Trigonométrie exercices corrigés : 16 exercices progressifs

La trigonométrie est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs dans les triangles. Cette collection d'exercices de trigonométrie corrigés couvre l'ensemble du programme du collège au lycée : calculs dans le triangle rectangle, cercle trigonométrique, formules trigonométriques, équations trigonométriques et identités remarquables. Chaque exercice propose une indication progressive et un corrigé détaillé pour faciliter votre apprentissage.

Trigonométrie dans le Triangle Rectangle

Exercice 1 : Calcul de longueurs avec cosinus et sinus

Facile

Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en A, on connaît l'angle ABC^=35°\widehat{ABC} = 35° et la longueur BC=12BC = 12 cm (l'hypoténuse).

  1. Calculer la longueur AB (le côté adjacent à l'angle de 35°).
  2. Calculer la longueur AC (le côté opposé à l'angle de 35°).
  3. Vérifier votre résultat en utilisant le théorème de Pythagore.
Indication
Rappelez-vous les définitions : cos⁡(θ)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} et sin⁡(θ)=opposeˊhypoteˊnuse\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}. Identifiez d'abord quel côté est adjacent et lequel est opposé par rapport à l'angle de 35°.
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Solution de la question 1 :

Le côté AB est adjacent à l'angle de 35°. On utilise le cosinus :

cos⁡(35°)=ABBC=AB12 \cos(35°) = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{12} AB=12×cos⁡(35°)≈12×0,819≈9,83 cm AB = 12 \times \cos(35°) \approx 12 \times 0{,}819 \approx 9{,}83 \text{ cm} Solution de la question 2 :

Le côté AC est opposé à l'angle de 35°. On utilise le sinus :

sin⁡(35°)=ACBC=AC12 \sin(35°) = \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{12} AC=12×sin⁡(35°)≈12×0,574≈6,88 cm AC = 12 \times \sin(35°) \approx 12 \times 0{,}574 \approx 6{,}88 \text{ cm} Solution de la question 3 :

Vérification par Pythagore : AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2

9,832+6,882≈96,63+47,33=143,96≈144=122 9{,}83^2 + 6{,}88^2 \approx 96{,}63 + 47{,}33 = 143{,}96 \approx 144 = 12^2

Le résultat est vérifié (aux arrondis près).

Exercice 2 : Calcul d’angle avec la tangente

Facile

Un observateur se trouve à 50 mètres d'un immeuble. Il lève les yeux et voit le sommet de l'immeuble. La hauteur de l'immeuble est de 30 mètres.

  1. Faire un schéma de la situation.
  2. Calculer l'angle sous lequel l'observateur voit le sommet de l'immeuble (arrondir au degré près).
Indication
La tangente relie l'angle au rapport opposeˊadjacent\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}. Pour trouver l'angle, il faut utiliser la fonction réciproque : arctan⁡\arctan ou tan⁡−1\tan^{-1}.
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Solution de la question 1 :

Le triangle rectangle a pour côtés : côté opposé = 30 m (hauteur), côté adjacent = 50 m (distance), et l'angle cherché est celui entre le sol et la ligne de visée.

Solution de la question 2 :

On utilise la tangente :

tan⁡(θ)=3050=0,6 \tan(\theta) = \frac{30}{50} = 0{,}6 θ=arctan⁡(0,6)≈31° \theta = \arctan(0{,}6) \approx 31°

L'observateur voit le sommet sous un angle d'environ 31 degrés.

Exercice 3 : Résolution complète d’un triangle rectangle

Moyen

Dans un triangle DEF rectangle en E, on connaît : DE=7DE = 7 cm et EDF^=42°\widehat{EDF} = 42°.

  1. Calculer la longueur EF.
  2. Calculer la longueur DF (l'hypoténuse).
  3. Déterminer la mesure de l'angle EFD^\widehat{EFD}.
  4. Calculer l'aire du triangle DEF.
Indication
Positionnez-vous par rapport à l'angle de 42°. DE est-il adjacent ou opposé ? Utilisez les bonnes formules trigonométriques. N'oubliez pas que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
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Solution de la question 1 :

