Intégration par parties : formule, méthode ALPES, exercices

L'intégration par parties (abrégée IPP) est l'une des techniques les plus puissantes du calcul intégral. Elle permet de calculer l'intégrale d'un produit de fonctions en « transférant » la dérivation d'un facteur à l'autre, transformant ainsi une intégrale difficile en une intégrale plus simple. Étudiée dès la classe de Terminale spécialité mathématiques et omniprésente en classes préparatoires et à l'université, elle intervient dès qu'une primitive directe n'est pas identifiable.

Comprendre l'intégration par parties, c'est d'abord comprendre d'où elle vient : la dérivée d'un produit. À partir de là, la formule se démontre en deux lignes, et la méthode devient naturelle.

Après la méthode ALPES, les exercices corrigés de calcul d’intégrales permettent de choisir u et v dans des cas progressifs, tandis que le cours sur les primitives rassemble les formules utilisées.

Table des Matières

Définition et contexte : qu’est-ce que l’intégration par parties ?

Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment $[a, b]$ (c'est-à-dire dérivables sur $[a, b]$ , de dérivées continues). L'intégration par parties est la technique qui consiste à calculer $\displaystyle\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant la relation :

\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b \;-\; \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x

On retient souvent cette formule sous la forme condensée :

\int_a^b u'\,v \;=\; \bigl[u\,v\bigr]_a^b \;-\; \int_a^b u\,v'

L'idée centrale est la suivante : on décompose l'intégrande (la fonction à intégrer) en un produit $u'(x) \cdot v(x)$ . On calcule ensuite le crochet $[u\,v]_a^b$ , puis on soustrait une nouvelle intégrale $\int u\,v'$ qui doit être (et c'est tout l'art du choix) plus simple que l'intégrale de départ.

Hypothèses et conditions d’application

L'intégration par parties ne s'applique que sur un segment $[a, b]$ (intervalle fermé et borné). Les conditions à vérifier (et à rédiger explicitement en copie) sont les suivantes :

$u$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ : elle est dérivable et $u'$ est continue sur $[a, b]$ .
$v$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ : elle est dérivable et $v'$ est continue sur $[a, b]$ .

Ces hypothèses garantissent que le produit $u \cdot v$ est lui-même de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ , et donc que toutes les intégrales impliquées existent et sont bien définies.

Attention : L'intégration par parties n'est pas définie sur un intervalle ouvert ou non borné (intégrale impropre). Si vous rencontrez $\int_0^{+\infty}$ ou $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$ , il faut d'abord étudier la convergence de l'intégrale et procéder par limite avant d'appliquer une IPP. Ne l'appliquez jamais mécaniquement sans vérifier le domaine.

Énoncé du théorème d’intégration par parties

Théorème (Intégration par parties ; IPP)

Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ . Alors :

\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b \;-\; \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x

où $\displaystyle\Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b = u(b)\,v(b) - u(a)\,v(a)$ .

Démonstration de la formule d’intégration par parties

La preuve est directe et repose uniquement sur la règle de dérivation d'un produit, que vous connaissez depuis la première :

Étape 1 : Dériver le produit $u \cdot v$ .

Puisque $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ , leur produit $u \cdot v$ l'est aussi, et :

(u \cdot v)'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)

Étape 2 : Réarranger l'égalité.

On isole le terme $u'(x)\,v(x)$ :

u'(x)\,v(x) = (u \cdot v)'(x) - u(x)\,v'(x)

Étape 3 : Intégrer les deux membres sur $[a, b]$ .

Par linéarité de l'intégrale et par le théorème fondamental de l'analyse, $\int_a^b (u\,v)'(x)\,\mathrm{d}x = [u(x)\,v(x)]_a^b$ . Donc :

\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b (u\,v)'(x)\,\mathrm{d}x - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x

La démonstration est complète. $\square$

Ce résultat est donc entièrement issu de la dérivée d'un produit. Si vous oubliez la formule lors d'un examen, vous pouvez la retrouver en moins de trente secondes en repartant de $(uv)' = u'v + uv'$ .

Comment choisir u’ et v : la méthode ALPES

Le plus grand défi de l'intégration par parties n'est pas d'appliquer la formule, mais de choisir judicieusement quelle fonction sera $u'$ (celle qu'on intègre) et laquelle sera $v$ (celle qu'on dérive). Un mauvais choix conduit à une intégrale encore plus compliquée.

La règle mnémotechnique ALPES donne l'ordre de priorité pour le rôle de $v$ (fonction à dériver) :

Méthode ALPES : ordre de priorité pour le choix de v (fonction dérivée)
Lettre	Famille de fonctions	Pourquoi la dériver en priorité ?
A	Arctan, arcsin, arccos	Leur dérivée est algébrique ; elles n'ont pas de primitive « simple ».
L	Logarithme (ln, log)	La dérivée de $\ln x$ est $\tfrac{1}{x}$ , ce qui simplifie l'expression.
P	Polynômes ( $x^n$ )	La dérivée abaisse le degré ; l'intégration le monte (moins efficace).
E	Exponentielle ( $e^x$ , $e^{kx}$ )	Sa dérivée et sa primitive sont identiques ; elle est neutre.
S	Sinus, cosinus	Faciles à intégrer ; on les choisit de préférence comme $u'$ .

