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Trigonométrie Première : 13 exercices corrigés

Niveau
Première
Type
Exercices corrigés
Exercices
13

Treize exercices de trigonométrie de Première spécialité, classés du plus simple au plus exigeant et tous corrigés pas à pas : radians, cercle trigonométrique, valeurs exactes, angles associés, équations cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos a et sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin a, parité et périodicité des fonctions cosinus et sinus, méthode d'Archimède en Python. Six questions flash servent d'échauffement, et un problème type bac conclut la série.

Le cours correspondant, avec les démonstrations des valeurs de π4\frac{\pi}{4} et π3\frac{\pi}{3}, est dans Trigonométrie Première : cercle, radians, sinus et cosinus. Pour la trigonométrie du triangle rectangle et les formules d'addition, voyez la série de 16 exercices de trigonométrie progressifs.

Sommaire6 parties

Questions flash : 6 QCM de trigonométrie

Une seule bonne réponse par question, sans calculatrice. Ces réflexes servent dans tous les exercices qui suivent.

Question 1 : Radians en degrés

QCM
Un angle de 3π4\frac{3\pi}{4} radians mesure :
  1. 120∘120^\circ
  2. 135∘135^\circ
  3. 145∘145^\circ
  4. 270∘270^\circ
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Réponse B. π4\frac{\pi}{4} correspond à 45∘45^\circ, donc 3π4\frac{3\pi}{4} à 3×45=135∘3\times45=135^\circ. La réponse D vient d'une confusion avec 3π2\frac{3\pi}{2}.

Question 2 : Une valeur exacte

QCM
cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} est égal à :
  1. 12\frac12
  2. −32-\frac{\sqrt3}{2}
  3. −12-\frac12
  4. 32\frac{\sqrt3}{2}
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Réponse C. 2π3=π−π3\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}, donc cos⁡2π3=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12. Le point est à gauche de l'axe des ordonnées : le cosinus est bien négatif.

Question 3 : Point image sur le cercle

QCM
Sur le cercle trigonométrique, le point image du réel −π2-\frac{\pi}{2} a pour coordonnées :
  1. (0 ;1)(0\,;1)
  2. (−1 ;0)(-1\,;0)
  3. (0 ;−1)(0\,;-1)
  4. (1 ;0)(1\,;0)
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Réponse C. On part de I(1 ;0)I(1\,;0) et on parcourt un quart de tour dans le sens indirect : on arrive en bas du cercle. En effet cos⁡(−π2)=0\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 et sin⁡(−π2)=−1\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.

Question 4 : Angle associé

QCM
Pour tout réel xx, sin⁡(π+x)\sin(\pi+x) est égal à :
  1. sin⁡x\sin x
  2. −sin⁡x-\sin x
  3. cos⁡x\cos x
  4. −cos⁡x-\cos x
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Réponse B. Les points de xx et de π+x\pi+x sont symétriques par rapport à OO : les deux coordonnées changent de signe. Test avec x=π2x=\frac{\pi}{2} : sin⁡3π2=−1=−sin⁡π2\sin\frac{3\pi}{2}=-1=-\sin\frac{\pi}{2}.

Question 5 : Symétrie de la courbe du cosinus

QCM
La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport :
  1. à l'origine du repère
  2. à l'axe des ordonnées
  3. à l'axe des abscisses
  4. à la droite d'équation y=xy=x
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Réponse B. Pour tout xx, cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x : la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La réponse A décrit la courbe du sinus, fonction impaire.

Question 6 : Nombre de solutions

QCM
Sur [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[}, l'équation cos⁡x=0,8\cos x=0{,}8 admet :
  1. aucune solution
  2. une solution
  3. deux solutions
  4. quatre solutions
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Réponse C. Comme −1<0,8<1-1\lt0{,}8\lt1, la droite verticale d'abscisse 0,80{,}8 coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Chacun correspond à un seul réel de [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[}.

