Valeur absolue : Définition, formule & méthode de résolution

Imagine que tu dois mesurer l'écart de température entre deux villes, ou calculer à quelle distance un objet se trouve d'un point de référence. Dans les deux cas, tu n'as pas besoin de savoir si la différence est positive ou négative : seule sa taille compte. C'est exactement ce que mesure la valeur absolue ; un outil à la fois simple et puissant, présent dans tous les domaines des mathématiques, de la physique aux statistiques. Comprendre la valeur absolue, c'est comprendre la notion de distance sur la droite réelle, et poser les bases de concepts bien plus avancés comme les normes et les espaces métriques.

Table des Matières

Définition de la valeur absolue

Avant de manipuler la valeur absolue dans des équations, il faut bien saisir ce qu'elle représente fondamentalement : une mesure de distance. Tout part de là.

Définition formelle

Soit $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$ , notée $|x|$ , le nombre défini par :

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Décortiquons chaque symbole : $x$ est un réel quelconque (il peut être positif, négatif ou nul) ; $|x|$ se lit « valeur absolue de $x$ » ou parfois « module de $x$ » ; les deux barres verticales $|\cdot|$ sont la notation standard. La virgule dans les accolades indique qu'on choisit la ligne adaptée selon le signe de $x$ .

En français courant : la valeur absolue d'un nombre, c'est ce nombre sans son signe. Si le nombre est déjà positif, on le laisse tel quel. S'il est négatif, on l'oppose (ce qui le rend positif). Résultat : $|x|$ est toujours positive ou nulle, quoi qu'il arrive.

Exemples concrets :

$|7| = 7$ (7 est positif, on le laisse)
$|-7| = -(-7) = 7$ (−7 est négatif, on l'oppose)
$|0| = 0$ (cas limite : 0 est à distance nulle de lui-même)
$|\pi - 4|$ : puisque $\pi \approx 3{,}14 < 4$ , on a $\pi - 4 < 0$ , donc $|\pi - 4| = 4 - \pi$

⚠️ Erreur fréquente : Beaucoup d'élèves écrivent $|-x| = x$ sans vérification. C'est faux en général ! Si $x = -3$ , alors $-x = 3$ et $|-x| = |3| = 3 = -x$ … non, $-x = 3$ , donc $|-x| = 3$ . La vraie propriété est $|-x| = |x|$ , ce qui est différent de dire que $|-x| = x$ . Cette égalité $|-x| = x$ n'est vraie que si $x \geq 0$ .

Une deuxième définition équivalente : la racine carrée du carré

Il existe une formulation compacte, particulièrement utile dans les démonstrations :

|x| = \sqrt{x^2}

Cette égalité est valide pour tout réel $x$ . Elle est utile car elle évite de raisonner par cas : $x^2$ est toujours positif, donc $\sqrt{x^2}$ est bien définie, et elle vaut précisément la valeur absolue de $x$ . C'est notamment la formule utilisée pour définir le module d'un nombre complexe comme généralisation de la valeur absolue.

La valeur absolue comme distance : l’interprétation géométrique

La définition algébrique est rigoureuse, mais ce qui rend la valeur absolue vraiment intuitive, c'est son interprétation géométrique sur la droite réelle.

Distance à l’origine

Sur une droite graduée, $|x|$ est la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine $O$ . Peu importe que $x$ soit à droite ou à gauche de 0 : la distance est toujours positive. Ainsi, $|-5| = |5| = 5$ signifie que $-5$ et $5$ sont tous deux à distance $5$ de l'origine.

Distance entre deux points

Plus généralement, pour deux réels $a$ et $b$ , la valeur $|a - b|$ représente la distance entre les points d'abscisses $a$ et $b$ sur la droite réelle. On note parfois cette distance $d(a, b)$ :

d(a, b) = |a - b|

Par exemple, la distance entre $-3$ et $7$ est $|-3 - 7| = |-10| = 10$ . On peut vérifier visuellement : sur la droite, l'écart entre $-3$ et $7$ est bien de 10 unités.

Caractérisation d’un intervalle par la valeur absolue

Cette interprétation en termes de distance est particulièrement utile pour décrire des intervalles. Si $a$ est un réel et $r > 0$ un rayon, alors :

x \in [a - r\, \, a + r] \iff |x - a| \leq r

Traduction humaine : $|x - a| \leq r$ signifie que $x$ est à distance au plus $r$ du point $a$ . L'ensemble de ces $x$ forme un intervalle centré en $a$ , de rayon $r$ . Par exemple, $|x - 3| \leq 2$ désigne l'intervalle $[1\, \,5]$ , c'est-à-dire tous les réels à moins de 2 unités de 3. Cette lecture est fondamentale pour résoudre les inéquations avec valeur absolue de manière rapide et visuelle.

