Concentration et loi des grands nombres Terminale

Une espérance indique un centre, mais ne dit pas à quelle fréquence une variable s'en éloigne fortement. Les inégalités de concentration utilisent la variance pour majorer cette probabilité sans connaître toute la loi.

En répétant des expériences indépendantes, la moyenne observée devient de plus en plus stable. La loi des grands nombres formalise cette idée avec une probabilité, sans affirmer qu'une fréquence finit par être exactement égale à la probabilité théorique.

Table des Matières

Mesurer un écart à l’espérance

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour une variable X d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$ , et tout réel $\delta\gt 0$ , $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq V(X)/\delta^2$ .

L'inégalité donne une majoration, parfois assez large, valable avec peu d'informations. Son événement porte sur un écart absolu supérieur ou égal à delta : les deux valeurs frontières sont incluses. Il correspond au complément de l'intervalle ouvert $]\mu-\delta,\mu+\delta[$ .

P(|X-E(X)|\geq\delta)\leq\frac{V(X)}{\delta^2}

Construire la moyenne d’un échantillon

Échantillon de taille n

On considère des variables $X_1,\ldots,X_n$ indépendantes et de même loi que X. Leur moyenne est $M_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$ .

La linéarité donne $E(M_n)=E(X)$ . Grâce à l'indépendance, les variances s'ajoutent avant la division par $n^2$ , donc $V(M_n)=V(X)/n$ . Le facteur $1/n$ explique la stabilisation progressive de la moyenne.

Quantité	Espérance	Variance
$X_1+\cdots+X_n$	$n\mu$	$nV(X)$
$M_n$	$\mu$	$V(X)/n$

Obtenir l’inégalité de concentration

Concentration de la moyenne

Pour tout $\delta\gt 0$ , $P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq V(X)/(n\delta^2)$ .

Fixer la précision delta fait décroître la majoration comme $1/n$ . Pour garantir une probabilité d'écart inférieure à un seuil donné, on résout une inéquation en n puis on choisit le plus petit entier convenable. Le résultat porte sur une garantie théorique, pas sur la valeur certaine d'un échantillon particulier.

Comprendre la loi des grands nombres

Convergence en probabilité de la moyenne

Pour tout $\delta\gt 0$ , la probabilité $P(|M_n-\mu|\geq\delta)$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Lorsque Xi est l'indicatrice d'un succès de probabilité p, Mn est la fréquence des succès et $\mu=p$ . La loi justifie que la fréquence se rapproche probablement de p pour un grand nombre d'essais. Elle ne prévoit pas la suite exacte des résultats et ne répare pas un protocole biaisé ou dépendant.

Concentration des moyennes quand n augmente — La distribution des moyennes se resserre autour de l'espérance sans devenir une valeur certaine.

Résoudre une question de taille minimale

Identifier la variance $V(X)$ , la précision $\delta$ et le risque maximal r.
Écrire $V(X)/(n\delta^2)\leq r$ .
Isoler n en conservant des quantités positives.
Prendre l'entier supérieur si la valeur obtenue n'est pas entière.
Formuler la garantie probabiliste avec la précision demandée.

La majoration n'est pas nécessairement la probabilité réelle. La taille trouvée garantit que le risque est au plus r à partir des informations disponibles ; une loi connue plus précisément peut fournir une estimation plus fine.

Garantir un risque au plus égal à 5 %

Pour une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,4, la variance vaut $0,4\times0,6=0,24$ . Sur n épreuves indépendantes, la fréquence $F_n$ satisfait $P(|F_n-0,4|\geq0,1)\leq0,24/(n\times0,1^2)=24/n$ . Pour garantir une majoration au plus égale à 0,05, il suffit que $24/n\leq0,05$ , soit $n\geq480$ . C'est une taille suffisante issue de l'inégalité, pas nécessairement la taille minimale obtenue par un calcul binomial exact.

Interpréter sans surpromettre

Erreur fréquente : dire que la moyenne « devient égale » à l'espérance à partir d'un certain rang. La conclusion concerne une probabilité d'écart qui tend vers zéro.

Contrôle utile : écrire l'événement en mots avant le calcul : s'écarter d'au moins delta ou rester à moins de delta ne sont pas le même événement.

La variance de la moyenne repose sur les sommes et variances. Le cas des indicatrices prolonge les fréquences dans un schéma de Bernoulli. Le phénomène peut être observé avec la simulation d'échantillons.

La démonstration et l'interprétation suivent le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.