Niveau 1 : radians, cercle et valeurs exactes

Exercice 1 : Conversions et longueur d’arc

Facile
  1. Convertir en radians : 72∘72^\circ, 210∘210^\circ, −135∘-135^\circ.
  2. Convertir en degrés : 7π10\frac{7\pi}{10} rad et 11π6\frac{11\pi}{6} rad.
  3. Une roue de vélo a un rayon de 35 cm. Elle tourne d'un angle de 3π2\frac{3\pi}{2} radians. Quelle distance parcourt un point de la jante ?
  4. De quel angle, en radians, la roue doit-elle tourner pour qu'un point de la jante parcoure 1 m ?
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  1. On multiplie par π180\frac{\pi}{180} et on simplifie : 72×π180=2π572\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{5} ; 210×π180=7π6210\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6} ; −135×π180=−3π4-135\times\frac{\pi}{180}=-\frac{3\pi}{4}.
  2. On multiplie par 180π\frac{180}{\pi} : 7π10×180π=7×18=126∘\frac{7\pi}{10}\times\frac{180}{\pi}=7\times18=126^\circ et 11π6×180π=11×30=330∘\frac{11\pi}{6}\times\frac{180}{\pi}=11\times30=330^\circ.
  3. Sur un cercle de rayon rr, un angle θ\theta en radians intercepte un arc de longueur rθr\theta. Ici ℓ=35×3π2=52,5π≈164,9\ell=35\times\frac{3\pi}{2}=52{,}5\pi\approx164{,}9 cm, soit environ 1,65 m.
  4. On résout 35 θ=10035\,\theta=100 (en cm) : θ=10035=207≈2,86\theta=\frac{100}{35}=\frac{20}{7}\approx2{,}86 rad, un peu moins d'un demi-tour (π≈3,14\pi\approx3{,}14).

Exercice 2 : Placer des réels sur le cercle

Facile
Pour chaque réel, donner la mesure principale (dans ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi]) et le quart de cercle où se trouve son point image.
  1. 17π4\frac{17\pi}{4}
  2. 31π6\frac{31\pi}{6}
  3. −9π4-\frac{9\pi}{4}
  4. 2026π3\frac{2026\pi}{3}
Indication
Écrire la fraction comme un multiple de 2π2\pi plus un reste : par exemple 17π4=16π4+π4\frac{17\pi}{4}=\frac{16\pi}{4}+\frac{\pi}{4}. Pour 2026, diviser d'abord par 6.
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  1. 17π4=4π+π4=2×2π+π4\frac{17\pi}{4}=4\pi+\frac{\pi}{4}=2\times2\pi+\frac{\pi}{4}. Mesure principale π4\frac{\pi}{4}, en haut à droite.
  2. 31π6=24π6+7π6=4π+7π6\frac{31\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}=4\pi+\frac{7\pi}{6}. Or 7π6>π\frac{7\pi}{6}\gt\pi, donc on retire encore 2π2\pi : 7π6−2π=−5π6\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}. Mesure principale −5π6-\frac{5\pi}{6}, en bas à gauche.
  3. −9π4=−2π−π4-\frac{9\pi}{4}=-2\pi-\frac{\pi}{4}. Mesure principale −π4-\frac{\pi}{4}, en bas à droite.
  4. 2026=6×337+42026=6\times337+4, donc 2026π3=6×337 π3+4π3=337×2π+4π3\frac{2026\pi}{3}=\frac{6\times337\,\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}=337\times2\pi+\frac{4\pi}{3}. Puis 4π3−2π=−2π3\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}. Mesure principale −2π3-\frac{2\pi}{3}, en bas à gauche.

Exercice 3 : Valeurs exactes par les angles associés

Facile
Donner la valeur exacte de :
  1. cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} et sin⁡2π3\sin\frac{2\pi}{3}
  2. sin⁡(−5π4)\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)
  3. cos⁡11π6\cos\frac{11\pi}{6}
  4. sin⁡7π2\sin\frac{7\pi}{2}
  5. cos⁡(−7π3)\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right)
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  1. 2π3=π−π3\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3} : cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 et sin⁡2π3=sin⁡π3=32\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.
  2. Le sinus est impair : sin⁡(−5π4)=−sin⁡5π4\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=-\sin\frac{5\pi}{4}. Comme 5π4=π+π4\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}, sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. Donc sin⁡(−5π4)=22\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. Le point de −5π4-\frac{5\pi}{4} est en haut à gauche : sinus positif, c'est cohérent.
  3. 11π6=2π−π6\frac{11\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}, même point que −π6-\frac{\pi}{6} : cos⁡11π6=cos⁡π6=32\cos\frac{11\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.
  4. 7π2=4π−π2\frac{7\pi}{2}=4\pi-\frac{\pi}{2}, même point que −π2-\frac{\pi}{2}, c'est-à-dire (0 ;−1)(0\,;-1) : sin⁡7π2=−1\sin\frac{7\pi}{2}=-1.
  5. Le cosinus est pair : cos⁡(−7π3)=cos⁡7π3=cos⁡(2π+π3)=12\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right)=\cos\frac{7\pi}{3}=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.