Propriétés essentielles de la valeur absolue

Fort de cette intuition géométrique, on peut maintenant lister les propriétés qui gouvernent le calcul avec les valeurs absolues. Chacune a une justification naturelle en termes de distance.

Propriétés fondamentales

Pour tous réels $x$ et $y$ :

Propriété	Formule	Interprétation
Positivité	$\|x\| \geq 0$	Une distance est toujours positive ou nulle
Séparation	$\|x\| = 0 \iff x = 0$	La distance à l'origine est nulle ssi $x$ est à l'origine
Symétrie	$\|-x\| = \|x\|$	$x$ et $-x$ sont à la même distance de 0
Multiplicativité	$\|xy\| = \|x\| \cdot \|y\|$	La valeur absolue est compatible avec la multiplication
Quotient	$\left\|\dfrac{x}{y}\right\| = \dfrac{\|x\|}{\|y\|}$ (avec $y \neq 0$ )	Idem pour la division
Puissance	$\|x^2\| = x^2 = \|x\|^2$	Le carré est toujours positif

Deux propriétés méritent une attention particulière : la multiplicativité ( $|xy| = |x||y|$ ) est souvent utilisée dans les simplifications algébriques, et la propriété $|x|^2 = x^2$ est la clé de nombreuses démonstrations par le carré.

⚠️ Erreur fréquente : La valeur absolue n'est pas linéaire par rapport à l'addition. On a en général $|x + y| \neq |x| + |y|$ . Par exemple, $|3 + (-3)| = |0| = 0$ , mais $|3| + |-3| = 6$ . Ce qu'on peut affirmer, c'est que $|x + y| \leq |x| + |y|$ ; c'est l'inégalité triangulaire, vue dans la section suivante.

Lien avec la racine carrée et le carré

Une propriété particulièrement utile pour lever les barres de valeur absolue dans les équations :

x^2 \leq y^2 \iff |x| \leq |y|

Autrement dit, comparer les carrés revient à comparer les valeurs absolues. Cette équivalence permet de passer au carré dans une inégalité impliquant des valeurs absolues, à condition de vérifier que les deux membres sont positifs (ce qui est toujours le cas pour des valeurs absolues).

L’inégalité triangulaire : le résultat central

Parmi toutes les propriétés de la valeur absolue, une seule mérite le titre de théorème fondamental : l'inégalité triangulaire. Elle est omniprésente en analyse, en algèbre et en géométrie.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous réels $a$ et $b$ :

|a + b| \leq |a| + |b|

Il en découle une seconde forme, dite inégalité triangulaire renversée :

\bigl||a| - |b|\bigr| \leq |a - b|

Cas d'égalité : l'égalité $|a + b| = |a| + |b|$ a lieu si et seulement si $a$ et $b$ sont de même signe (ou l'un d'eux est nul).

Pourquoi l'appelle-t-on "triangulaire" ?

Le nom vient de la géométrie élémentaire : dans tout triangle de sommets $A$ , $B$ , $C$ , la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des deux autres. En termes de distances, $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$ . Sur la droite réelle, cela se traduit exactement par $|a + b| \leq |a| + |b|$ (en posant les bons points). C'est aussi l'idée intuitive que le chemin direct est toujours le plus court : aller de Paris à Marseille en passant par Lyon ne sera jamais plus rapide qu'y aller directement.

Démonstration de l’inégalité triangulaire

La preuve standard utilise l'astuce du carré, puis la propriété $|x|^2 = x^2$ .

On compare les carrés. On veut montrer $|a + b| \leq |a| + |b|$ . Puisque les deux membres sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés.
Développement de $|a + b|^2$ .
$|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Majoration de $2ab$ . On sait que pour tout réel, $t \leq |t|$ . Donc $ab \leq |ab| = |a||b|$ , ce qui donne $2ab \leq 2|a||b|$ .
Conclusion.
$|a + b|^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = \bigl(|a| + |b|\bigr)^2$
Puisque les deux membres sont positifs, on peut prendre la racine carrée (qui est croissante) sans changer le sens de l'inégalité :
$|a + b| \leq |a| + |b| \qquad$

⚠️ Erreur fréquente : Lors du passage de l'inégalité sur les carrés à l'inégalité sur les racines, certains élèves oublient de vérifier que les membres sont bien positifs avant de prendre la racine. Si $u^2 \leq v^2$ , on ne peut conclure $u \leq v$ que si $u \geq 0$ et $v \geq 0$ . Ici, $|a+b| \geq 0$ et $|a|+|b| \geq 0$ , donc le passage est licite.

