Fonctions sinus et cosinus Terminale : 8 exercices corrigés

Résoudre une équation trigonométrique ne suffit pas : il faut encore sélectionner les solutions dans l’intervalle demandé. Ces exercices mobilisent les fonctions sinus et cosinus, leurs dérivées et leur périodicité.

La progression passe d’une équation à une étude de fonction, puis à une tangente et à un modèle périodique. Les angles sont exprimés en radians, sauf indication contraire.

Solutions et variations sur un intervalle

Exercice 1 : Sélectionner les angles

Facile
On résout cos⁡(2x)=1/2\cos(2x)=1/2 sur [−π,π][-\pi,\pi].
  1. Écrire les deux familles de solutions sur la droite réelle.
  2. Retenir les solutions appartenant à l’intervalle imposé.
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  1. 2x=π/3+2kπ2x=\pi/3+2k\pi ou 2x=−π/3+2kπ2x=-\pi/3+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z. Donc x=π/6+kπx=\pi/6+k\pi ou x=−π/6+kπx=-\pi/6+k\pi.
  2. Les quatre solutions sont −5π/6-5\pi/6, −π/6-\pi/6, π/6\pi/6 et 5π/65\pi/6. Les autres valeurs sortent de [−π,π][-\pi,\pi].

Exercice 2 : Un maximum intérieur

Moyen
On pose f(x)=2sin⁡x+cos⁡(2x)f(x)=2\sin x+\cos(2x) sur [0,π/2][0,\pi/2].
  1. Montrer que la dérivée peut être factorisée par cos x.
  2. Étudier son signe et les variations de f.
  3. Déterminer le maximum et le minimum de f sur l’intervalle.
Indication
Sur cet intervalle, quel facteur de la dérivée peut changer de signe ?
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  1. f′(x)=2cos⁡x−2sin⁡(2x)=2cos⁡x(1−2sin⁡x)f'(x)=2\cos x-2\sin(2x)=2\cos x(1-2\sin x).
  2. cos⁡x>0\cos x\gt 0 avant π/2\pi/2. Le second facteur s’annule en π/6\pi/6, est positif avant et négatif après. f croît sur [0,π/6][0,\pi/6], puis décroît sur [π/6,π/2][\pi/6,\pi/2].
  3. f(0)=f(π/2)=1f(0)=f(\pi/2)=1 et f(π/6)=3/2f(\pi/6)=3/2. Le maximum vaut 3/23/2 et le minimum vaut 1, atteint aux deux extrémités.

Tangente et phénomène périodique

Relier les calculs à une courbe ou à une unité.

Exercice 3 : Tangente au sinus

Moyen
Soit g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x sur [0,π][0,\pi].
  1. Déterminer la tangente en π/3.
  2. Étudier la concavité de g.
  3. En déduire une majoration de sin x valable sur l’intervalle.
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  1. g(π/3)=3/2g(\pi/3)=\sqrt3/2 et g′(π/3)=1/2g'(\pi/3)=1/2. La tangente est y=3/2+(x−π/3)/2y=\sqrt3/2+(x-\pi/3)/2.
  2. g′′(x)=−sin⁡x≤0g''(x)=-\sin x\leq0 sur [0,π][0,\pi], donc g est concave.
  3. La courbe d’une fonction concave est sous ses tangentes. Ainsi sin⁡x≤3/2+(x−π/3)/2\sin x\leq\sqrt3/2+(x-\pi/3)/2 pour 0≤x≤π0\leq x\leq\pi.

Exercice 4 : Lecture d’un capteur

Difficile
La hauteur mesurée, en centimètres, est h(t)=12+4cos⁡(π(t−3)/6)h(t)=12+4\cos(\pi(t-3)/6), pour 0≤t≤240\leq t\leq24, où t est en heures.
  1. Donner la période du modèle et ses valeurs extrêmes.
  2. À quelles heures le maximum est-il atteint ?
  3. Déterminer les intervalles où la hauteur est au moins 14 cm.
Indication
Traduire le seuil de hauteur en une condition sur le cosinus, puis tenir compte de la période.
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  1. La période est 2π/(π/6)=122\pi/(\pi/6)=12 heures. Comme le cosinus varie entre -1 et 1, les valeurs extrêmes sont 8 et 16 cm.
  2. Le maximum exige π(t−3)/6=2kπ\pi(t-3)/6=2k\pi, donc t=3+12kt=3+12k. Dans [0,24][0,24], il est atteint à 3 h et à 15 h.
  3. h(t)≥14h(t)\geq14 équivaut à cos⁡(π(t−3)/6)≥1/2\cos(\pi(t-3)/6)\geq1/2. Les angles sont dans [−π/3+2kπ,π/3+2kπ][-\pi/3+2k\pi,\pi/3+2k\pi], donc t∈[1+12k,5+12k]t\in[1+12k,5+12k]. Dans la durée étudiée, on obtient [1,5]∪[13,17][1,5]\cup[13,17] heures.

