Suites arithmétiques et géométriques Première

Les suites arithmétiques et géométriques en Première représentent deux évolutions fondamentales. Un accroissement constant produit une suite arithmétique ; un taux constant produit une suite géométrique.

Cette différence apparaît dans la relation de récurrence, le terme général, le graphique et la somme. La reconnaître évite d'appliquer un modèle linéaire à un phénomène exponentiel.

Table des Matières

Reconnaître accroissement constant et coefficient constant

Accroissement ou coefficient constant

Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ , où $r$ est la raison additive. Une suite géométrique vérifie $v_{n+1}=qv_n$ , où $q$ est la raison multiplicative. Le premier modèle ajoute toujours la même quantité ; le second multiplie toujours par le même coefficient.

Calculer termes généraux et sommes

Termes généraux et sommes

À partir du rang $p$ , une suite arithmétique vérifie $u_n=u_p+(n-p)r$ et une suite géométrique $v_n=v_pq^{n-p}$ . Les sommes se calculent en comptant précisément le nombre de termes, qui vaut dernier indice moins premier indice plus 1.

u_n=u_p+(n-p)r,\qquad v_n=v_pq^{\,n-p}.

Comparer épargne linéaire et intérêts composés

Un capital initial de 2 000 euros reçoit soit 120 euros par an, soit 5 % d'intérêts par an. On compare les modèles après n années.

Le premier capital vérifie $u_{n+1}=u_n+120$ : il est arithmétique de raison 120.
Sa formule est $u_n=2000+120n$ .
Le second vérifie $v_{n+1}=1{,}05v_n$ : il est géométrique de raison 1,05.
Sa formule est $v_n=2000\times1{,}05^n$ .
Les deux modèles peuvent être proches au début puis s'écarter fortement.

Identifier le modèle puis calculer sans décaler les indices

Traduire l'évolution : différence constante ou taux constant.
Repérer le premier indice réellement utilisé dans l'énoncé.
Déterminer la raison avec deux termes consécutifs ou avec le contexte.
Employer la formule générale à partir d'un terme connu de rang p.
Pour une somme, écrire le premier et le dernier terme avant de compter.

Démontrer les termes généraux par itération

Répéter la même transformation

Ajouter $r$ à chacune des $n-p$ étapes donne $u_p+(n-p)r$ . Multiplier par $q$ à chacune de ces étapes donne $v_pq^{n-p}$ . Cette itération explique les exposants et empêche de confondre $n$ avec le nombre d'étapes écoulées.

Distinguer alignement et croissance exponentielle

Les points d'une suite arithmétique sont alignés avec une pente liée à r. Ceux d'une suite géométrique positive forment une progression courbe. Le quotient de deux termes consécutifs permet de confirmer la nature géométrique.

Comparaison d'une suite arithmétique et géométrique — Les écarts constants produisent un alignement, tandis qu'un rapport constant engendre une croissance multiplicative.

Modéliser évolutions fixes, taux et sommes cumulées

Versements fixes, motifs linéaires et distances régulièrement ajoutées relèvent du modèle arithmétique. Intérêts composés, croissance démographique à taux fixe et décroissance radioactive discrète relèvent du modèle géométrique.

Les preuves et formules de sommes figurent dans le cours détaillé sur les suites classiques. Le modèle géométrique prépare la fonction exponentielle.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de suites arithmétiques et géométriques Première. Les prolongements signalés servent directement à modéliser évolutions fixes, taux et sommes cumulées.

Repères symboliques pour suites arithmétiques et géométriques Première

Écriture	Lecture et usage
$u_{n+1}=u_n+r$	suite arithmétique
$v_{n+1}=qv_n$	suite géométrique
$u_n=u_0+nr$	terme général arithmétique
$v_n=v_0q^n$	terme général géométrique
$1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$	somme géométrique pour q différent de 1

Identifier la bonne nature avant de calculer

Erreur fréquente : une augmentation de 5 % ajoute 5 % de la valeur courante, pas une quantité fixe. Elle produit un coefficient 1,05 et non une raison additive 0,05.

Contrôle utile : calculer $u_{n+1}-u_n$ et, si les termes sont non nuls, $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ; une seule de ces quantités doit rester constante dans les cas standards.