Exercice 4 : Connaissant le sinus, trouver le cosinus

Moyen
Soit xx un réel de [π ;3π2]\left[\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right] tel que sin⁡x=−513\sin x=-\frac{5}{13}.
  1. Calculer la valeur exacte de cos⁡x\cos x.
  2. En déduire cos⁡(π+x)\cos(\pi+x), sin⁡(π−x)\sin(\pi-x), cos⁡(π2−x)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) et sin⁡(x+π2)\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).
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  1. cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−25169=144169\cos^2x=1-\sin^2x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}, donc cos⁡x=1213\cos x=\frac{12}{13} ou cos⁡x=−1213\cos x=-\frac{12}{13}. Sur [π ;3π2]\left[\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right], le point est à gauche de l'axe des ordonnées, donc cos⁡x≤0\cos x\leq0 : cos⁡x=−1213\cos x=-\frac{12}{13}.
  2. Avec les formules des angles associés :
    • cos⁡(π+x)=−cos⁡x=1213\cos(\pi+x)=-\cos x=\frac{12}{13} ;
    • sin⁡(π−x)=sin⁡x=−513\sin(\pi-x)=\sin x=-\frac{5}{13} ;
    • cos⁡(π2−x)=sin⁡x=−513\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=-\frac{5}{13} ;
    • sin⁡(x+π2)=cos⁡x=−1213\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x=-\frac{12}{13}.

Niveau 2 : angles associés, équations et fonctions

Exercice 5 : Simplifier des expressions

Moyen
  1. Simplifier, pour tout réel xx, A(x)=sin⁡(π−x)+cos⁡(π2+x)+sin⁡(x+π)A(x)=\sin(\pi-x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin(x+\pi).
  2. Simplifier B(x)=cos⁡(−x)+cos⁡(π−x)+sin⁡(π2+x)+sin⁡(π2−x)B(x)=\cos(-x)+\cos(\pi-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
  3. Sans calculatrice, calculer S=sin⁡π5+sin⁡2π5+sin⁡3π5+⋯+sin⁡10π5S=\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{3\pi}{5}+\dots+\sin\frac{10\pi}{5} (dix termes).
Indication
Pour la somme SS, associer chaque terme sin⁡kπ5\sin\frac{k\pi}{5} au terme sin⁡(k+5)π5=sin⁡(kπ5+π)\sin\frac{(k+5)\pi}{5}=\sin\left(\frac{k\pi}{5}+\pi\right).
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  1. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x, cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x et sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin x. Donc A(x)=sin⁡x−sin⁡x−sin⁡x=−sin⁡xA(x)=\sin x-\sin x-\sin x=-\sin x.
  2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x, cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x, sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x et sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. Donc B(x)=cos⁡x−cos⁡x+cos⁡x+cos⁡x=2cos⁡xB(x)=\cos x-\cos x+\cos x+\cos x=2\cos x. Test en x=0x=0 : 1−1+1+1=2=2cos⁡01-1+1+1=2=2\cos0.
  3. Pour kk de 1 à 5, sin⁡(k+5)π5=sin⁡(kπ5+π)=−sin⁡kπ5\sin\frac{(k+5)\pi}{5}=\sin\left(\frac{k\pi}{5}+\pi\right)=-\sin\frac{k\pi}{5}. Les dix termes se regroupent en cinq paires de somme nulle : S=0S=0.

Exercice 6 : Démontrer des égalités

Moyen
Démontrer que pour tout réel xx :
  1. (cos⁡x+sin⁡x)2+(cos⁡x−sin⁡x)2=2(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2 ;
  2. (1+cos⁡x)(1−cos⁡x)=sin⁡2x(1+\cos x)(1-\cos x)=\sin^2x ;
  3. cos⁡4x−sin⁡4x=2cos⁡2x−1\cos^4x-\sin^4x=2\cos^2x-1.
  4. En déduire la valeur exacte de cos⁡4π6−sin⁡4π6\cos^4\frac{\pi}{6}-\sin^4\frac{\pi}{6}.
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  1. On développe : (cos⁡x+sin⁡x)2=cos⁡2x+2cos⁡xsin⁡x+sin⁡2x(\cos x+\sin x)^2=\cos^2x+2\cos x\sin x+\sin^2x et (cos⁡x−sin⁡x)2=cos⁡2x−2cos⁡xsin⁡x+sin⁡2x(\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\cos x\sin x+\sin^2x. Les doubles produits s'éliminent et la somme vaut 2(cos⁡2x+sin⁡2x)=2×1=22(\cos^2x+\sin^2x)=2\times1=2.
  2. On reconnaît (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2 : (1+cos⁡x)(1−cos⁡x)=1−cos⁡2x=sin⁡2x(1+\cos x)(1-\cos x)=1-\cos^2x=\sin^2x.
  3. Même identité avec a=cos⁡2xa=\cos^2x et b=sin⁡2xb=\sin^2x : cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x+sin⁡2x)(cos⁡2x−sin⁡2x)\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x). Le premier facteur vaut 1, donc : cos⁡4x−sin⁡4x=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x−(1−cos⁡2x)=2cos⁡2x−1.\begin{aligned}&\cos^4x-\sin^4x\\&=\cos^2x-\sin^2x\\&=\cos^2x-(1-\cos^2x)\\&=2\cos^2x-1.\end{aligned}
  4. Avec cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2} : 2×34−1=122\times\frac34-1=\frac12. Contrôle direct : 916−116=816=12\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac12.