Équations et inéquations sur le cercle

Les intervalles changent d'un exercice à l'autre afin d'obliger à sélectionner réellement les solutions.

Exercice 5 : Quatre solutions sur deux périodes

Facile
Résoudre sin⁡x=3/2\sin x=\sqrt3/2 sur [0,4π][0,4\pi].
  1. Écrire les deux familles de solutions sur les réels.
  2. Sélectionner toutes les solutions de l'intervalle.
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  1. Les solutions sont x=π/3+2kπx=\pi/3+2k\pi ou x=2π/3+2kπx=2\pi/3+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z.
  2. Dans [0,4π][0,4\pi], on obtient π/3\pi/3, 2π/32\pi/3, 7π/37\pi/3 et 8π/38\pi/3.

Exercice 6 : Phase et période

Moyen
On considère f(x)=sin⁡(2x−π/3)f(x)=\sin(2x-\pi/3).
  1. Déterminer une période de f.
  2. Résoudre f(x)=0f(x)=0 sur [0,2π][0,2\pi].
  3. Donner les abscisses des maxima de f sur cet intervalle.
Indication
Pour un maximum, l'angle du sinus est égal à π/2\pi/2 modulo 2π2\pi.
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  1. Ajouter π\pi à x ajoute 2π2\pi à l'angle. Une période est donc π\pi.
  2. 2x−π/3=kπ2x-\pi/3=k\pi, donc x=π/6+kπ/2x=\pi/6+k\pi/2. Sur l'intervalle, cela donne π/6\pi/6, 2π/32\pi/3, 7π/67\pi/6 et 5π/35\pi/3.
  3. 2x−π/3=π/2+2kπ2x-\pi/3=\pi/2+2k\pi, donc x=5π/12+kπx=5\pi/12+k\pi. Les maxima sont atteints en 5π/125\pi/12 et 17π/1217\pi/12.

Comparer des valeurs trigonométriques

Une lecture d'arc puis une transformation algébrique évitent les tableaux de signes récités sans contrôle.

Exercice 7 : Un arc où le sinus dépasse un seuil

Moyen
Résoudre sin⁡x≥1/2\sin x\geq1/2 sur [−π,π][-\pi,\pi].
  1. Repérer les angles frontières sur le cercle.
  2. Donner l'ensemble solution dans l'intervalle imposé.
Indication
Sur le cercle, chercher les points dont l'ordonnée est au moins égale à 1/2.
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  1. Sur une période, les frontières sont π/6\pi/6 et 5π/65\pi/6.
  2. L'ordonnée est au moins égale à 1/2 sur l'arc supérieur compris entre ces angles. Dans [−π,π][-\pi,\pi], l'ensemble solution est [π/6,5π/6][\pi/6,5\pi/6].

Exercice 8 : Comparer sinus et cosinus

Difficile
On veut déterminer les réels x de [0,2π][0,2\pi] tels que sin⁡x≥cos⁡x\sin x\geq\cos x.
  1. Transformer la différence sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x en un sinus décalé.
  2. Résoudre l'inéquation.
  3. Contrôler les deux points d'égalité directement.
Indication
Utiliser sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π/4)\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\pi/4).
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  1. On a sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π/4)\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\pi/4).
  2. Il faut sin⁡(x−π/4)≥0\sin(x-\pi/4)\geq0. Sur l'intervalle demandé, cela donne x∈[π/4,5π/4]x\in[\pi/4,5\pi/4].
  3. Pour x=π/4x=\pi/4, les deux valeurs valent 2/2\sqrt2/2. Pour x=5π/4x=5\pi/4, elles valent toutes deux −2/2-\sqrt2/2.
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