Par rapport à l'angle de 42°, DE est adjacent et EF est opposé :

tan⁡(42°)=EFDE=EF7 \tan(42°) = \frac{EF}{DE} = \frac{EF}{7} EF=7×tan⁡(42°)≈7×0,900≈6,30 cm EF = 7 \times \tan(42°) \approx 7 \times 0{,}900 \approx 6{,}30 \text{ cm} Solution de la question 2 : cos⁡(42°)=DEDF=7DF \cos(42°) = \frac{DE}{DF} = \frac{7}{DF} DF=7cos⁡(42°)≈70,743≈9,42 cm DF = \frac{7}{\cos(42°)} \approx \frac{7}{0{,}743} \approx 9{,}42 \text{ cm} Solution de la question 3 :

Dans un triangle, la somme des angles vaut 180° :

EFD^=180°−90°−42°=48° \widehat{EFD} = 180° - 90° - 42° = 48° Solution de la question 4 : Aire=DE×EF2=7×6,302≈22,05 cm2 \text{Aire} = \frac{DE \times EF}{2} = \frac{7 \times 6{,}30}{2} \approx 22{,}05 \text{ cm}^2

Cercle Trigonométrique et Angles Orientés

Exercice 4 : Placement de points sur le cercle trigonométrique

Facile

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, placer les points M correspondant aux angles suivants :

  1. θ1=π4\theta_1 = \frac{\pi}{4}
  2. θ2=3π4\theta_2 = \frac{3\pi}{4}
  3. θ3=5π6\theta_3 = \frac{5\pi}{6}
  4. θ4=−π3\theta_4 = -\frac{\pi}{3}

Pour chaque point, donner les coordonnées (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) en valeurs exactes.

Indication
Rappelez-vous les valeurs remarquables : π4=45°\frac{\pi}{4} = 45°, π3=60°\frac{\pi}{3} = 60°, π6=30°\frac{\pi}{6} = 30°. Les angles négatifs se mesurent dans le sens horaire. Utilisez les propriétés de symétrie du cercle.
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Solution de la question 1 : M1(22,22) M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) Solution de la question 2 :

135° dans le 2e quadrant :

M2(−22,22) M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) Solution de la question 3 :

150° dans le 2e quadrant :

M3(−32,12) M_3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) Solution de la question 4 :

-60° (sens horaire, 4e quadrant) :

M4(12,−32) M_4\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Exercice 5 : Angles associés et symétries

Moyen

Sachant que cos⁡(π7)=a\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = a et sin⁡(π7)=b\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = b, exprimer en fonction de aa et bb :

  1. cos⁡(π−π7)\cos\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right) et sin⁡(π−π7)\sin\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right)
  2. cos⁡(π+π7)\cos\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) et sin⁡(π+π7)\sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right)
  3. cos⁡(−π7)\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) et sin⁡(−π7)\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)
  4. cos⁡(π2−π7)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) et sin⁡(π2−π7)\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right)
Indication
Utilisez les formules des angles associés : pour π−θ\pi - \theta, pour π+θ\pi + \theta, pour −θ-\theta, et pour π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta. Pensez aux symétries du cercle trigonométrique.
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Solution de la question 1 :

Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées :

cos⁡(π−π7)=−cos⁡(π7)=−a \cos\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = -a sin⁡(π−π7)=sin⁡(π7)=b \sin\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = b Solution de la question 2 :

Symétrie par rapport à l'origine :

cos⁡(π+π7)=−cos⁡(π7)=−a \cos\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = -a sin⁡(π+π7)=−sin⁡(π7)=−b \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = -b Solution de la question 3 :

Symétrie par rapport à l'axe des abscisses :

cos⁡(−π7)=cos⁡(π7)=a \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = a sin⁡(−π7)=−sin⁡(π7)=−b \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = -b Solution de la question 4 :

Angles complémentaires :

cos⁡(π2−π7)=sin⁡(π7)=b \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = b sin⁡(π2−π7)=cos⁡(π7)=a \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = a

Exercice 6 : Équations trigonométriques simples dans [0, 2π]

Moyen

Résoudre dans l'intervalle [0,2π][0, 2\pi] les équations suivantes :

  1. cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}
  2. sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. cos⁡(x)=−22\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. sin⁡(x)=1\sin(x) = 1
Indication
Identifiez d'abord l'angle de référence (valeur remarquable), puis utilisez la symétrie du cercle pour trouver toutes les solutions dans l'intervalle demandé. Le cosinus donne deux solutions (sauf cas particuliers), le sinus aussi.
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Solution de la question 1 :