Exercice 7 : Résoudre des équations trigonométriques

Moyen
  1. Résoudre cos⁡x=−22\cos x=-\frac{\sqrt2}{2} dans R\mathbb R, puis dans ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi].
  2. Résoudre sin⁡x=12\sin x=\frac12 dans [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[}.
  3. Résoudre cos⁡x=cos⁡π5\cos x=\cos\frac{\pi}{5} dans [0 ;4π[[0\,;4\pi\mathclose{[}.
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  1. −22=cos⁡3π4-\frac{\sqrt2}{2}=\cos\frac{3\pi}{4}. Donc x=3π4+2kπx=\frac{3\pi}{4}+2k\pi ou x=−3π4+2kπx=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z. Dans ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi], seul k=0k=0 convient : S={−3π4 ;3π4}S=\left\{-\frac{3\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}.
  2. 12=sin⁡π6\frac12=\sin\frac{\pi}{6}. Donc x=π6+2kπx=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=π−π6+2kπ=5π6+2kπx=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi. Dans [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[} : S={π6 ;5π6}S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}.
  3. x=π5+2kπx=\frac{\pi}{5}+2k\pi ou x=−π5+2kπx=-\frac{\pi}{5}+2k\pi. L'intervalle couvre deux tours, d'où deux valeurs par famille :
    • première famille : π5\frac{\pi}{5} (k=0k=0) et 11π5\frac{11\pi}{5} (k=1k=1) ;
    • seconde famille : 9π5\frac{9\pi}{5} (k=1k=1) et 19π5\frac{19\pi}{5} (k=2k=2).
    S={π5 ;9π5 ;11π5 ;19π5}S=\left\{\frac{\pi}{5}\,;\frac{9\pi}{5}\,;\frac{11\pi}{5}\,;\frac{19\pi}{5}\right\}.

Exercice 8 : Trouver l’erreur dans deux résolutions

Moyen
Un élève a rédigé les deux résolutions suivantes.
(a) Sur [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[}, 2sin⁡x+1=02\sin x+1=0 donne sin⁡x=−12=sin⁡(−π6)\sin x=-\frac12=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right), donc x=−π6x=-\frac{\pi}{6} ou x=π6x=\frac{\pi}{6}. Comme −π6+2π=11π6-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}, S={π6 ;11π6}S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}.
(b) Sur [0 ;π][0\,;\pi], cos⁡(2x)=0=cos⁡π2\cos(2x)=0=\cos\frac{\pi}{2} donne 2x=±π2+2kπ2x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi, donc x=±π4+2kπx=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi. Dans [0 ;π][0\,;\pi], S={π4}S=\left\{\frac{\pi}{4}\right\}.
  1. Calculer sin⁡π6\sin\frac{\pi}{6}. Que peut-on en conclure pour (a) ? Corriger.
  2. Calculer cos⁡(2×3π4)\cos\left(2\times\frac{3\pi}{4}\right). Que peut-on en conclure pour (b) ? Corriger.
Voir le corrigé
  1. sin⁡π6=12≠−12\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\neq-\frac12 : la valeur π6\frac{\pi}{6} n'est pas solution ; son point est au-dessus de l'axe des abscisses alors qu'on cherche un sinus négatif. L'élève a appliqué la règle du cosinus (±a\pm a) à un sinus. Pour sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin a, la seconde famille est π−a+2kπ\pi-a+2k\pi : ici π−(−π6)=7π6\pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{7\pi}{6}. Les solutions sont x=−π6+2kπx=-\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=7π6+2kπx=\frac{7\pi}{6}+2k\pi, et dans [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[} : S={7π6 ;11π6}S=\left\{\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}. Contrôle : les deux points sont sous l'axe des abscisses.
  2. cos⁡3π2=0\cos\frac{3\pi}{2}=0 : 3π4\frac{3\pi}{4} est solution, alors que l'élève ne l'a pas trouvée. En divisant par 2, il fallait aussi diviser 2kπ2k\pi : x=±π4+kπx=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi. Dans [0 ;π][0\,;\pi] : π4\frac{\pi}{4} (k=0k=0) et −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4} (k=1k=1). S={π4 ;3π4}S=\left\{\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}.
Dans les deux cas, remplacer chaque solution annoncée dans l'équation de départ, et tester une valeur symétrique, aurait suffi à détecter l'erreur.