En pratique : choisissez $v$ comme la fonction la plus à gauche dans ALPES, et posez le reste comme $u'$ . Voici les cas typiques :

$\displaystyle\int x\,e^x\,\mathrm{d}x$ : $v = x$ (P avant E), $u' = e^x$ .
$\displaystyle\int x\,\sin x\,\mathrm{d}x$ : $v = x$ (P avant S), $u' = \sin x$ .
$\displaystyle\int \ln(x)\,\mathrm{d}x$ : $v = \ln x$ (L avant tout), $u' = 1$ ; astuce classique !
$\displaystyle\int \arctan(x)\,\mathrm{d}x$ : $v = \arctan(x)$ (A en tête), $u' = 1$ .

IPP pour le calcul de primitives

La technique s'applique aussi au calcul de primitives (sans bornes). La formule devient alors :

\int u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x \;=\; u(x)\,v(x) \;-\; \int u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x \;+\; C

Exemple : Calculer une primitive de $x\,\ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .

On pose $v = \ln x$ (L avant P dans ALPES), $u' = x$ , donc $u = \dfrac{x^2}{2}$ et $v' = \dfrac{1}{x}$ :

\int x\,\ln(x)\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C

Interprétation intuitive : pourquoi ça « marche » ?

L'intégration par parties n'est pas une formule magique : c'est exactement la dérivation d'un produit vue à l'envers. Lorsque vous calculez $\int u'v$ , vous observez que la quantité $(uv)'$ contient déjà ce terme plus un autre, $uv'$ . En « soustrayant » la contribution de $uv'$ , vous récupérez $u'v$ . C'est un pur transfert de complexité d'un facteur à l'autre.

Visuellement, on peut penser à deux fonctions qui « échangent leurs rôles » : là où l'une se simplifiait en dérivant, l'autre se complique ; et c'est précisément ce qu'on évite en choisissant $v$ comme la fonction qui se simplifie par dérivation.

Tableau récapitulatif des cas d’application

Principaux cas d'intégration par parties : récapitulatif
Type d'intégrande	Poser u'	Poser v	Remarque
$x^n \cdot e^{kx}$	$e^{kx}$	$x^n$	Répéter n fois (IPP successive)
$x^n \cdot \sin(x)$ ou $\cos(x)$	$\sin x$ ou $\cos x$	$x^n$	Répéter n fois
$\ln(x)$	$1$	$\ln(x)$	Astuce $u' = 1$
$x^n \cdot \ln(x)$	$x^n$	$\ln(x)$	Une seule IPP suffit
$\arctan(x)$ , $\arcsin(x)$	$1$	$\arctan(x)$ ou $\arcsin(x)$	Astuce $u' = 1$
$e^{ax} \cdot \sin(bx)$ ou $\cos(bx)$	Au choix	Au choix	Cas circulaire : résoudre en $I$

Conclusion : maîtriser l’intégration par parties

L'intégration par parties repose sur un principe unique et élégant : retourner la dérivée d'un produit au service du calcul intégral. La formule $\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'$ est simple à démontrer, mais demande de la pratique pour être appliquée avec efficacité.

Pour réussir, retenez les trois réflexes essentiels : vérifier les hypothèses de classe $\mathcal{C}^1$ , choisir $v$ selon la méthode ALPES, et reconnaître les cas particuliers ; IPP successives sur les polynômes, cas circulaire pour les produits exponentielle/trigonométrique. Chaque exercice supplémentaire renforce ces automatismes et fait de l'IPP un outil fiable plutôt qu'une source d'erreurs.

Questions fréquentes sur l’intégration par parties

Comment faire une intégration par parties ?

On décompose l'intégrande en un produit $u'(x) \cdot v(x)$ . On vérifie que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment $[a, b]$ . On calcule $u$ (une primitive de $u'$ ) et $v'$ (la dérivée de $v$ ), puis on applique :

\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x

Le choix judicieux de $u'$ et $v$ selon la méthode ALPES garantit que la nouvelle intégrale est plus simple.

Quand utiliser l’intégration par parties ?

On recourt à l'intégration par parties dès que l'intégrande est un produit de deux fonctions de natures différentes ; typiquement un polynôme multiplié par une exponentielle, un sinus ou un cosinus, ou encore un logarithme ou une fonction arctan. Elle est aussi indispensable pour calculer des primitives de fonctions comme $\ln x$ ou $\arctan x$ à l'aide de l'astuce $u' = 1$ .

Quelle est la formule de l’intégration par parties ?

La formule est $\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = [u(x)\,v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x$ , valable lorsque $u$ et $v$ sont toutes deux de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ . Elle découle directement de la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

Comment choisir u et v dans une intégration par parties ?

Utilisez la méthode ALPES : Arctan/arcsin, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/cosinus. La fonction la plus à gauche dans cette liste est choisie comme $v$ (on la dérive), et l'autre comme $u'$ (on l'intègre). Ainsi, un logarithme est toujours $v$ , une exponentielle est presque toujours $u'$ , et un polynôme se dérive pour abaisser son degré.

Peut-on faire plusieurs intégrations par parties successives ?

Oui, et c'est souvent nécessaire. Pour $\int x^n e^x\,\mathrm{d}x$ , il faut appliquer l'IPP $n$ fois pour que le polynôme disparaisse. Pour $\int e^x\cos(x)\,\mathrm{d}x$ , deux IPP successives font réapparaître l'intégrale de départ $I$ : on obtient alors une équation $2I = \ldots$ qu'on résout directement. C'est le cas dit « circulaire », fréquent en exercices de concours.