L'angle de référence est π3\frac{\pi}{3} (car cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}). Le cosinus est positif dans les quadrants 1 et 4 :

x=π3oux=2π−π3=5π3 x = \frac{\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} Solution de la question 2 :

L'angle de référence est π3\frac{\pi}{3} (car sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}). Le sinus est négatif dans les quadrants 3 et 4 :

x=π+π3=4π3oux=2π−π3=5π3 x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} Solution de la question 3 :

L'angle de référence est π4\frac{\pi}{4}. Le cosinus est négatif dans les quadrants 2 et 3 :

x=π−π4=3π4oux=π+π4=5π4 x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \quad \text{ou} \quad x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} Solution de la question 4 :

Le sinus vaut 1 uniquement pour :

x=π2 x = \frac{\pi}{2}

Formules Trigonométriques : Addition et Duplication

Exercice 7 : Calcul avec les formules d’addition

Facile

En utilisant les formules d'addition et les valeurs remarquables, calculer les valeurs exactes de :

  1. cos⁡(5π12)\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) en écrivant 5π12=π4+π6\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}
  2. sin⁡(7π12)\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) en écrivant 7π12=π3+π4\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}
Indication
Formules d'addition : cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b et sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. Utilisez les valeurs remarquables de 30°, 45° et 60°.
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Solution de la question 1 : cos⁡(5π12)=cos⁡(π4+π6) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) =cos⁡π4cos⁡π6−sin⁡π4sin⁡π6 = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} =22×32−22×12 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} =64−24=6−24 = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} Solution de la question 2 : sin⁡(7π12)=sin⁡(π3+π4) \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) =sin⁡π3cos⁡π4+cos⁡π3sin⁡π4 = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} =32×22+12×22 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} =64+24=6+24 = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Exercice 8 : Formules de duplication

Moyen

On donne cos⁡(θ)=35\cos(\theta) = \frac{3}{5} avec θ∈[0,π2]\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

  1. Calculer sin⁡(θ)\sin(\theta).
  2. En déduire cos⁡(2θ)\cos(2\theta) et sin⁡(2θ)\sin(2\theta).
  3. Calculer tan⁡(2θ)\tan(2\theta).
Indication
Utilisez d'abord l'identité fondamentale cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. Puis appliquez les formules de duplication : cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta et sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta.
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Solution de la question 1 : sin⁡2(θ)=1−cos⁡2(θ)=1−(35)2=1−925=1625 \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Comme θ∈[0,π2]\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], sin⁡(θ)>0\sin(\theta) > 0 :

sin⁡(θ)=45 \sin(\theta) = \frac{4}{5} Solution de la question 2 : cos⁡(2θ)=cos⁡2(θ)−sin⁡2(θ)=(35)2−(45)2=925−1625=−725 \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25} sin⁡(2θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)=2×45×35=2425 \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25} Solution de la question 3 : tan⁡(2θ)=sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=2425−725=−247 \tan(2\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} = \frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}

Exercice 9 : Linéarisation d’expressions trigonométriques

Difficile

Linéariser les expressions suivantes (c'est-à-dire exprimer sans puissance) :

  1. cos⁡2(x)\cos^2(x)
  2. sin⁡2(x)\sin^2(x)
  3. cos⁡3(x)\cos^3(x)
  4. sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(x)\cos(x)
Indication
Utilisez les formules de duplication à l'envers : cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 permet d'isoler cos⁡2(x)\cos^2(x). Pour cos⁡3(x)\cos^3(x), écrivez-le comme cos⁡(x)×cos⁡2(x)\cos(x) \times \cos^2(x) puis utilisez la formule déjà obtenue.
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Solution de la question 1 :

De cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1, on tire :

cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2 \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} Solution de la question 2 :

De cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x), on tire :

sin⁡2(x)=1−cos⁡(2x)2 \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} Solution de la question 3 : cos⁡3(x)=cos⁡(x)×cos⁡2(x)=cos⁡(x)×1+cos⁡(2x)2 \cos^3(x) = \cos(x) \times \cos^2(x) = \cos(x) \times \frac{1 + \cos(2x)}{2} =cos⁡(x)2+cos⁡(x)cos⁡(2x)2 = \frac{\cos(x)}{2} + \frac{\cos(x)\cos(2x)}{2}

