Projection orthogonale Seconde : cours et méthode

La projection orthogonale en Seconde associe à un point A et une droite d un point H situé sur d tel que AH soit perpendiculaire à d. Cette construction donne une définition géométrique de la distance d'un point à une droite.

Son intérêt dépasse le tracé. Le projeté est le point de la droite le plus proche de A, ce qui permet de justifier des minimums, de calculer des hauteurs et d'organiser des problèmes mêlant triangles, cercles et aires.

Table des Matières

Construire le projeté orthogonal d’un point

Le pied de la perpendiculaire

Le projeté orthogonal H de A sur une droite d est l'intersection de d avec la droite passant par A et perpendiculaire à d. Si A appartient déjà à d, son projeté est A lui-même et la distance vaut zéro.

Repérer la hauteur pertinente dans une figure

Une hauteur peut tomber à l'extérieur d'un triangle obtus : il faut alors prolonger le côté. Dans un cercle, une perpendiculaire issue du centre vers une corde la partage en deux segments égaux, ce qui crée deux triangles rectangles exploitables.

Projection orthogonale d'un point sur une droite — Le projeté H de P sur la droite d rend le segment PH perpendiculaire à d et réalise la distance minimale.

Identifier la plus courte distance à une droite

La distance minimale à une droite

Pour tout point M de d différent de H, le triangle AHM est rectangle en H. Son hypoténuse AM est plus longue que le côté AH. Ainsi, AH est la distance minimale de A à un point de la droite d.

AM^2=AH^2+HM^2\geq AH^2\quad\Longrightarrow\quad AM\geq AH.

Démontrer la propriété de minimisation

Pourquoi le projeté est le point le plus proche

Pour $M$ sur $d$ , $AH$ est perpendiculaire à $HM$ puisque $H$ et $M$ appartiennent à $d$ . Pythagore donne $AM^2=AH^2+HM^2$ . Comme $HM^2\geq0$ , on obtient $AM^2\geq AH^2$ , puis $AM\geq AH$ .

Introduire un projeté utile dans un problème

Repérer la droite par rapport à laquelle une hauteur ou une distance est recherchée.
Tracer par le point la perpendiculaire et nommer son intersection avec la droite.
Coder l'angle droit avant d'utiliser Pythagore, une aire ou de la trigonométrie.
Calculer dans le triangle rectangle ainsi obtenu.
Conclure en rappelant pourquoi le segment calculé représente la distance minimale.

Retrouver une distance par le théorème de Pythagore

Le projeté $H$ d'un point $A$ sur $d$ est connu. On dispose d'un point $M$ de $d$ avec $AM=13$ cm et $HM=5$ cm. On cherche la distance de $A$ à $d$ .

Le triangle AHM est rectangle en H par définition du projeté.
Pythagore donne $AH^2=AM^2-HM^2$ .
Ainsi $AH^2=169-25=144$ , donc $AH=12$ cm.
La distance du point A à la droite d est 12 cm.
Tout autre point de d est au moins à 12 cm de A.

Résoudre des problèmes d’aire, de cercle et d’optimisation

La projection fournit la hauteur d'un triangle pour son aire, la distance d'un centre à une corde et la longueur minimale entre un point et une droite. Elle prépare aussi les vecteurs normaux et les calculs de projeté en Première.

Les triangles rectangles obtenus permettent d'utiliser les relations trigonométriques. La perpendicularité sera ensuite traduite par le produit scalaire.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de projection orthogonale Seconde. Les prolongements signalés servent directement à résoudre des problèmes d'aire, de cercle et d'optimisation.

Repères symboliques pour projection orthogonale Seconde

Écriture	Lecture et usage
$H\in d$	le projeté appartient à la droite
$(AH)\perp d$	condition de perpendicularité
$d(A,d)=AH$	distance d'un point à une droite
$AM^2=AH^2+HM^2$	Pythagore dans le triangle projeté
$AM\geq AH$	propriété de distance minimale

Distinguer projection, milieu et intersection

Erreur fréquente : un projeté n'est pas le milieu d'un segment par définition. Le milieu peut apparaître dans une configuration particulière, mais il doit être démontré.

Contrôle utile : vérifier deux conditions : H appartient à la droite et AH lui est perpendiculaire. Sans ces deux informations, H n'est pas identifié comme projeté.