Logarithme népérien Terminale : 8 exercices corrigés

Les conditions d'existence sont écrites avant toute transformation. Cette habitude évite de conserver des solutions interdites ou d'appliquer une propriété du logarithme à une quantité négative.

Les exercices vont des propriétés algébriques à l'étude de fonction et à une échelle logarithmique, avec un niveau de justification adapté à chaque situation.

Domaines et propriétés

Sécuriser les arguments des logarithmes avant de calculer.

Exercice 1 : Domaine d’une expression

Facile
On considère f(x)=ln⁡(x−1)+ln⁡(3−x)f(x)=\ln(x-1)+\ln(3-x).
  1. Déterminer l'ensemble de définition.
  2. Réunir les deux logarithmes en un seul.
  3. Résoudre f(x)=0f(x)=0.
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  1. Il faut x>1x\gt 1 et x<3x\lt 3, donc Df=]1,3[D_f=]1,3[.
  2. Sur ce domaine, f(x)=ln⁡((x−1)(3−x))f(x)=\ln((x-1)(3-x)).
  3. f(x)=0f(x)=0 équivaut à (x−1)(3−x)=1(x-1)(3-x)=1, soit −(x−2)2+1=1-(x-2)^2+1=1. Ainsi x=2x=2, qui appartient au domaine.

Exercice 2 : Équation avec filtrage

Moyen
Résoudre dans R\mathbb R l'équation ln⁡(x+2)−ln⁡(x)=ln⁡3\ln(x+2)-\ln(x)=\ln3.
  1. Établir d'abord le domaine.
  2. Résoudre l'équation puis contrôler la solution.
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  1. Il faut x+2>0x+2\gt 0 et x>0x\gt 0, donc x>0.
  2. ln⁡((x+2)/x)=ln⁡3\ln((x+2)/x)=\ln3 donne (x+2)/x=3(x+2)/x=3, donc x=1x=1. Cette valeur est admise, ainsi l'ensemble solution est {1}\{1\}.

Inéquations et variations

La croissance de ln permet de comparer des arguments positifs.

Exercice 3 : Inéquation logarithmique

Moyen
Résoudre ln⁡(2x−1)≤ln⁡(x+3)\ln(2x-1)\leq\ln(x+3).
  1. Déterminer le domaine commun.
  2. Utiliser la monotonie de ln.
  3. Donner l'ensemble solution.
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  1. 2x−1>02x-1\gt 0 et x+3>0x+3\gt 0 donnent x>1/2x\gt 1/2.
  2. Comme ln est strictement croissante, l'inéquation équivaut à 2x−1≤x+32x-1\leq x+3, soit x≤4x\leq4.
  3. En croisant avec le domaine, S=]1/2,4]S=]1/2,4].

Exercice 4 : Étude de x−ln⁡xx-\ln x

Moyen
Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, on pose g(x)=x−ln⁡xg(x)=x-\ln x.
  1. Étudier les variations de g.
  2. Déterminer son minimum.
  3. En déduire une inégalité valable pour tout x>0.
Indication
Le signe de g′(x)g'(x) se lit après réduction au même dénominateur.
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  1. g′(x)=1−1/x=(x−1)/xg'(x)=1-1/x=(x-1)/x. g décroît sur ]0,1]]0,1] puis croît sur [1,+∞[[1,+\infty[.
  2. Son minimum vaut g(1)=1g(1)=1.
  3. Ainsi x−ln⁡x≥1x-\ln x\geq1, soit ln⁡x≤x−1\ln x\leq x-1 pour tout x>0.

Limites et modèles logarithmiques

Interpréter une valeur logarithmique dans son unité réelle.