Résoudre des équations et des inéquations avec la valeur absolue

La théorie posée, venons-en à l'utilisation pratique la plus courante : la résolution d'équations et d'inéquations. La stratégie repose sur un principe unique ; lever les barres de valeur absolue en distinguant les cas selon le signe de l'expression intérieure.

Équations de la forme $|f(x)| = k$

On distingue trois situations :

Si $k < 0$ : aucune solution, car $|f(x)| \geq 0$ toujours.
Si $k = 0$ : $|f(x)| = 0 \iff f(x) = 0$ , une seule équation à résoudre.
Si $k > 0$ : on résout $f(x) = k$ et $f(x) = -k$ séparément, puis on réunit les solutions.

Exemple : Résoudre $|2x - 1| = 5$ .

\begin{align*} |2x - 1| = 5 &\iff 2x - 1 = 5 \quad \text{ou} \quad 2x - 1 = -5 \\ &\iff x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -2 \end{align*}

L'ensemble solution est $S = \{-2\, \,3\}$ .

Inéquations : exploiter l’interprétation géométrique

L'approche la plus efficace est géométrique. On retient deux patrons fondamentaux :

Patron 1 : Inéquation "inférieure" : $|x - a| \leq r$ (avec $r > 0$ )

|x - a| \leq r \iff x \in [a - r\, \, a + r]

Lecture : $x$ est à distance au plus $r$ de $a$ .

Patron 2 : Inéquation "supérieure" : $|x - a| \geq r$ (avec $r > 0$ )

|x - a| \geq r \iff x \in \left]{-\infty}\, \, a - r\right] \cup \left[a + r\, \,{+\infty}\right[

Lecture : $x$ est à distance au moins $r$ de $a$ .

Exemple 1 : Résoudre $|x + 2| \leq 3$ . On réécrit : $|x - (-2)| \leq 3$ . Solution : $x \in [-2 - 3\, \, -2 + 3] = [-5\, \,1]$ .

Exemple 2 : Résoudre $|x - 5| > 2$ . Solution : $x \in ]{-\infty}\, \,3[ \cup ]7\, \,{+\infty}[$ .

Méthode de la disjonction de cas

Pour des expressions plus complexes, on lève les barres en étudiant le signe de l'intérieur sur des intervalles. Par exemple, pour résoudre $|x - 1| + |x + 2| = 5$ , on distingue les intervalles $]{-\infty}\, \,-2[$ , $[-2\, \,1]$ et $]1\, \,{+\infty}[$ , et on résout une équation sans valeur absolue sur chaque intervalle. Cette technique est systématique et s'applique à tous les cas, aussi complexes soient-ils.

La fonction valeur absolue : graphe et propriétés analytiques

Au-delà du calcul ponctuel, il est utile de voir la valeur absolue comme une fonction, et d'analyser son comportement global.

Graphe de $f(x) = |x|$

La courbe représentative de $f : x \mapsto |x|$ est formée de deux demi-droites : pour $x \geq 0$ , la courbe coïncide avec la droite $y = x$ ; pour $x < 0$ , elle coïncide avec la droite $y = -x$ . Le tout forme un "V" ouvert vers le haut, de sommet $(0, 0)$ .

Propriétés analytiques de la fonction

La fonction valeur absolue possède plusieurs caractéristiques importantes :

Parité : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ , donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Continuité : $f$ est continue en tout point de $\mathbb{R}$ , y compris en $0$ .
Non-dérivabilité en 0 : la dérivée à gauche en 0 vaut $-1$ (pente de $-x$ ) et la dérivée à droite vaut $+1$ (pente de $x$ ). Comme elles diffèrent, $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; la courbe a un "coin" en ce point.
Dérivée en dehors de 0 : pour $x \neq 0$ , on a $f'(x) = \frac{x}{|x|}$ , qui vaut $1$ si $x > 0$ et $-1$ si $x < 0$ .
Minimum absolu : $f(0) = 0$ est le minimum global, atteint en $x = 0$ .