En utilisant la formule du produit cos⁡(a)cos⁡(b)=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)]\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)] :

cos⁡(x)cos⁡(2x)=12[cos⁡(−x)+cos⁡(3x)]=12[cos⁡(x)+cos⁡(3x)] \cos(x)\cos(2x) = \frac{1}{2}[\cos(-x) + \cos(3x)] = \frac{1}{2}[\cos(x) + \cos(3x)]

Donc :

cos⁡3(x)=cos⁡(x)2+14[cos⁡(x)+cos⁡(3x)]=3cos⁡(x)+cos⁡(3x)4 \cos^3(x) = \frac{\cos(x)}{2} + \frac{1}{4}[\cos(x) + \cos(3x)] = \frac{3\cos(x) + \cos(3x)}{4} Solution de la question 4 :

De sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) :

sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(2x)2 \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}

Équations Trigonométriques Avancées

Exercice 10 : Équation avec changement de variable

Moyen

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 2cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1=02\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0

  1. Effectuer le changement de variable t=cos⁡(x)t = \cos(x).
  2. Résoudre l'équation du second degré obtenue.
  3. En déduire les solutions de l'équation initiale dans [0,2π][0, 2\pi].
Indication
Après le changement de variable, vous obtenez une équation du type 2t2−3t+1=02t^2 - 3t + 1 = 0. Résolvez-la, puis revenez à xx en résolvant cos⁡(x)=t1\cos(x) = t_1 et cos⁡(x)=t2\cos(x) = t_2. N'oubliez pas que tt doit vérifier −1≤t≤1-1 \leq t \leq 1.
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Solution de la question 1 :

Avec t=cos⁡(x)t = \cos(x), l'équation devient :

2t2−3t+1=0 2t^2 - 3t + 1 = 0 Solution de la question 2 :

Discriminant : Δ=9−8=1\Delta = 9 - 8 = 1

t1=3+14=1ett2=3−14=12 t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} Solution de la question 3 :

Pour cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 :

x=0oux=2π x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2\pi

Pour cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} :

x=π3oux=5π3 x = \frac{\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{3}

L'ensemble des solutions dans [0,2π][0, 2\pi] est : {0,π3,5π3,2π}\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\}

Exercice 11 : Équation avec formule de duplication

Moyen

Résoudre dans [0,2π][0, 2\pi] l'équation : cos⁡(2x)=cos⁡(x)\cos(2x) = \cos(x)

  1. Transformer l'équation en utilisant la formule cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1.
  2. Résoudre l'équation obtenue.
  3. Vérifier les solutions trouvées.
Indication
Après transformation, vous obtiendrez une équation du second degré en cos⁡(x)\cos(x). Factorisez-la pour trouver les valeurs de cos⁡(x)\cos(x), puis résolvez les équations trigonométriques simples.
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Solution de la question 1 : 2cos⁡2(x)−1=cos⁡(x) 2\cos^2(x) - 1 = \cos(x) 2cos⁡2(x)−cos⁡(x)−1=0 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0 Solution de la question 2 :

Posons t=cos⁡(x)t = \cos(x) : 2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0

Factorisation : (2t+1)(t−1)=0(2t + 1)(t - 1) = 0

t=−12out=1 t = -\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad t = 1

Pour cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 : x=0x = 0 ou x=2πx = 2\pi

Pour cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} : x=2π3x = \frac{2\pi}{3} ou x=4π3x = \frac{4\pi}{3}

Solution de la question 3 :

Vérifions pour x=2π3x = \frac{2\pi}{3} :

cos⁡(4π3)=−12=cos⁡(2π3)✓ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \quad \checkmark

Solutions : {0,2π3,4π3,2π}\left\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi\right\}

Exercice 12 : Équation avec sinus et cosinus

Difficile

Résoudre dans [0,2π][0, 2\pi] l'équation : sin⁡(x)+cos⁡(x)=1\sin(x) + \cos(x) = 1

  1. Élever l'équation au carré et utiliser l'identité fondamentale.
  2. Résoudre l'équation obtenue.
  3. Vérifier les solutions car l'élévation au carré peut introduire des solutions parasites.
Indication
En élevant au carré : (sin⁡x+cos⁡x)2=1(\sin x + \cos x)^2 = 1. Développez, utilisez sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 et 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x). Vous obtiendrez une équation en sin⁡(2x)\sin(2x).
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Solution de la question 1 : (sin⁡x+cos⁡x)2=1 (\sin x + \cos x)^2 = 1 sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 1+2sin⁡xcos⁡x=1 1 + 2\sin x \cos x = 1 2sin⁡xcos⁡x=0 2\sin x \cos x = 0 sin⁡(2x)=0 \sin(2x) = 0 Solution de la question 2 : 2x=0,π,2π,3π,4π 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi x=0,π2,π,3π2,2π x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi Solution de la question 3 :