Exercice 5 : Croissance comparée

Difficile
On considère h(x)=ln⁡xxh(x)=\dfrac{\ln x}{x} sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
  1. Calculer les limites aux bornes du domaine.
  2. Étudier les variations de h.
  3. Déterminer, en utilisant la continuité et les variations, le nombre de solutions de ln⁡x=0,2x\ln x=0,2x.
Indication
La dernière équation équivaut à h(x)=0,2. Comparer 0,2 au maximum de h.
Voir le corrigé
  1. Quand x→0+x\to0^+, ln⁡x/x→−∞\ln x/x\to-\infty. Quand x→+∞x\to+\infty, ln⁡x/x→0\ln x/x\to0.
  2. h′(x)=(1−ln⁡x)/x2h'(x)=(1-\ln x)/x^2. h croît jusqu'à e puis décroît, avec maximum 1/e1/e.
  3. h est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[. Comme 0<0,2<1/e0\lt 0,2\lt 1/e, le TVI et la stricte monotonie montrent que la droite de niveau 0,2 coupe la courbe une fois sur ]1,e[]1,e[ et une fois sur ]e,+∞[]e,+\infty[. L'équation a deux solutions positives.

Exercice 6 : Niveau sonore

Moyen
Pour I>0I\gt 0 et I0>0I_0\gt 0, le niveau sonore est L=10log⁡10(I/I0)L=10\log_{10}(I/I_0), en décibels, avec log⁡10x=ln⁡x/ln⁡10\log_{10}x=\ln x/\ln10. On suppose que les intensités des deux sources considérées s'additionnent.
  1. De combien de décibels le niveau augmente-t-il si l'intensité est multipliée par 100 ?
  2. Quel facteur d'intensité correspond à une hausse de 15 dB ?
  3. Expliquer pourquoi deux sources identiques ne doublent pas le nombre de décibels.
Indication
Utiliser log⁡10(ab)=log⁡10a+log⁡10b\log_{10}(ab)=\log_{10}a+\log_{10}b.
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  1. La variation vaut 10log⁡10(100)=2010\log_{10}(100)=20 dB.
  2. Il faut 10log⁡10(k)=1510\log_{10}(k)=15, donc k=101,5=1010≈31,6k=10^{1,5}=10\sqrt{10}\approx31,6.
  3. Deux sources identiques doublent l'intensité, mais la variation est 10log⁡102≈3,010\log_{10}2\approx3,0 dB. L'échelle est logarithmique, pas proportionnelle.

Filtrer une équation et établir une inégalité

Le domaine intervient avant l'algèbre, tandis que la convexité d'une différence donne une propriété générale.

Exercice 7 : Produit caché dans une somme de logarithmes

Moyen
Résoudre sur les réels l'équation ln⁡x+ln⁡(x−2)=ln⁡3\ln x+\ln(x-2)=\ln3.
  1. Déterminer le domaine de l'équation.
  2. Transformer l'équation puis résoudre l'équation algébrique obtenue.
  3. Contrôler les solutions dans le domaine initial.
Indication
La propriété ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a+\ln b=\ln(ab) exige a et b strictement positifs.
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  1. Il faut x>0x\gt 0 et x−2>0x-2\gt 0, donc x>2x\gt 2.
  2. Sur ce domaine, l'équation équivaut à x(x−2)=3x(x-2)=3, soit x2−2x−3=0x^2-2x-3=0. Les racines sont 3 et -1.
  3. Seule la valeur 3 appartient au domaine. L'ensemble des solutions est {3}\{3\}.

Exercice 8 : L’inégalité fondamentale du logarithme

Difficile
On définit h(x)=x−1−ln⁡xh(x)=x-1-\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
  1. Étudier les variations de h.
  2. En déduire que ln⁡x≤x−1\ln x\leq x-1 pour tout x strictement positif.
  3. Déterminer le cas d'égalité et résoudre ln⁡x=x−1\ln x=x-1.
Indication
Le signe de h′(x)h'(x) change au point où h doit être comparée à zéro.
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  1. h′(x)=1−1/x=(x−1)/xh'(x)=1-1/x=(x-1)/x. Comme x est positif, h décroît sur ]0,1] puis croît sur [1,+∞[[1,+\infty[.
  2. Le minimum vaut h(1)=0h(1)=0. Ainsi h(x)≥0h(x)\geq0, donc ln⁡x≤x−1\ln x\leq x-1.
  3. L'égalité n'a lieu qu'au minimum, pour x=1x=1. L'équation possède donc l'unique solution 1.
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