :
Comme \(2x-4\) est négatif avant \(2\) et positif après \(2\), la fonction \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,2]\), puis croissante sur \([2,+\infty[\).
Piège. Le tableau de signe de \(f'(x)\) ne donne pas directement les valeurs de \(f(x)\). Il donne le sens de variation de \(f\).
Comment rédiger proprement une solution ?
Écrire les valeurs importantes avant le tableau
Une rédaction claire commence avant le tableau. Il faut écrire les équations qui donnent les zéros et les valeurs interdites. Par exemple :
Justifier les signes
Pour chaque facteur affine, vous pouvez justifier le signe avec son coefficient directeur. Cela rend la rédaction plus solide, surtout lorsqu’un facteur est de la forme \(a-bx\).
Conclure avec le bon type d’intervalle
La conclusion doit respecter le symbole de l’inéquation :
| Symbole | Ce qu’on garde | Les zéros sont inclus ? |
|---|---|---|
| \(>0\) | intervalles positifs | non |
| \(\geq0\) | intervalles positifs et zéros | oui, sauf valeurs interdites |
| \(<0\) | intervalles négatifs | non |
| \(\leq0\) | intervalles négatifs et zéros | oui, sauf valeurs interdites |
Attention. Les crochets dépendent du symbole de l’inéquation, mais une valeur interdite se note toujours avec une exclusion.
Checklist rapide avant de valider un tableau
Questions à se poser
- L’expression est-elle bien factorisée ?
- Tous les zéros des facteurs sont-ils placés ?
- Les valeurs interdites sont-elles indiquées ?
- Les valeurs sont-elles dans l’ordre croissant ?
- La dernière ligne correspond-elle bien au produit ou quotient complet ?
- La conclusion respecte-t-elle le symbole \(>\), \(\geq\), \(<\), ou \(\leq\) ?
Mini-résumé de la méthode
Factoriser, chercher les zéros, exclure les valeurs interdites, construire le tableau, multiplier les signes, puis conclure. Cette suite d’actions doit devenir automatique.
Référence externe fiable
Pour une définition générale, vous pouvez consulter l’article consacré au tableau de signes. Cette page PediaMath développe ensuite la méthode complète avec les cas produit, quotient, trinôme et dérivée.
Conclusion : maîtriser le tableau de signe
Ce qu’il faut retenir
Le tableau de signe est une méthode d’organisation. Il ne remplace pas le raisonnement : il le rend plus clair. Pour l’utiliser correctement, il faut d’abord identifier les zéros et les valeurs interdites, puis remplir les signes de chaque facteur et conclure avec des intervalles.
La différence entre produit et quotient est fondamentale : dans un quotient, le dénominateur impose des valeurs interdites. C’est souvent là que se produisent les erreurs.
Pourquoi cette méthode est importante
Une fois maîtrisé, le tableau de signe devient un outil transversal : il sert aux inéquations, aux fonctions rationnelles, aux racines carrées, aux trinômes du second degré et à l’étude des variations par le signe de la dérivée.
Questions fréquentes sur le tableau de signe
Comment faire un tableau de signe ?
Pour faire un tableau de signe, on factorise l’expression, on cherche les zéros des facteurs, on repère les valeurs interdites, on place toutes les valeurs dans l’ordre croissant, puis on remplit les signes sur chaque intervalle.
Quelle est la différence entre un zéro et une valeur interdite ?
Un zéro annule l’expression ou un facteur. Une valeur interdite rend l’expression impossible, souvent parce qu’un dénominateur vaut zéro. Une valeur interdite ne peut jamais être solution.
Quand utilise-t-on une double barre dans un tableau de signe ?
On utilise une double barre pour marquer une valeur interdite, par exemple une valeur qui annule le dénominateur d’un quotient.
Comment résoudre une inéquation avec un tableau de signe ?
Après avoir rempli la dernière ligne du tableau, on garde les intervalles où le signe correspond à l’inéquation demandée. Les zéros sont inclus seulement pour les inégalités larges, sauf s’ils sont interdits.
Un tableau de signe sert-il aussi aux tableaux de variation ?
Oui. On utilise souvent un tableau de signe pour étudier le signe de la dérivée \(f'(x)\), puis on en déduit les variations de la fonction \(f\).