Limites de fonctions et asymptotes Terminale : 8 exercices corrigés

La bonne transformation dépend de la forme rencontrée. Factoriser, diviser par le terme dominant ou isoler un reste permet de lever une indétermination sans appliquer un tableau de manière aveugle.

Les asymptotes sont ensuite formulées comme des conséquences de limites précises, et non comme de simples traits reconnus sur un graphique.

Limites locales

Étudier le signe et simplifier avant de conclure.

Exercice 1 : Trou en un point

Facile
Pour x≠2x\neq2, f(x)=x2−4x−2f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}.
  1. Simplifier f sur son domaine.
  2. Calculer lim⁡x→2f(x)\lim_{x\to2}f(x).
  3. Peut-on affirmer que f est continue en 2 ?
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  1. f(x)=x+2f(x)=x+2 pour x≠2x\neq2.
  2. lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x\to2}f(x)=4.
  3. Non, car f(2) n'existe pas. On pourrait prolonger f par continuité en posant f(2)=4.

Exercice 2 : Asymptote verticale et signes

Moyen
On considère g(x)=x+1x−3g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}.
  1. Calculer les limites à gauche et à droite de 3.
  2. Interpréter graphiquement.
  3. Déterminer la limite en +∞+\infty.
Indication
Près de 3, le numérateur reste positif. Le signe vient du dénominateur.
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  1. Quand x→3−x\to3^-, x−3<0x-3\lt 0 et tend vers 0, donc g(x)→−∞g(x)\to-\infty. Quand x→3+x\to3^+, g(x)→+∞g(x)\to+\infty.
  2. La droite x=3x=3 est une asymptote verticale.
  3. Les termes dominants ont le même degré, donc g(x)→1g(x)\to1 quand x→+∞x\to+\infty.

Infini et croissances comparées

Mettre en évidence l'échelle qui domine.

Exercice 3 : Rationnelle à l’infini

Facile
Soit h(x)=3x3−x+4−2x3+5x2h(x)=\dfrac{3x^3-x+4}{-2x^3+5x^2}.
  1. Calculer les limites en +∞+\infty et en −∞-\infty.
  2. Donner l'asymptote correspondante.
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  1. Dans les deux directions, le quotient tend vers le rapport des coefficients dominants, soit −3/2-3/2.
  2. La droite y=−3/2y=-3/2 est une asymptote horizontale en +∞+\infty et en −∞-\infty.

Exercice 4 : Exponentielle contre polynôme

Moyen
On pose p(x)=x2e−xp(x)=x^2e^{-x} pour x>0x\gt 0.
  1. Écrire p sous la forme d'un quotient.
  2. Déterminer sa limite en +∞+\infty.
  3. En déduire la limite de (2x2+1)e−x(2x^2+1)e^{-x}.
Indication
Utiliser la croissance comparée de l'exponentielle et des puissances.
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  1. p(x)=x2/exp(x)=x^2/e^x.
  2. L'exponentielle domine toute puissance de x, donc x2/ex→0x^2/e^x\to0.
  3. (2x2+1)e−x=2x2e−x+e−x→0(2x^2+1)e^{-x}=2x^2e^{-x}+e^{-x}\to0.

Approfondissement : asymptotes obliques

Cette extension n'est pas une connaissance exigible du programme. Isoler une fonction affine et montrer que le reste tend vers zéro.

Exercice 5 : Division utile

Moyen
On considère f(x)=x2+2x+3x+1f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}, définie pour x≠−1x\neq-1.
  1. Écrire f sous la forme ax+b+cx+1ax+b+\dfrac{c}{x+1}.
  2. Déterminer une asymptote oblique en +∞+\infty et en −∞-\infty.
  3. Étudier la position de la courbe par rapport à cette droite.
Indication
Effectuer la division euclidienne du numérateur par x+1.
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  1. x2+2x+3=(x+1)(x+1)+2x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2, donc f(x)=x+1+2/(x+1)f(x)=x+1+2/(x+1).
  2. Comme 2/(x+1)→02/(x+1)\to0, la droite y=x+1y=x+1 est asymptote aux deux infinis.
  3. La différence vaut 2/(x+1)2/(x+1) : la courbe est au-dessus pour x>−1x\gt -1 et au-dessous pour x<−1x\lt -1.

Exercice 6 : Paramètre et asymptote

Difficile
Pour un réel a, fa(x)=x2+ax+1x−1f_a(x)=\dfrac{x^2+ax+1}{x-1}.
  1. Décomposer fa(x)f_a(x) en une partie affine et un reste.
  2. Déterminer son asymptote oblique à l'infini.
  3. Trouver a pour que la courbe et cette droite aient un point commun d'abscisse 2. L'intersection est-elle alors isolée ?
Indication
Une fois la division effectuée, une intersection avec l'asymptote impose que le reste soit nul.
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  1. x2+ax+1=(x−1)(x+a+1)+(a+2)x^2+ax+1=(x-1)(x+a+1)+(a+2). Donc fa(x)=x+a+1+a+2x−1f_a(x)=x+a+1+\dfrac{a+2}{x-1}.
  2. L'asymptote est y=x+a+1y=x+a+1.
  3. À x=2, la différence avec l'asymptote vaut a+2. Elle est nulle si a=−2a=-2. Dans ce cas, le reste est nul pour tout x≠1x\neq1, donc la courbe est la droite privée du point d'abscisse 1, et non une courbe qui la coupe en un seul point.

Conjugué et prolongement

Deux limites qui exigent une transformation différente avant d'identifier le comportement géométrique.

Exercice 7 : Une asymptote obtenue par conjugaison

Moyen
Pour x≥0x\geq0, on pose f(x)=x2+3x−xf(x)=\sqrt{x^2+3x}-x.
  1. Multiplier par l'expression conjuguée pour réécrire f.
  2. Calculer la limite de f en +∞+\infty.
  3. Interpréter graphiquement le résultat.
Indication
Après conjugaison, diviser le numérateur et le dénominateur par x.
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  1. f(x)=3xx2+3x+xf(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}.
  2. Pour x>0x\gt 0, f(x)=3/[1+3/x+1]f(x)=3/[\sqrt{1+3/x}+1], donc f(x)→3/2f(x)\to3/2.
  3. La droite d'équation y=3/2y=3/2 est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞+\infty.

Exercice 8 : Prolonger x ln x en zéro

Difficile
La fonction f est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x.
  1. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
  2. Définir un prolongement continu de f en 0.
  3. Étudier le taux d'accroissement de ce prolongement en 0 et décrire la tangente.
Indication
Pour la première limite, poser x=1/tx=1/t. Pour le taux d'accroissement, simplifier avant de passer à la limite.
Voir le corrigé
  1. Avec x=1/tx=1/t, on a xln⁡x=−ln⁡(t)/tx\ln x=-\ln(t)/t, qui tend vers 0 lorsque t→+∞t\to+\infty.
  2. On pose f(0)=0f(0)=0. Cette valeur coïncide avec la limite à droite, donc le prolongement est continu sur [0,+∞[[0,+\infty[.
  3. Le taux d'accroissement vaut [f(x)−f(0)]/x=ln⁡x[f(x)-f(0)]/x=\ln x, qui tend vers −∞-\infty. La courbe admet en l'origine une demi-tangente verticale d'équation x=0x=0.
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