Trigonométrie et cercle Première : 6 exercices corrigés

Les conversions entre degrés et radians servent de point de départ aux symétries du cercle. Les valeurs exactes, les angles associés et une équation trigonométrique sont ensuite reliés à une construction plutôt qu'appris comme une liste isolée.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Trigonométrie et cercle. Les formules et angles associés sont regroupés dans le cours de trigonométrie.

Bases de Trigonométrie et cercle : Conversions radians-degrés

Exercice 1 : Conversions radians-degrés

Facile

Convertir 150∘150^\circ, −45∘-45^\circ, 5π/65\pi/6 et −3π/4-3\pi/4.

  1. Donner les deux mesures en radians.
  2. Donner les deux mesures en degrés.
Indication
Utiliser 180∘=π180^\circ=\pi radians.
Voir le corrigé
  1. 150∘=5π6150^\circ=\frac{5\pi}{6} et −45∘=−π4-45^\circ=-\frac\pi4.
  2. 5π6=150∘\frac{5\pi}{6}=150^\circ et −3π4=−135∘-\frac{3\pi}{4}=-135^\circ.

Exercice 2 : Valeurs et symétries

Moyen

Déterminer exactement cos⁡(7π/6)\cos(7\pi/6), sin⁡(7π/6)\sin(7\pi/6), cos⁡(−π/3)\cos(-\pi/3) et sin⁡(−π/3)\sin(-\pi/3).

  1. Repérer les angles associés.
  2. Utiliser les symétries.
  3. Vérifier avec les signes des quadrants.
Indication
Le cosinus est pair et le sinus impair.
Voir le corrigé
  1. 7π/6=π+π/67\pi/6=\pi+\pi/6 et −π/3-\pi/3 est l'opposé de π/3\pi/3.
  2. On obtient cos⁡(7π/6)=−32\cos(7\pi/6)=-\frac{\sqrt3}{2}, sin⁡(7π/6)=−12\sin(7\pi/6)=-\frac12, cos⁡(−π/3)=12\cos(-\pi/3)=\frac12 et sin⁡(−π/3)=−32\sin(-\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}.
  3. À 7π/67\pi/6, le point est dans le troisième quadrant : les deux coordonnées sont négatives. À −π/3-\pi/3, le cosinus est positif et le sinus négatif.

Choisir une méthode : Déterminer cos⁡(5π/6)\cos(5\pi/6) et sin⁡(5π/6)\sin(5\pi/6)

Exercice 3 : Déterminer cos⁡(5π/6)\cos(5\pi/6) et sin⁡(5π/6)\sin(5\pi/6)

Moyen

L'angle 5π/65\pi/6 se trouve dans le deuxième quadrant et s'écrit π−π/6\pi-\pi/6.

  1. Identifier l'angle de référence de 5π/65\pi/6.
  2. Déterminer les signes du sinus et du cosinus dans ce quadrant.
  3. Calculer les deux valeurs exactes.
  4. Vérifier l'identité cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Indication
Réduire la mesure modulo 2π2\pi pour choisir un représentant simple.
Voir le corrigé
  1. L'angle de référence est π/6\pi/6.
  2. Dans le deuxième quadrant, le cosinus est négatif et le sinus positif.
  3. cos⁡(π6)=32\cos\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2} et sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12. Donc cos⁡(5π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2} et sin⁡(5π6)=12\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12.
  4. La somme des carrés vaut 34+14=1\frac34+\frac14=1.

Exercice 4 : Équation sur le cercle

Difficile

Résoudre sur [0;2π[[0;2\pi[ l'équation sin⁡x=3/2\sin x=\sqrt3/2, puis cos⁡x=−1/2\cos x=-1/2.

  1. Placer les niveaux sur le cercle.
  2. Donner les solutions de la première équation.
  3. Donner celles de la seconde.
  4. Vérifier les quadrants.
Indication
Chaque coordonnée donnée apparaît généralement en deux points du cercle.
Voir le corrigé
  1. Le niveau 3/2\sqrt3/2 pour le sinus correspond aux angles de référence π/3\pi/3 dans les premier et deuxième quadrants. Le niveau −1/2-1/2 pour le cosinus correspond aux deuxième et troisième quadrants.
  2. Sur [0;2π[[0;2\pi[, sin⁡x=3/2\sin x=\sqrt3/2 pour x=π/3x=\pi/3 ou x=2π/3x=2\pi/3.
  3. Sur le même intervalle, cos⁡x=−1/2\cos x=-1/2 pour x=2π/3x=2\pi/3 ou x=4π/3x=4\pi/3.
  4. Les deux solutions du sinus sont au-dessus de l'axe horizontal ; celles du cosinus sont à gauche de l'axe vertical. Les signes concordent avec les quadrants.

Approfondir Trigonométrie et cercle : Calculer les valeurs de π/4\pi/4 par un triangle rectangle

Exercice 5 : Angle associé et valeurs exactes

Moyen

Déterminer le cosinus et le sinus de −5π6-\frac{5\pi}{6}.

  1. Choisir un angle de référence.
  2. Repérer le quadrant ou utiliser les parités.
  3. Donner les deux valeurs exactes.
Indication
Utiliser −5π6≡7π6(mod2π)-\frac{5\pi}{6}\equiv\frac{7\pi}{6}\pmod{2\pi}, ou les parités de cosinus et sinus.
Voir le corrigé
  1. L'angle de référence est π6\frac\pi6.
  2. −5π6-\frac{5\pi}{6} est coterminal avec 7π6\frac{7\pi}{6}, dans le troisième quadrant : cosinus et sinus sont négatifs.
  3. cos⁡(−5π6)=−32\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2} et sin⁡(−5π6)=−12\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac12.

Exercice 6 : Calculer les valeurs de π/4\pi/4 par un triangle rectangle

Difficile

Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés de l'angle droit mesurent 1. On veut retrouver les valeurs exactes du sinus et du cosinus de π/4\pi/4.

  1. Calculer la longueur de l'hypoténuse.
  2. Écrire sin⁡(π/4)\sin(\pi/4) et cos⁡(π/4)\cos(\pi/4) sous forme de quotients.
  3. Rationaliser les deux valeurs.
Indication
Les deux angles aigus du triangle isocèle mesurent 45 degrés.
Voir le corrigé
  1. Pythagore donne une hypoténuse de longueur 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.
  2. Pour l'un des angles aigus, le côté opposé et le côté adjacent mesurent tous deux 1. Ainsi sin⁡(π/4)=cos⁡(π/4)=1/2\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=1/\sqrt2.
  3. En multipliant numérateur et dénominateur par 2\sqrt2, on obtient sin⁡(π/4)=cos⁡(π/4)=22\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}.
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