Applications et connexions avec d’autres notions

La valeur absolue n'est pas un concept isolé : elle est le point de départ de généralisations profondes qui traversent toutes les branches des mathématiques.

Valeur absolue et module des complexes

En terminale et en classes préparatoires, la valeur absolue est généralisée au corps des nombres complexes sous le nom de module. Pour $z = a + ib$ (où $a$ et $b$ sont réels et $i^2 = -1$ ), le module est :

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Quand $z$ est réel (c'est-à-dire $b = 0$ ), on retrouve $|z| = \sqrt{a^2} = |a|$ . Le module hérite de toutes les propriétés de la valeur absolue, notamment l'inégalité triangulaire.

Valeur absolue et norme dans les espaces vectoriels

La notion de valeur absolue est à la base de la définition d'une norme sur un espace vectoriel. Une norme $\|\cdot\|$ doit vérifier exactement les mêmes axiomes : positivité, séparation, homogénéité ( $\|\lambda x\| = |\lambda|\|x\|$ ) et inégalité triangulaire. En ce sens, la valeur absolue est la norme naturelle sur $\mathbb{R}$ .

La valeur absolue dans les suites et l’analyse des limites

En analyse, la notion de limite s'exprime systématiquement avec la valeur absolue. Dire qu'une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ signifie exactement que $|u_n - \ell|$ tend vers $0$ ; c'est-à-dire que la distance entre $u_n$ et $\ell$ devient arbitrairement petite. Sans la valeur absolue, la définition formelle de la convergence ne serait pas possible. Pour une exploration complète de ce lien, la définition officielle de la limite d'une suite est présentée sur l'article Wikipédia consacré à la valeur absolue.

Conclusion : ce qu’il faut retenir sur la valeur absolue

La valeur absolue est bien plus qu'un simple outil de calcul : c'est la formalisation mathématique de l'idée de distance. Retenir que $|x|$ est toujours la distance entre $x$ et $0$ , et que $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$ , suffit à retrouver la plupart des formules par raisonnement géométrique plutôt que par mémorisation mécanique.

Les points essentiels à maîtriser sont : la définition par cas, les propriétés multiplicatives, l'inégalité triangulaire et sa preuve, et la résolution des équations et inéquations via les deux patrons fondamentaux. Ces outils constituent une base solide pour aborder des concepts plus avancés comme les suites, les limites et les normes en classes préparatoires.

Questions fréquentes sur la valeur absolue

Comment calculer la valeur absolue d’un nombre ?

Pour tout réel $x$ , on applique la règle suivante : si $x \geq 0$ , alors $|x| = x$ (on laisse le nombre tel quel) ; si $x < 0$ , alors $|x| = -x$ (on prend l'opposé, ce qui donne un résultat positif). Par exemple, $|-5| = -(-5) = 5$ et $|3| = 3$ . La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Qu’est-ce que la valeur absolue en mathématiques ?

La valeur absolue d'un réel $x$ , notée $|x|$ , est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite réelle. Elle représente la "taille" d'un nombre sans tenir compte de son signe. C'est un outil fondamental pour mesurer des écarts, résoudre des inéquations et définir rigoureusement la notion de distance en mathématiques.

Comment résoudre une équation avec une valeur absolue ?

Pour résoudre $|f(x)| = k$ : si $k < 0$ , il n'y a aucune solution (une valeur absolue ne peut pas être négative) ; si $k \geq 0$ , on résout les deux équations $f(x) = k$ et $f(x) = -k$ séparément, puis on réunit les solutions dans l'ensemble $S$ .

Quelle est la différence entre valeur absolue et module ?

Pour les nombres réels, valeur absolue et module désignent la même chose. Le terme "module" est davantage utilisé pour les nombres complexes : le module de $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Pour un réel $x$ (partie imaginaire nulle), les deux définitions coïncident : $|x| = \sqrt{x^2}$ .

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue ?

On utilise les deux patrons fondamentaux. Pour $|x - a| \leq r$ (avec $r > 0$ ), la solution est l'intervalle $[a - r\, \, a + r]$ ; autrement dit, $x$ est à distance au plus $r$ de $a$ . Pour $|x - a| \geq r$ , la solution est $]{-\infty}\, \, a - r] \cup [a + r\, \,{+\infty}[$ ; autrement dit, $x$ est à distance au moins $r$ de $a$ .