Exercice 9 : Parité et périodicité

Moyen
Les fonctions suivantes sont définies sur R\mathbb R : f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin(3x), g(x)=cos⁡x+sin⁡xg(x)=\cos x+\sin x et h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin^2x.
  1. Étudier la parité de ff, gg et hh.
  2. Montrer que ff est périodique de période 2π3\frac{2\pi}{3} et que hh est périodique de période π\pi.
  3. Sur quel intervalle suffit-il d'étudier hh ? Expliquer comment obtenir ensuite toute sa courbe.
Voir le corrigé
    • f(−x)=sin⁡(−3x)=−sin⁡(3x)=−f(x)f(-x)=\sin(-3x)=-\sin(3x)=-f(x) : ff est impaire.
    • g(π4)=22+22=2g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2 et g(−π4)=22−22=0g\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0. Comme 0≠20\neq\sqrt2, gg n'est pas paire ; comme 0≠−20\neq-\sqrt2, elle n'est pas impaire. Un seul contre-exemple suffit pour chaque cas.
    • h(−x)=(sin⁡(−x))2=(−sin⁡x)2=sin⁡2x=h(x)h(-x)=(\sin(-x))^2=(-\sin x)^2=\sin^2x=h(x) : hh est paire.
  2. f(x+2π3)=sin⁡(3x+2π)=sin⁡(3x)=f(x)f\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin(3x+2\pi)=\sin(3x)=f(x). Et h(x+π)=(sin⁡(x+π))2=(−sin⁡x)2=h(x)h(x+\pi)=(\sin(x+\pi))^2=(-\sin x)^2=h(x).
  3. hh est de période π\pi : on peut l'étudier sur [−π2 ;π2]\left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right], intervalle de longueur π\pi. Comme hh est paire, la moitié [0 ;π2]\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right] suffit. On complète par la symétrie d'axe des ordonnées, puis par des translations de π\pi le long de l'axe des abscisses.

Exercice 10 : Lire sur le cercle et sur les courbes

Moyen
On s'aide du cercle trigonométrique ou des courbes des fonctions cosinus et sinus.
  1. Combien l'équation sin⁡x=0,4\sin x=0{,}4 a-t-elle de solutions dans [0 ;4π][0\,;4\pi] ?
  2. Résoudre cos⁡x≥12\cos x\geq\frac12 dans [−π ;π][-\pi\,;\pi].
  3. Résoudre sin⁡x<0\sin x\lt0 dans [−π ;π][-\pi\,;\pi].
  4. Pour quels réels xx de [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[} a-t-on à la fois cos⁡x>0\cos x\gt0 et sin⁡x>0\sin x\gt0 ?
Voir le corrigé
  1. Sur [0 ;2π][0\,;2\pi], la droite y=0,4y=0{,}4 coupe la courbe du sinus deux fois : une fois sur [0 ;π2]\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right] où le sinus croît de 0 à 1, une fois sur [π2 ;π]\left[\frac{\pi}{2}\,;\pi\right] où il décroît de 1 à 0. Sur ]π ;2π[\mathopen{]}\pi\,;2\pi\mathclose{[}, le sinus est négatif. Par périodicité, il y a encore deux solutions sur [2π ;4π][2\pi\,;4\pi] : 4 solutions au total.
  2. Sur le cercle, cos⁡x≥12\cos x\geq\frac12 correspond aux points d'abscisse au moins 12\frac12, situés à droite de la droite verticale passant par les points de π3\frac{\pi}{3} et −π3-\frac{\pi}{3}. Dans [−π ;π][-\pi\,;\pi] : S=[−π3 ;π3]S=\left[-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right].
  3. Le sinus est négatif sous l'axe des abscisses, strictement entre les points de −π-\pi et de 00 : S=]−π ;0[S=\mathopen{]}-\pi\,;0\mathclose{[}. Les bornes sont exclues car sin⁡(−π)=sin⁡0=0\sin(-\pi)=\sin0=0.
  4. Les deux coordonnées sont strictement positives dans le quart de cercle en haut à droite, sans ses extrémités : x∈]0 ;π2[x\in\mathopen{]}0\,;\frac{\pi}{2}\mathclose{[}.