Vérifions chaque valeur dans l'équation initiale :

  • x=0x = 0 : sin⁡(0)+cos⁡(0)=0+1=1\sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 ✓
  • x=π2x = \frac{\pi}{2} : sin⁡π2+cos⁡π2=1+0=1\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 ✓
  • x=πx = \pi : sin⁡(π)+cos⁡(π)=0−1=−1\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1 ✗
  • x=3π2x = \frac{3\pi}{2} : sin⁡3π2+cos⁡3π2=−1+0=−1\sin\frac{3\pi}{2} + \cos\frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1 ✗
  • x=2πx = 2\pi : sin⁡(2π)+cos⁡(2π)=0+1=1\sin(2\pi) + \cos(2\pi) = 0 + 1 = 1 ✓

Solutions retenues : {0,π2,2π}\left\{0, \frac{\pi}{2}, 2\pi\right\}

Identités Trigonométriques et Démonstrations

Exercice 13 : Vérification d’identités trigonométriques

Facile

Démontrer les identités suivantes pour tout réel xx (sauf valeurs interdites) :

  1. tan⁡2(x)+1=1cos⁡2(x)\tan^2(x) + 1 = \frac{1}{\cos^2(x)}
  2. sin⁡(x)1+cos⁡(x)=1−cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}
Indication
Pour la première, partez de tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} et utilisez sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1. Pour la seconde, multipliez numérateur et dénominateur par 1−cos⁡(x)1 - \cos(x) ou utilisez une identité remarquable.
Voir le corrigé
Solution de la question 1 : tan⁡2(x)+1=sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)=1cos⁡2(x) \tan^2(x) + 1 = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + 1 = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} Solution de la question 2 :

Multiplions le membre de gauche par 1−cos⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{1 - \cos(x)}{1 - \cos(x)} :

sin⁡(x)1+cos⁡(x)×1−cos⁡(x)1−cos⁡(x)=sin⁡(x)(1−cos⁡(x))1−cos⁡2(x) \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \times \frac{1 - \cos(x)}{1 - \cos(x)} = \frac{\sin(x)(1 - \cos(x))}{1 - \cos^2(x)} =sin⁡(x)(1−cos⁡(x))sin⁡2(x)=1−cos⁡(x)sin⁡(x) = \frac{\sin(x)(1 - \cos(x))}{\sin^2(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}

Exercice 14 : Démonstration avec transformation de produit en somme

Difficile

Démontrer l'identité suivante :

sin⁡(a)+sin⁡(b)=2sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2) \sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)
  1. Poser p=a+b2p = \frac{a+b}{2} et q=a−b2q = \frac{a-b}{2}.
  2. Exprimer aa et bb en fonction de pp et qq.
  3. Utiliser les formules d'addition pour conclure.
Indication
Une fois aa et bb exprimés en fonction de pp et qq, calculez sin⁡(a)+sin⁡(b)\sin(a) + \sin(b) en développant avec les formules sin⁡(p+q)\sin(p+q) et sin⁡(p−q)\sin(p-q).
Voir le corrigé
Solution de la question 1 et 2 :

De p=a+b2p = \frac{a+b}{2} et q=a−b2q = \frac{a-b}{2}, on tire :

a=p+qetb=p−q a = p + q \quad \text{et} \quad b = p - q Solution de la question 3 : sin⁡(a)+sin⁡(b)=sin⁡(p+q)+sin⁡(p−q) \sin(a) + \sin(b) = \sin(p+q) + \sin(p-q) =(sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q)+(sin⁡pcos⁡q−cos⁡psin⁡q) = (\sin p \cos q + \cos p \sin q) + (\sin p \cos q - \cos p \sin q) =2sin⁡pcos⁡q = 2\sin p \cos q =2sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)

Applications de la Trigonométrie

Exercice 15 : Calcul de distance avec la trigonométrie

Moyen

Un marin observe un phare depuis son bateau. L'angle d'élévation du sommet du phare est de 12°. Après avoir navigué 200 mètres en ligne droite vers le phare, l'angle d'élévation est maintenant de 20°.

