Nombres réels et intervalles Seconde : cours

En Seconde, les nombres réels servent à mesurer, comparer et repérer des points sur une droite. Les intervalles permettent ensuite de décrire en une seule écriture tous les réels qui vérifient une inégalité. Deux réflexes structurent le chapitre : classer un nombre dans le plus petit ensemble possible et traduire sans ambiguïté les bornes d'un intervalle.

Cette leçon suit le programme de mathématiques de Seconde applicable à la rentrée 2026. Elle distingue les valeurs exactes des affichages approchés et introduit aussi l'encadrement décimal, souvent oublié alors qu'il fait partie des capacités attendues.

Table des Matières

Les ensembles N, Z, D, Q et R

R est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire des abscisses des points d'une droite graduée. On y distingue plusieurs sous-ensembles :

N : les entiers naturels, par exemple $0$ , $7$ et $35$ ;
Z : les entiers relatifs, par exemple $-4$ , $0$ et $12$ ;
D : les nombres dont l'écriture décimale est finie, par exemple $0{,}125$ et $-2{,}7$ ;
Q : les quotients $\frac{a}{b}$ , avec $a\in\mathbb Z$ , $b\in\mathbb Z$ et $b\neq0$ ;
R contient Q mais aussi les irrationnels, comme $\sqrt2$ et $\pi$ .

\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.

Un nombre appartient généralement à plusieurs ensembles. Ainsi $5$ appartient à N, Z, D, Q et R. Lorsque l'on demande sa nature, on donne le plus petit ensemble qui le contient.

Inclusion des ensembles N, Z, D, Q et R avec des exemples de nombres — Les ensembles sont emboîtés. Les exemples placés entre deux cadres appartiennent au grand ensemble, mais pas au suivant.

Reconnaître un décimal, un rationnel et un irrationnel

Une fraction n'est pas automatiquement classée dans Q seulement. Il faut d'abord la simplifier. Par exemple :

\frac{15}{40}=\frac38=0{,}375\in\mathbb D, \qquad \frac13\in\mathbb Q\setminus\mathbb D.

Une fraction irréductible possède une écriture décimale finie lorsque son dénominateur ne contient que les facteurs premiers $2$ et $5$ . Ainsi $\frac{7}{20}$ est décimal, tandis que $\frac{2}{3}$ ne l'est pas.

Pourquoi un tiers n’est-il pas décimal ?

Supposons que $\frac13$ ait une écriture décimale finie. Il existerait alors des entiers $p$ et $n$ tels que $\frac13=\frac{p}{10^n}$ . On aurait $10^n=3p$ , donc $10^n$ serait divisible par $3$ . C'est impossible, car $10^n=2^n5^n$ . L'écriture décimale de $\frac13$ est donc illimitée.

Attention : l'écran d'une calculatrice n'indique pas toujours une valeur exacte. L'affichage $1{,}41421356$ pour $\sqrt2$ est une approximation, pas une écriture décimale finie de $\sqrt2$ .

Lire un intervalle et choisir les crochets

Un intervalle est un ensemble continu de nombres réels. Un crochet fermé signifie que la borne est incluse. Un crochet ouvert signifie qu'elle est exclue. Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres : leur côté est toujours ouvert.

Inégalité	Intervalle	Lecture
$-2\le x<5$	$x\in[-2;5[$	$-2$ admis, $5$ exclu
$x>3$	$x\in]3;+\infty[$	strictement supérieur à $3$
$x\le1$	$x\in]-\infty;1]$	inférieur ou égal à $1$
$x\in\mathbb R$	$]-\infty;+\infty[$	tous les réels

Intersection et réunion de deux intervalles

L'intersection $I\cap J$ conserve les nombres communs à $I$ et $J$ . La réunion $I\cup J$ conserve les nombres qui appartiennent à l'un au moins des deux intervalles.

Pour $I=[-4;3[$ et $J=]-1;6]$ , la zone commune commence juste après $-1$ et s'arrête avant $3$ . Comme les intervalles se recouvrent, leur réunion ne présente aucun trou :

I\cap J=]-1;3[, \qquad I\cup J=[-4;6].

Contrôle rapide : tester les bornes dans les deux intervalles évite la plupart des erreurs de crochet.

Encadrer un nombre réel avec une amplitude donnée

Encadrer un réel consiste à trouver une borne inférieure et une borne supérieure. L'amplitude est la différence entre ces deux bornes. Par exemple, puisque $1{,}41^2=1{,}9881<2$ et $1{,}42^2=2{,}0164>2$ , on obtient :

1{,}41<\sqrt2<1{,}42.

L'amplitude de cet encadrement vaut $1{,}42-1{,}41=0{,}01$ . Un balayage numérique peut répéter ce procédé avec un pas de $10^{-n}$ pour obtenir la précision demandée.

Exemple complet : classer puis traduire une contrainte

Considérons $-6$ , $0{,}125$ , $\frac{7}{20}$ , $\frac23$ , $\sqrt{49}$ et $\sqrt3$ .

$-6$ est un entier relatif : son plus petit ensemble est Z.
$0{,}125$ et $\frac{7}{20}=0{,}35$ ont une écriture décimale finie : leur plus petit ensemble est D.
$\frac23$ est rationnel mais non décimal : son plus petit ensemble est Q.
$\sqrt{49}=7$ est naturel : son plus petit ensemble est N.
$\sqrt3$ est irrationnel : il appartient à R sans appartenir à Q.

Si une température $t$ doit être au moins égale à $-12$ et strictement inférieure à $45$ , la contrainte s'écrit :

-12\le t<45 \quad\Longleftrightarrow\quad t\in[-12;45[.

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre une valeur approchée affichée par la calculatrice avec un nombre décimal exact.
Donner R comme réponse alors qu'un ensemble plus petit convient.
Fermer un intervalle du côté de l'infini.
Confondre intersection, qui signifie « et », avec réunion, qui signifie « ou ».
Oublier de vérifier si une borne est admise avant de choisir le crochet.

S’entraîner sur les nombres réels et les intervalles

La page nombres réels et intervalles Seconde : exercices corrigés propose des classifications, des changements d'écriture, des intersections et un encadrement de $\sqrt2$ , avec une correction distincte pour chaque question.

Le périmètre du cours suit le programme officiel de mathématiques de Seconde publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026.