Niveau 3 : modélisation, équations et algorithme

Exercice 11 : Résoudre cos(2x) = sin x

Difficile
Résoudre dans [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[} l'équation cos⁡(2x)=sin⁡x\cos(2x)=\sin x, puis vérifier chaque solution.
Indication
Écrire le sinus comme un cosinus grâce à un angle associé, pour se ramener à une équation cos⁡A=cos⁡B\cos A=\cos B.
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On ne sait pas comparer directement un cosinus et un sinus : on transforme le sinus avec la formule sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right), vraie pour tout réel xx (les points de xx et de π2−x\frac{\pi}{2}-x sont symétriques par rapport à la droite y=xy=x).
  1. L'équation devient cos⁡(2x)=cos⁡(π2−x)\cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right). Avec la règle cos⁡A=cos⁡B  ⟺  A=B+2kπ\cos A=\cos B\iff A=B+2k\pi ou A=−B+2kπA=-B+2k\pi, elle équivaut à :
    • 2x=π2−x+2kπ2x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi, soit 3x=π2+2kπ3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi et x=π6+2kπ3x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} ;
    • ou 2x=−π2+x+2kπ2x=-\frac{\pi}{2}+x+2k\pi, soit x=−π2+2kπx=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,
    avec k∈Zk\in\mathbb Z.
  2. Dans [0 ;2π[[0\,;2\pi\mathclose{[}, première famille (k=0,1,2k=0,1,2) : π6\frac{\pi}{6}, π6+2π3=5π6\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}, π6+4π3=3π2\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}. Seconde famille : −π2+2π=3π2-\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{3\pi}{2}, déjà obtenue. S={π6 ;5π6 ;3π2}S=\left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\,;\frac{3\pi}{2}\right\}.
  3. Vérification :
    • cos⁡π3=12=sin⁡π6\cos\frac{\pi}{3}=\frac12=\sin\frac{\pi}{6} ;
    • cos⁡5π3=12=sin⁡5π6\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12=\sin\frac{5\pi}{6} ;
    • cos⁡(3π)=−1=sin⁡3π2\cos(3\pi)=-1=\sin\frac{3\pi}{2}.

Exercice 12 : La grande roue

Difficile
Une nacelle de grande roue embarque au point le plus bas. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, au bout de tt minutes est modélisée par h(t)=22−20cos⁡(πt4)h(t)=22-20\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right), pour t≥0t\geq0.
  1. Calculer h(0)h(0), h(2)h(2) et h(4)h(4). Interpréter.
  2. Montrer que h(t+8)=h(t)h(t+8)=h(t) pour tout t≥0t\geq0. Que représente 8 dans le contexte ?
  3. Quelle est la hauteur maximale de la nacelle ? Quel est le diamètre de la roue ?
  4. Au cours du premier tour (t∈[0 ;8]t\in[0\,;8]), à quels instants la nacelle est-elle à 32 m de hauteur ?
  5. Pendant combien de temps, au cours d'un tour, la nacelle est-elle à 32 m ou plus ?
Indication
Poser X=πt4X=\frac{\pi t}{4} : quand tt parcourt [0 ;8][0\,;8], XX parcourt [0 ;2π][0\,;2\pi], soit exactement un tour du cercle trigonométrique.
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  1. h(0)=22−20cos⁡0=2h(0)=22-20\cos0=2 ; h(2)=22−20cos⁡π2=22h(2)=22-20\cos\frac{\pi}{2}=22 ; h(4)=22−20cos⁡π=42h(4)=22-20\cos\pi=42. La nacelle part à 2 m du sol, passe à hauteur du centre (22 m) au bout de 2 min et atteint le sommet au bout de 4 min.
  2. h(t+8)=22−20cos⁡(πt4+2π)=22−20cos⁡(πt4)=h(t)h(t+8)=22-20\cos\left(\frac{\pi t}{4}+2\pi\right)=22-20\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)=h(t). La fonction est périodique de période 8 : un tour dure 8 minutes.
  3. cos⁡\cos prend la valeur minimale −1-1, donc h(t)≤22+20=42h(t)\leq22+20=42. Cette valeur est atteinte, puisque h(4)=42h(4)=42 : la hauteur maximale est 42 m, au bout de 4 min. Le rayon vaut 20 m (écart entre le centre, à 22 m, et le point le plus haut), donc le diamètre vaut 40 m.
  4. h(t)=32  ⟺  −20cos⁡X=10  ⟺  cos⁡X=−12h(t)=32\iff-20\cos X=10\iff\cos X=-\frac12, avec X=πt4∈[0 ;2π]X=\frac{\pi t}{4}\in[0\,;2\pi]. Donc X=2π3X=\frac{2\pi}{3} ou X=4π3X=\frac{4\pi}{3}, soit t=4Xπt=\frac{4X}{\pi} : t=83t=\frac83 ou t=163t=\frac{16}{3}. La nacelle est à 32 m au bout de 2 min 40 s et de 5 min 20 s.
  5. h(t)≥32  ⟺  cos⁡X≤−12h(t)\geq32\iff\cos X\leq-\frac12. Sur le cercle, ce sont les points d'abscisse au plus −12-\frac12, soit X∈[2π3 ;4π3]X\in\left[\frac{2\pi}{3}\,;\frac{4\pi}{3}\right], c'est-à-dire t∈[83 ;163]t\in\left[\frac83\,;\frac{16}{3}\right]. Durée : 163−83=83\frac{16}{3}-\frac83=\frac83 min, soit 2 min 40 s par tour, un tiers du tour.