  1. Faire un schéma de la situation avec les deux positions du bateau.
  2. Calculer la hauteur du phare (arrondir au mètre près).
  3. Calculer la distance initiale entre le bateau et le pied du phare.
Indication
Posez hh la hauteur du phare, d1d_1 la distance initiale et d2=d1−200d_2 = d_1 - 200 la distance finale. Utilisez tan⁡(12°)=hd1\tan(12°) = \frac{h}{d_1} et tan⁡(20°)=hd2\tan(20°) = \frac{h}{d_2} pour obtenir un système d'équations.
Voir le corrigé
Solution de la question 1 :

Le schéma montre un triangle rectangle avec le phare vertical, et deux positions du bateau alignées avec le pied du phare.

Solution de la question 2 :

Système d'équations :

tan⁡(12°)=hd1⇒d1=htan⁡(12°) \tan(12°) = \frac{h}{d_1} \Rightarrow d_1 = \frac{h}{\tan(12°)} tan⁡(20°)=hd1−200⇒d1−200=htan⁡(20°) \tan(20°) = \frac{h}{d_1 - 200} \Rightarrow d_1 - 200 = \frac{h}{\tan(20°)}

Par soustraction :

200=htan⁡(12°)−htan⁡(20°)=h(1tan⁡(12°)−1tan⁡(20°)) 200 = \frac{h}{\tan(12°)} - \frac{h}{\tan(20°)} = h\left(\frac{1}{\tan(12°)} - \frac{1}{\tan(20°)}\right) h=2001tan⁡(12°)−1tan⁡(20°)=20010,213−10,364 h = \frac{200}{\frac{1}{\tan(12°)} - \frac{1}{\tan(20°)}} = \frac{200}{\frac{1}{0{,}213} - \frac{1}{0{,}364}} h=2004,695−2,747=2001,948≈103 m h = \frac{200}{4{,}695 - 2{,}747} = \frac{200}{1{,}948} \approx 103 \text{ m} Solution de la question 3 : d1=103tan⁡(12°)≈1030,213≈484 m d_1 = \frac{103}{\tan(12°)} \approx \frac{103}{0{,}213} \approx 484 \text{ m}

Exercice 16 : Loi des sinus et triangle quelconque

Difficile

Dans un triangle ABC (non rectangle), on connaît : AB=7AB = 7 cm, AC=9AC = 9 cm et BAC^=65°\widehat{BAC} = 65°.

  1. Calculer l'aire du triangle ABC.
  2. Utiliser la loi des cosinus pour calculer la longueur BC.
  3. Utiliser la loi des sinus pour calculer l'angle ABC^\widehat{ABC}.
  4. En déduire la mesure de l'angle ACB^\widehat{ACB}.
Indication
Aire : 12×AB×AC×sin⁡(BAC^)\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC}). Loi des cosinus : BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}). Loi des sinus : BCsin⁡(BAC^)=ACsin⁡(ABC^)\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})}.
Voir le corrigé
Solution de la question 1 : Aire=12×7×9×sin⁡(65°)≈12×7×9×0,906≈28,54 cm2 \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times \sin(65°) \approx \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times 0{,}906 \approx 28{,}54 \text{ cm}^2 Solution de la question 2 : BC2=72+92−2×7×9×cos⁡(65°) BC^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \times 7 \times 9 \times \cos(65°) BC2=49+81−126×0,423=130−53,3=76,7 BC^2 = 49 + 81 - 126 \times 0{,}423 = 130 - 53{,}3 = 76{,}7 BC≈8,76 cm BC \approx 8{,}76 \text{ cm} Solution de la question 3 : 8,76sin⁡(65°)=9sin⁡(ABC^) \frac{8{,}76}{\sin(65°)} = \frac{9}{\sin(\widehat{ABC})} sin⁡(ABC^)=9×sin⁡(65°)8,76=9×0,9068,76≈0,930 \sin(\widehat{ABC}) = \frac{9 \times \sin(65°)}{8{,}76} = \frac{9 \times 0{,}906}{8{,}76} \approx 0{,}930 ABC^≈68,5° \widehat{ABC} \approx 68{,}5° Solution de la question 4 : ACB^=180°−65°−68,5°=46,5° \widehat{ACB} = 180° - 65° - 68{,}5° = 46{,}5°
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