Exercice 13 : Encadrer π avec Archimède en Python

Difficile
On inscrit dans un cercle de rayon 1 des polygones réguliers à nn côtés, de côté cnc_n. Le cours établit que c2n=2−4−cn2c_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-c_n^2}} et que n cn2<π<n cn2an\frac{n\,c_n}{2}\lt\pi\lt\frac{n\,c_n}{2a_n}, où an=1−cn24a_n=\sqrt{1-\frac{c_n^2}{4}} est la distance du centre à un côté.
  1. Justifier que c6=1c_6=1.
  2. Calculer la valeur exacte de c12c_{12} et de a12a_{12}, puis montrer que le majorant obtenu pour n=12n=12 vaut exactement 12(2−3)12\left(2-\sqrt3\right).
  3. Compléter la fonction suivante pour qu'elle renvoie le premier nombre de côtés nn pour lequel l'écart entre majorant et minorant est inférieur à precision. Que renvoie seuil(0.0001) ? 
    from math import sqrt

def seuil(precision):
    n, c = 6, 1.0
    while True:
        a = sqrt(1 - c**2 / 4)
        ecart = ...
        if ecart < precision:
            return n
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = ...
  4. Démontrer que 2−4−c2=c2+4−c2\sqrt{2-\sqrt{4-c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{2+\sqrt{4-c^2}}} pour 0<c<20\lt c\lt2. Pourquoi la seconde écriture est-elle préférable en machine ?
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  1. Les sommets de l'hexagone régulier découpent le cercle en six arcs égaux : l'angle au centre vaut 2π6=π3\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}. Chaque triangle formé par le centre et un côté est isocèle d'angle au sommet 60∘60^\circ, donc équilatéral, et son côté vaut le rayon : c6=1c_6=1.
  2. c12=2−4−1=2−3c_{12}=\sqrt{2-\sqrt{4-1}}=\sqrt{2-\sqrt3}. Ensuite a122=1−2−34=2+34a_{12}^2=1-\frac{2-\sqrt3}{4}=\frac{2+\sqrt3}{4}, donc a12=2+32a_{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. Le majorant vaut 12 c122a12=122−32+3=12(2−3)(2+3)(2−3)=12(2−3)≈3,2154,\begin{aligned}&\frac{12\,c_{12}}{2a_{12}}=\frac{12\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt3}}\\&=\frac{12\left(2-\sqrt3\right)}{\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}}\\&=12\left(2-\sqrt3\right)\\&\approx3{,}2154,\end{aligned} car (2+3)(2−3)=4−3=1(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1. On a multiplié numérateur et dénominateur par 2−3\sqrt{2-\sqrt3}.
  3. Les deux lignes à compléter sont ecart = n * c / (2 * a) - n * c / 2 et n = 2 * n. L'écart est divisé par 4 environ à chaque doublement : 0,0017 pour n=96n=96, 0,00042 pour n=192n=192, 0,000105 pour n=384n=384 (encore supérieur à 0,0001), puis 0,000026 pour n=768n=768. seuil(0.0001) renvoie donc 768. Attention au cas n=384n=384 : l'écart est très proche du seuil mais ne le franchit pas.
  4. Pour 0<c<20\lt c\lt2, 4−c2<2\sqrt{4-c^2}\lt2, donc les deux racines sont bien définies. On multiplie et divise par la quantité conjuguée. Le produit de 2−4−c22-\sqrt{4-c^2} par 2+4−c22+\sqrt{4-c^2} vaut 4−(4−c2)=c24-(4-c^2)=c^2, donc : 2−4−c2=c22+4−c2.\begin{aligned}&2-\sqrt{4-c^2}\\&=\frac{c^2}{2+\sqrt{4-c^2}}.\end{aligned} En prenant la racine carrée (avec c>0c\gt0), on obtient l'égalité. Quand cc devient très petit, 4−c2\sqrt{4-c^2} est très proche de 2 et la différence 2−4−c22-\sqrt{4-c^2} perd ses chiffres significatifs en machine. La seconde écriture n'effectue aucune soustraction de nombres voisins.

Problème type bac : une équation du second degré en cos x

Problème : étude de f(x) = 2cos²x + cos x − 1

Type bac
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb R par f(x)=2cos⁡2x+cos⁡x−1f(x)=2\cos^2x+\cos x-1.
  1. Montrer que ff est paire et périodique de période 2π2\pi. Justifier qu'il suffit de l'étudier sur [0 ;π][0\,;\pi].
  2. Factoriser le trinôme 2X2+X−12X^2+X-1.
  3. Résoudre f(x)=0f(x)=0 dans [0 ;π][0\,;\pi], puis dans ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi].
  4. Étudier le signe de f(x)f(x) sur [0 ;π][0\,;\pi]. Contrôler avec f(π4)f\left(\frac{\pi}{4}\right) et f(π2)f\left(\frac{\pi}{2}\right).
  5. Déterminer le maximum et le minimum de ff sur R\mathbb R.
Indication
En posant X=cos⁡xX=\cos x, on a f(x)=g(X)f(x)=g(X) avec g(X)=2X2+X−1g(X)=2X^2+X-1 et X∈[−1 ;1]X\in[-1\,;1]. Tout le second degré s'applique à gg.
Voir le corrigé
  1. Pour tout réel xx, cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x, donc f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) : ff est paire. De même cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos x donne f(x+2π)=f(x)f(x+2\pi)=f(x). La périodicité ramène l'étude à [−π ;π][-\pi\,;\pi], et la parité à [0 ;π][0\,;\pi] ; la courbe complète s'obtient par symétrie d'axe des ordonnées puis par translations de 2π2\pi.
  2. Δ=12−4×2×(−1)=9\Delta=1^2-4\times2\times(-1)=9, racines −1−34=−1\frac{-1-3}{4}=-1 et −1+34=12\frac{-1+3}{4}=\frac12. Donc 2X2+X−1=2(X+1)(X−12)=(X+1)(2X−1)2X^2+X-1=2(X+1)\left(X-\frac12\right)=(X+1)(2X-1).
  3. f(x)=(cos⁡x+1)(2cos⁡x−1)=0  ⟺  cos⁡x=−1f(x)=(\cos x+1)(2\cos x-1)=0\iff\cos x=-1 ou cos⁡x=12\cos x=\frac12. Dans [0 ;π][0\,;\pi] : cos⁡x=−1\cos x=-1 donne x=πx=\pi, et cos⁡x=12\cos x=\frac12 donne x=π3x=\frac{\pi}{3}. Par parité, −π3-\frac{\pi}{3} est aussi solution ; −π-\pi n'appartient pas à ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi]. Dans ]−π ;π]\mathopen{]}-\pi\,;\pi] : S={−π3 ;π3 ;π}S=\left\{-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\,;\pi\right\}.
  4. Le facteur cos⁡x+1\cos x+1 est positif ou nul, et nul seulement en π\pi. Le signe de f(x)f(x) est donc celui de 2cos⁡x−12\cos x-1 sur [0 ;π[[0\,;\pi\mathclose{[}. Sur [0 ;π][0\,;\pi], le cosinus décroît de 1 à −1-1, donc 2cos⁡x−1≥0  ⟺  cos⁡x≥12  ⟺  x≤π32\cos x-1\geq0\iff\cos x\geq\frac12\iff x\leq\frac{\pi}{3}.
    xx00π3\frac{\pi}{3}π\pi
    cos⁡x+1\cos x+1++++00
    2cos⁡x−12\cos x-1++00−-
    f(x)f(x)++00−-00
    Contrôles : f(π4)=2×12+22−1=22>0f\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\times\frac12+\frac{\sqrt2}{2}-1=\frac{\sqrt2}{2}\gt0 avec π4<π3\frac{\pi}{4}\lt\frac{\pi}{3} ; f(π2)=0+0−1=−1<0f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+0-1=-1\lt0 avec π2>π3\frac{\pi}{2}\gt\frac{\pi}{3}.
  5. Quand xx parcourt R\mathbb R, X=cos⁡xX=\cos x prend toutes les valeurs de [−1 ;1][-1\,;1]. On étudie donc gg sur [−1 ;1][-1\,;1]. Son sommet a pour abscisse −b2a=−14-\frac{b}{2a}=-\frac14, qui appartient à [−1 ;1][-1\,;1], et g(−14)=18−14−1=−98g\left(-\frac14\right)=\frac18-\frac14-1=-\frac98. Aux bornes, g(−1)=0g(-1)=0 et g(1)=2g(1)=2. Comme a=2>0a=2\gt0, le minimum de ff est −98-\frac98, atteint quand cos⁡x=−14\cos x=-\frac14. Le maximum est 2, atteint quand cos⁡x=1\cos x=1, c'est-à-dire pour x=2kπx=2k\pi.

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